Вопрос 4.10*. (а) Удовлетворяет ли диктатура критерию нпа? Объясните ваш ответ.

(б) Удовлетворяет ли правило навязанного выбора критерию НПА? Объясните ваш ответ.

(в) Удовлетворяет ли правило меньшинства критерию НПА? Объ- ясните ваш ответ.

Итак, оказывается, бывают такие избирательные системы, ко- торые удовлетворяют НПА. Впрочем, это не должно нас удивлять уж очень сильно, ведь НПА кажется вполне разумным критерием. Есть гораздо более интересный вопрос: существуют ли избиратель- ные системы, которые удовлетворяют критерию НПА и одновременно обладают некоторыми или всеми остальными упомянутыми нами желательными свойствами. Например, есть ли избирательная сис- тема, которая анонимна, нейтральна, монотонна и вместе с тем удовлетворяет НПА? Как мы увидим в следующем разделе, на этот вопрос есть удивительный, тревожный и весьма значимый ответ.

Теорема Эрроу

В 1951 г. Кеннет Эрроу, который, как и Дункан Блэк, был эконо- мистом, приступил к исследованиям, очень похожим на те, которыми мы занимаемся в последних главах. Как и мы, он хотел отыскать изби- рательную систему, которая была бы «честной» согласно некоторым разумно определенным стандартам. Как и мы, он столкнулся с очень серьезными препятствиями на этом пути. Эрроу так описывал свои исследования:

Я начал с некоторых примеров. Мне было уже известно, что с ними связаны определенные проблемы. Следующим разумным шагом было записать условие, которое позволяло исключить про- блемные системы из рассмотрения. Затем я строил другой при- мер, другой метод, который, казалось бы, решал эту проблему, но с ним тоже было не все в порядке. Мне приходилось уста- навливать еще один критерий. Я обнаружил, что было трудно

удовлетворить всем этим критериям, которые казались мне же- лательными: После того, как я сформулировал три или четыре условия такого рода, я продолжал экспериментировать. Что за напасть¹. Что бы я ни делал, я не мог найти ни одной системы, которая удовлетворяла бы всем этим условиям, (выделено нами).

Это ничего вам не напоминает? Должно напоминать! Больше, чем полвека спустя, мы пытаемся сделать то же, что и Эрроу, и сталкива- емся с теми же проблемами, что и он. Как же он справился с трудно- стями? Что ж, вот еще несколько слов об опыте Эрроу:

Я посвятил этому несколько дней, и начал склоняться к идее, что, может быть, ...и не существует метода, удовлетворяющего всем условиям, которые казались мне разумными и целесообразными. Тогда я решил приняться за доказательство этого утверждения. И оказалось, что для решения этой задачи мне потребовалось лишь несколько дней \

В то время Эрроу, по-видимому, не догадывался, что наградой за его труд продолжительностью в несколько будет Нобелевская премия по экономике, полученная в 1972 г., и что его «теорема о невозмож- ности» станет единственным наиболее важным результатом в теории избирательных систем. И не следует падать духом и думать, что смысл этого результата доступен только специалистам, вовсе нет —наши ис- следования на протяжении нескольких последних глав совершенно подготовили нас к тому, чтобы изучить теорему Эрроу и даже полно- стью понять ее доказательство. Мы начнем с того, что изучим опре- деления и условия, лежащие в основе труда Эрроу.

Что такое избирательная система?

В рамках подхода Эрроу избирательная система — это правило, со- гласно которому каждому возможному набору индивидуальных спис- ков предпочтений ставят в соответствие общественный порядок пред- почтений. Используя язык математики, мы будем говорить, что из- бирательная система —это функция. Мы задаем для функции списки предпочтений всех избирателей, а она потом выдает результат — пол- ный упорядоченный список кандидатов, который в каком-то смысле отражает волю избирателей.

¹ Обе цитаты в этом разделе взяты из интервью для СОМАР (the Consortium for Mathematics and Its Applications) [20].

Дело в том, что, как и Эрроу, мы хотим, чтобы избирательная система выдавала полностью определенные ранжировки кандидатов