Книги издательства мцнмо можно приобрести в магазине «Математическая книга», Большой Власьевский пер., д. И. Тел. (495) 241-72-85. E-mail: biblioQmccme.Ru

ISBN 0-8218-3798-2 (англ.) © American Mathematical Society, 2005

ISBN 978-5-94057-3I7-3 © МЦНМО, 2007.

Оглавление

Предисловие к русскому изданию 8

Благодарности и

Предисловие 13

Глава i. Чем так хорошо правило большинства? 16

Мэр Стикивилля 16

Анонимность, нейтральность и монотонность 18

Правило большинства и теорема Мэя 20

Системы с квотой 21

Вернемся к теореме Мэя 25

Ответы на вопросы 27

Глава 2. Перо, Нейдер и другие затруднения 30

Метод относительного большинства 31

Правило Борда 33

Порядки предпочтения 34

Вернемся к Борда 37

Снова теорема Мэя 39

Вопросы для дальнейшей работы 41

Ответы на вопросы 46

Глава 3. Снова в бой 50

Победители и проигравшие по Кондорсё 52

Последовательное попарное голосование 56

Система единственного передаваемого голоса 61

11 од водя итоги 65

Иопросы для дальнейшего изучения 66

Ответы на вопросы 69

Глава 4. Неполадки с демократией 71

I! ('зависимость от посторонних альтернатив 72

fa рема Эрроу 77

Что такое избирательная система? 78

Условия Эрроу 8о

Кульминация 82

Условие единогласия Парето 84

6

Оглавление

Вопросы для дальнейшей работы 86

Ответы на вопросы 89

Глава 5. Объяснение невозможного 91

Доказательство теоремы Эрроу 92

Возможные решения 101

Ослабление условия Парето 101

Одобрительное голосование 103

Интенсивность попарной независимости юб

Заключительные замечания 108

Вопросы для дальнейшей работы 109

Ответы на вопросы ш

Глава 6. Один человек—один голос? 115

Избирательные системы с весом 117

Диктаторы, пустышки и право вето 119

Устойчивость к мене 121

Устойчивость к сделке 125

Вопросы для дальнейшей работы 127

Ответы на вопросы 130

Глава 7. Вычисление коррупции 132

Индекс влиятельности Банцафа 133

Индекс влиятельности Шепли—Шубика 136

Влиятельность Банцафа в Психозии 141

Поток комбинаторики 142

Влиятельность Шепли—Шубика в Психозии 145

Вопросы для дальнейшей работы 147

Ответы на вопросы 150

Глава 8. Испытание коллегии 155

Коллегия выборщиков 156

Правило «победитель получает все» 158

Немного истории 160

Влияние в коллегии выборщиков 162*

Колеблющиеся голоса и искаженные результаты 165

Альтернативы коллегии выборщиков 169

Вопросы для дальнейшей работы 171

Ответы на вопросы I74¹

Глава 9. Проблемы с прямой демократией 175

Еще больше проблем 177

Проблема сепарабельности 179^:

Оглавление j

Бинарные матрицы предпочтений 181

Проверка сепарабельности 182

Метод i. Симметрия 182

Метод 2. Объединения и пересечения 184

Некоторые возможные решения 186

Решение № i. Избегайте несепарабельных предпочтений . 186

Решение №2. Голосование за список 188

Решение №3. Последовательное голосование 189

Решение №4. Бюллетени с условиями 191

Решение №5 еще предстоит найти 192

Вопросы для дальнейшей работы . * 192

Ответы на вопросы 194

Глава to. Пропорциональное (анти)представительство 196

Палата представителей США 197

Метод распределения Гамильтона 199

Метод распределения Джефферсона 202

Метод распределения Уэбстера 208

Три парадокса распределения 209

Метод распределения Хилла 212

Другие теоремы невозможности 214

Заключительные замечания 216

Вопросы для дальнейшей работы 216

Ответы на вопросы . . 220

Список литературы 222

Предисловие к русскому изданию

Выборы —это непременный атрибут демократического государ- ства. Выборы проходят в большинстве стран мира, и в каждой стране у них есть свои особенности, связанные с опытом и традициями народа этой страны, с системой государственной власти и политиче- ским режимом. Ученые и политики, журналисты и простые граждане спорят о том, являются ли те или иные выборы демократичными, соответствуют ли результаты выборов воле народа.

Этот вопрос имеет много разных аспектов. Необходимо прини- мать во внимание и наличие конкуренции, и доступность информа- ции о кандидатах, и свободу волеизъявления, и честность подсчета голосов —все те аспекты, которые обсуждают юристы, политологи и социологи. Однако есть у выборов еще одна сторона, которая изу- чается прежде всего математиками. Ее обычно принято называть избирательной системой (в узком смысле этого понятия).

Избирательная система (в узком смысле) — это совокупность пра- вовых норм, определяющих, каким образом итоги голосования из- бирателей трансформируются в результаты выборов. Эти нормы свя- заны не только с правилом определения победителя или победите- лей. Выбор избирательной системы начинается раньше —с решения вопросов, какими будут избирательные округа, каков будет изби- рательный бюллетень и какие отметки смогут проставлять в нем граждане. Но в конечном итоге все сводится к одной задаче — опреде- лить, как голоса избирателей превращаются в мандаты избираемых народом лиц.

