Вопросы для дальнейшей работы
Вопрос 9-35- Может ли результат референдума с двумя предло- жениями и произвольным числом избирателей быть наименее пред- почтительным для всех избирателей? Приведите убедительные аргу- менты или пример, подтверждающий ваш ответ.
Вопрос 9.36. (а) Может ли на референдуме, на котором у каж- дого избирателя все предпочтения сепарабельны и все избиратели голосуют искренне, проигрывающий по Кондорсё результат оказаться тем результатом, к которому приводит одновременное голосование? Приведите убедительный аргумент или пример, подтверждающий ваш ответ.
(б) Повторите пункт (а), но теперь предположите, что предпочте- ния всех избирателей несепарабельны.
Вопрос 9.37. Предположим, что на референдуме с тремя предло- жениями предпочтения одного из избирателей могут быть описаны таким образом:
Наиболее предпочтительный исход —все предложения принима- ются, наименее предпочтительный — все предложения отклоня- ются.
Любой исход, в котором принимаются два предложения, предпо- чтительнее, чем исход, в котором принимается только одно пред- ложение.
Могли ли предпочтения этого избирателя быть сепарабельными? Могли ли они быть несепарабельными? Приведите убедительные ар- гументы или примеры, которые подтверждают ваши ответы.
Вопрос 9.38. (а) Составьте перечень всех возможных бинарных матриц предпочтений для референдума с двумя предложениями.
Вопросы для дальнейшей работы
193
(б) Какие матрицы из пункта (а) симметричны?
(в) Какие матрицы из пункта (а) соответствуют избирателям с се- парабельными предпочтениями?
(г) Можете ли вы, основываясь на ваших ответах на пункты (а)— (в), охарактеризовать взаимосвязь между сепарабельностью предпо- чтений избирателя и симметричностью матриц предпочтения для ре- ферендума с двумя предложениями?
Вопрос 9-39- (а) Сколько может быть различных бинарных мат- риц предпочтений на референдуме с двумя предложениями? Сколько из них симметричных матриц?
(б) Сколько может быть различных бинарных матриц предпочте- ний на референдуме с тремя предложениями? Сколько из них симмет- ричных матриц?
(в) Сколько может быть различных бинарных матриц предпочте- ний на референдуме с п (где п обозначает некоторое произвольное число) предложениями? Сколько из них симметричных матриц?
(г) Используя теорему 9.16 и ваши ответы на пункты (а)—(в), объ- ясните, почему вероятность того, что предпочтения произвольного взятого избирателя сепарабельны, убывает к нулю с ростом числа предложений в бюллетене.
(д) В 1990 г. в Калифорнии проводился референдум, в котором кроме местных инициатив на голосование были поставлены 28 пред- ложений, значимых для населения всего штата. Как вы думаете, на- сколько вероятно, что у некоторых избирателей на референдуме были несепарабельные предпочтения? Объясните ваш ответ.
Вопрос 9.40. В ноябре 2004 г. в штате Колорадо в бюллете- ни было добавлено предложение, которое могло изменить способ, в соответствии с которым распределялись голоса выборщиков на президентских выборах в 2004 г. Исследуйте детали этого предложе- ния и напишите резюме ваших изысканий. Включите в него полную формулировку предложения, описание предложенного метода рас- пределения голосов выборщиков, и ответы на вопросы: кто добавил предложение в бюллетень, почему они это сделали, и каким был итог голосования. Как вы думаете, были ли предпочтения избирателей по этому предложению сепарабельны? Почему?
Вопрос 9.41. Разыщите подробную информацию о недавнем ре- ферендуме в вашем штате и напишите резюме ваших изысканий. Включите в него полные формулировки всех предложений референ- дума, итоги голосования и результат референдума по каждому пред- ложению. Думаете ли вы, что у некоторых избирателей были несе-
парабельные предпочтения? Если да, то опишите любые возможные связи между предложениями референдума и объясните, как эти связи могли повлиять на сепарабельность предпочтений избирателей.
Вопрос 9.42. Могут ли предпочтения избирателя с симметрич- ной бинарной матрицей предпочтений быть полностью несепара- бельными (т. е. такими, что все возможные наборы предложений референдума несепарабельны относительно избирателя)? Приведите убедительные аргументы или пример, подтверждающий ваш ответ.
Ответы на вопросы
9.4. (а) Эта информация может изменить способ голосования для Дейва. Если он проголосует за самый предпочтительный для себя ис- ход (Да/Нет), то результатом референдума станет наименее предпо- чтительный для него исход (Нет/Нет). Но если он проголосует неис- кренне, за второй по предпочтительности исход (Нет/Да), то послед- ний и станет победившим результатом.
(б) Он сказал бы, что его ответ зависит от того, будет ли принято предложение 2.
(в) Он сказал бы, что хочет, чтобы предложение i было отклонено независимо от того, будет ли принято предложение 2.
9.6. (а) Предложение i сепарабельно только относительно пред- почтений Пита. (Можете ли вы объяснить, почему?)
(б) Предложение 2 сепарабельно относительно предпочтений и Майка, и Пита.
(в) Только предпочтения Пита сепарабельны.
9.9. (а) Если предложений пять, то максимальное число наборов предпочтений, которые вам нужно рассмотреть, равно
(См. гл. 7, в которой обсуждаются эти обозначения.)
9.10. В каждой бинарной матрице предпочтений i обозначает Да, а о обозначает Нет. Каждая строка соответствует одному из возмож- ных исходов референдума, и все они перечислены в порядке предпо- чтительности: наиболее предпочтительный для избирателя результат в верхней строке, а наименее предпочтительный — в нижней.
9.14. Симметрична только бинарная матрица предпочтений Пита.
9.17. Бинарная матрица предпочтений из вопроса 9.12 не должна быть симметричной. Поэтому предпочтения, приведенные в вопро- се 9.8, не могут быть сепарабельными.
Ответы на вопросы
195
Бинарная матрица предпочтений избирателя может быть симметричной, а предпочтения избирателя при этом могут и не быть сепарабельными. Чтобы построить пример, иллюстрирующий этот факт, вам может потребоваться рассмотреть референдум, в котором больше двух предложений.
(а) Предпочтения избирателя не сепарабельны, поскольку бинарная матрица предпочтений из табл. 9.3 не симметрична.
(б) Каждое предложение по отдельности сепарабельно относи- тельно избирателя. Кроме того, первое и третье предложения вместе сепарабельны относительно избирателя, точно так же, как и второе и третье предложения вместе. Все остальные наборы предложений не сепарабельны относительно избирателя.
(в) Для избирателя, бинарная матрица предпочтений которого представлена в табл. 9.3, первые два предложения сепарабельны по отдельности, но не вместе. Поэтому утверждение в пункте (в) ложно.
9.20. Следующие наборы предложений тоже должны быть сепа- рабельны относительно избирателя: {А, С}, {В, С}, {С, D} и {С}.
9.28. При последовательной системе результатом референдума будет Да/Нет. Для двух из трех избирателей этот результат предпо- чтительнее, чем результат при одновременном голосовании.
ГЛАВА (5)
Пропорциональное (анти)представительство