3.1.8 Проходження повільно змінюючихся сигналів у автоколивальних нелінійних системах.

Розглянемо випадок, коли до нелінійної САУ прикладено зовнішнє збудження яке повільно змінюється, при цьому спектр можливих змінювань V(t) набагато менший ніж частота коливань .

Загальне рівняння динаміки у цьому випадну буде мати вигляд

A(p)x(t)+B(p)F(x)=C(p)V(t), (3.18)

а рішення його будемо шукати у вигляді x(t)=x₀+x*(t), де ,

x₀ - повільно змінювана у порівнянні із x* функція часу. Якщо вважати, що за один період коливань x* зміна величини x₀ є незначною, то можна використовувати формули гармонічної лінеаризації для несиметричних коливань, тобто

F(x)=F₀(x₀,A)+[g(x₀,A)+jb(x₀,A)]x* (3.19)

В цьому випадку основне рівняння динаміки може бути розбито на два:

для складових, що повільно змінюються у процесі керування

A(p)x₀+B(p)F₀(x₀,A)=C(p)V(t),

та рівняння, яке описує режим автоколивань

{A(p)+B(p)[g(x₀,A)+jb(x₀,A)]}x*=0.

З другого рівняння можна знайти залежність A(x₀), яка після підстановки у F₀(x₀,A) дає нову нелінійну функцію , а рівняння для процесу керування набуває вигляд

A(p)x₀+B(p)Ф(x₀)=C(p)V(t)

Однак, треба зауважити, що нелінійна функція Ф(x₀) має таку властивість, що вона має вигляд гладкої кривої навіть у випадку істотно нелінійних характеристик F(x) і тому допускає розклад у ряд Тейлора та може бути лінеаризована звичайним порядком, тобто

(3.20)

Дійсно, у силу того, що Ф(x)=F(x₀,A(x₀)), то

,

а за один період автоколивань

,

то

(3.21)

Таким чином, коефіцієнт лінеаризації по сигналу, що повільнозмінюється, можна знайти безпосередньо із виразу не виконуючи побудови функції .

Отже, з урахуванням коефіцієнту підсилення нелінійності K_н у процесі управління рівняння для процесу буде мати вигляд:

яке вирішується засобами теорії лінійних систем.

Так, для нелінійності із зоною нечутливості

3.1.9 Вібраційна лінеаризація нелінійностей.

Якщо у нелінійної системи відсутній режим властивих автоколивань, то у систему можуть бути введені спеціальні вібраційні періодичні сигнали високої частоти , які подаються на вхід нелінійності. При цьому, частота _з вібраційного сигналу повинна бути такою, щоб вона не проходила повз лінійну частину, яка є фільтром високих частот .

Рис. 3.14 Нелінійна система звібраційною лінеаризацією

Досліджуючи загальне рівняння динаміки процесу на стійкість, можна визначити граничний коефіцієнт підсилювання нелінійності , а знаючи його залежність від даного виду нелінійності, знайти амплітуду автоколивань, тобто амплітуду вібраційного сигналу, при якому нелінійну систему можна визначити як лінійну.

Очевидно, що з підвищенням амплітуди вібраційного сигналу (Рис.3.15), інтегральний вплив нелінійності за один період автоколивань буде зменшуватися, що збільшує у свою чергу стійкість нелінійної системи ( ), та надає її властивість лінійної системи при проходженні повільно-змінюваних сигналів.

Рис. 3.15 Режим несиметричних автоколивань

.

Треба відзначити, що у силу того, що залежить від амплітуди симетричних автоколивань нелінійної системи, а амплітуда, у свою чергу, залежить від їх частоти і отже, параметрів системи, то у загальному випадку і коефіцієнти лінеаризації нелінійності є функцією параметрів лінійної частини системи, тобто .

Розглянемо систему з ідеальною релейною характеристикою

Рис. 3.16

Хай

Загальне рівняння динаміки системи відносно змінної x приймає вигляд

.

Тоді, після підстановки ,характеристичний поліном можна записати як

і тому що частота  у випадку однозначних нелінійностей не залежить від величини x₀, то з урахуванням

маємо

Тому що у нашому випадку

то із останнього рівняння визначають частоту автоколивань

Коефіцієнт гармонічної лінеаризації нелінійності дає

де

, а коефіцієнт підсилювання нелінійності , де - амплітуда симетричних автоколивань, то з урахуванням при здобудемо .

Отже,

Для того, щоб визначити амплітуду автоколивань, які накладаються на процес управління, треба розглянути співвідношення

,

тобто

та визначити залежність A(x₀) у процесі управління.

Таким чином , якщо до входу нелінійності надати вимушений сигнал з частотою значно більшою відносно частоти властивих коливань, то ці коливання вожна вважати такими що повілно змінюються відносно вимушених. При цьому процеси в нелінійної системі лінеаризуються і властиві коливання зриваються. Слід зауважити, що частота вібраційного сигналу повинна бути більшою відносно частоти пропускання комплексного коефіцієнту лінійної частини системи.

П 3.3

Дослідити методи зриву автоколивань в нелінійної системі

Параметри системи

Час перехідного процессу та кількість точок на цьому відрізку

1. Досліджується режим вільних коливань

1.1 ВММ лінійної частини та діагогалізація матриці А

1.2 Визначаєься фундаментальна матриця та матриця керування

1.3 Визначається алгоритм розв’язання ВММ у фазовому просторі

Початкові умови

1.4 Визначається алгоритм розв’язання ВММ у часі

В системі існують автоколивання з параметрами

2. Розглядається вплив лінійного вхідного сигналу при та

нульових початкових умовах

Система відпрацьовує вхідний сигнал у режимі автоколивань із зміщенням

2. Досліджується метод вібраційної лінеаризації

Параметри вібраційного сигналу : Амплітуда , частота ,

Початкові умови

4. Досліджується метод зриву автоколивань за допомогою зворотного зв’язку по швидкості

Режим автоколивань зривається. В системі існує швидкісна похибка.

Лабораторна робота №9

Дослідження методів зриву автоколивань у нелінійних системах керування

Призначення: Лабораторно дослідження, направлені на закріплення знань основ аналізу нелінійних систем при відпрацюванні повільно-змініюючогося впливу, надання навичок оцінювання методів аналізу вимушеного руху у нелінійних системах, навичок експериментального вибору умов зриву автоколивальних режимів.

Ціль роботи: Визначення умов появи автоколивальних режимів при повільно-змініючиму зовнішньому впливу ; оцінка можливості нелінійної системи відпрацьовувати повільно-змініючогося впливу; дослідження умов зриву автоколивальних режимів.

Вибір структури САК виконується відповідно поставленої задачі експерементальних досліджень та аналізу функціональної схеми блока моделі узагальненої системи керування віртуального лабораторного стенду. Значення параметрів системи обираються із таблиці варіантів

У лабораторній роботі необхідно:

- Виконати математичний опис нелінійної системи та визначити параметри автоколивань та рух системи при повільно-змініючихся впливах.

- Зробити лінеаризацію нелінійного елемента відносно повілно-змініючигося впливу, побудувати лінеаризовану характеристику, та розрахувати стійкість лінеаризованої системи.

- Експериментально перевірити умови стійкості лінеаризованої моделі.

- Експериментально перевірити умови зриву автоколивальних режимів за рахунок вібраційної лінеаризації нелінійності та перевірити умови стійкості нелінійної системи.

Висновок. Відповідно теоретичним розрахункам та обробки експерементальних досліджень зробити висновки згідно обраних умов дослідження.