Эти проблемы обсуждаются математиками и политиками с XVIII ве- ка, когда выборы только начинали становиться универсальным спосо- бом формирования органов власти. Свой вклад в их решение внесли такие выдающиеся люди, как Ж. А. Кондорсе, А. Гамильтон, Т. Джеф- ферсон и другие. Уже в XX веке за вклад в теорию выборов американ- ский математик Кеннет Дж.Эрроу был удостоен Нобелевской премии по экономике.

В нашей стране математическая теория выборов долгие деся- тилетия была не востребована. В условиях, когда в избирательный бюллетень включался всего один кандидат, за которого голосовали 99,9% избирателей, все эти математические премудрости были ни

к чему. Однако мы уже 18 лет живем в условиях альтернативных выборов, а интерес к математической теории выборов пока явно недостаточен.

Студенты, обучающиеся на юристов и политологов, получают ми- нимальную и зачастую искаженную информацию о современных из- бирательных системах и практически ничего не узнают о проблемах, связанных с порядком определения результатов выборов. Соответ- ственно все эти проблемы остаются малопонятны и тем, кто пишет и принимает избирательные законы. Наиболее ярким примером мо- жет служить принятие в ряде российских регионов в ноябре-декабре :>оо6 г. законов, предусматривающих использование для распреде- ления мандатов между списками так называемого метода делителей Империали.

Литературы по данным вопросам на русском языке крайне мало. Давно стала библиографической редкостью вышедшая в 1958 г. заме- ча гельная книга Э.Лейкман и Д.Д.Ламберта «Исследование мажори- тарной и пропорциональной избирательных систем». В 1997 г. в жур- нале ПОЛИС был напечатан отрывок из книги Р.Таагеперы и М. С. Шу- || а. Тогда же, в 90-х годах, вышли две популярные книги: одна из и их (Ф.Т.Алескеров, П. Ортешук «Выборы. Голосование. Партии») бы- т\ ц.чписана отечественным автором в соавторстве с американцем, ц угая (О. Н. Каюнов «Незримая логика избирательных законов») — российским специалистом. Можно также отметить нашу недавно вы- ш • плую книгу «Пропорциональная избирательная система в России: ИСТория, современное состояние, перспективы» (авторы —А. В. Иван- ченко, А. В. Кынев, А. Е. Любарев), однако в ней данным аспектам уде- кчю лишь небольшое внимание.

Поэтому следует приветствовать появление книги, в которой в 11 ого научной форме, но при этом живо и наглядно обсуждаются п| | лемы математической теории выборов (а заодно и референду- ма). Данная книга позволит всем, кто ее изучит, значительно лучше ЙОнять, что стоит за такими, казалось бы, простыми понятиями, как правило большинства или пропорциональное распределение, какие При лтом возникают сложности и парадоксы. Возможно, многие, про- читав данную книгу, впервые задумаются о том, насколько непросто • •смдать систему выборов, адекватно отражающую волю избирателей.

Книга американских преподавателей Дж. К. Ходжа и Р. Э. Клима И и 111сана в форме учебника и предназначена для студентов. Она рас- I чи гана на людей, неплохо владеющих математикой, но для ее усвое-

иполне достаточно хорошей школьной подготовки по этому пред- мету Можно надеяться, что таких немало среди студентов, изучаю-

Ц;их социологию и политологию, хочется верить, что есть такие и сре- 4и будущих юристов.

Книга в изобилии содержит задачи, предназначенные для само- стоятельной работы обучающихся. Правда, авторы постарались, что- бы задачи эти были интересны американским студентам. Вероятно, Преподавателям, которые будут использовать данный учебник, при- дется находить задачи, которые могли бы в большей степени заинте- ресовать российского студента.

Есть и другие проблемы, связанные с американским происхожде- нием книги. Например, гл. го посвящена методам пропорционального распределения. В США эти методы имеют отношение главным обра- зом к проблеме распределения между штатами мест в палате пред- ставителей. В Европе же и в России аналогичные методы используют- ся в первую очередь как важная составная часть пропорциональной Избирательной системы—для распределения мандатов между парти- ями по итогам голосования. Методы в основном те же, однако при этом используется иная терминология, да и алгоритмы реализации этих методов заметно различаются. Поэтому материал гл. го трудно без соответствующей подготовки адаптировать к тем проблемам, ко- торые возникают на российских выборах.

В целом книга посвящена наиболее общим проблемам, поэтому в ней нельзя искать ответы на все вопросы, возникающие по поводу той или иной избирательной системы. Однако она заставляет думать, учит глубже вникать в те положения, которые внешне кажутся про- стыми и понятными, — и в этом ее главная ценность.

Надеемся, что книга эта будет востребована и преподавателями, и студентами, и теми политиками, которые стремятся более осмыс- ленно подходить к проблеме выборов. Надеемся также, что данное издание не станет последним, посвященным математической теории выборов, а напротив, стимулирует создание отечественных книг в этой области.

Иванченко А.В., доктор юридических наук, заслуженный юрист Российской Федерации Музыкантский А.И., кандидат технических наук, профессор

Любарев А.Е., кандидат юридических наук