2.6.20 Визначення стійкості параметрів автоколивань у нелінійних системах

Розглянемо широкий клас нелiнiйних систем з однiєю нелiнiйністю та лiнiйною частиною, яку задано комплексним коефiцiєнтом передачі .

Хай

має властивості фiльтру. В цьому випадку нелiнiйний елемент може бути представлено через його приведену передаточну функцiю (комплексний коефiцiєнт передачі) при його гармонiчної лінеаризації

(2.220)

Рис. 2.157 Типова схема нелінійної системи із одною нелінійностю

При цьому рiвняння нелiнiйної САУ будуть приймати вигляд

(2.221)

Якщо буде розглядатися властивий рух замкненої нелiнiйної системи, то рiвняння (9.34 ) можуть бути зведено до вигляду:

тому що .

Вiдомо, що стiйкiсть будь-якої замкненої системи перевiряють за допомогою аналiзу характеристичного рiвняння замкненої системи. А тому що при дослiдженнi нелiнiйних систем рiвняння вирiшуються вiдносно сигналу на входi нелiнiйностi, то можна записати

у якому

(2.222)

i є характеристичним рiвнянням замкненої системи.

Аналiз характеристичного рiвняння показує що воно має у своєму складi два параметра i частоту та амплiтуду . Якщо у результатi розрахунку будуть знайденi дiйснi значення та одночасно i якi вiдповiдають умовам рiвняння (9.35), то у системi з'являється автоколивальний режим роботи, який можна ототожнити з умовами виходу лiнiйної системи на межу стiйкостi.

Отже, характеристичне рiвняння замкненої нелiнiйної системи є початковим для визначення стiйкостi нелiнiйної системи, дослiдження автоколивальних режимiв iз визначенням їх параметрiв.

2.6.21 Аналiтичний спосiб визначення параметрiв автоколивань

Запишемо характеристичне рiвняння замкненої системи у виглядi

та знайдемо у цьому виразi речовинну та уявну частини

(2.223)

де

Рiвняння (9.37) можливо, якщо речовинна та уявна частина одночасно дорiвнюють нулю

(2.224)

Цi алгебраїчні рiвняння дають можливiсть визначити значення параметрiв автоколивань : амплiтуди та частоти . Але знайденi значення амплiтуди та частоти визначають лише можливi замкненi цикли у нелiнiйних системах. Однак для появи автоколивань треба щоб замкнений цикл був стiйкий, тiльки при цьому будуть виконуватися умови стiйкостi перiодичних рiшень.

Запишемо початковi рiвняння вiдносно малих вiдхилень параметрiв

,

де визначається через параметри автоколивань.

Тому що значення та повиннi задовольняти умовам

,

то на стiйкiсть треба перевiрити рiвняння вiдносно малих вiдхилень

Загальне рiшення якого шукається у виглядi

який описує коливальнi процеси поблизу перiодичного . Якщо , , то зменшується, а у випадку , , – збiльшується, наближаючись до . Отже, для стiйкостi перiодичних режимiв треба, щоб та мали однаковi знаки.

Запишемо рiвняння

у виглядi

Якщо розкласти цей вираз у ряд Тейлора та обмежитись тiльки лiнiйними членами цього розкладу то можна записати

де члени позначенi зiркою ( )* взято у точках можливих автоколивань.

У результатi виключення iз цього виразу величини w знайдеться

Для того щоб виконувалися умови cтійкості, тобто щоб та були одного i того ж знаку треба щоб виконувались умови

(2.225)

якi i є умовами стiйкостi перiодичних рiшень.

Якщо розглядати нелiнiйну систему з однозначною непарно-симетричною нелiнiйністю, для якої , то задача по знаходженню параметрiв автоколивань спрощується, тому що

або

В цьому випадок iз другого рiвняння визначається частота автоколивань, а потiм iз першого - визначається їх амплiтуда. Це рiшення пiдтверджує висновок, що частота автоколивань залежить тiльки вiд властивостей лiнiйної частини та не залежить вiд форми однозначної нелiнiйностi. Але у випадку не однозначних характеристик нелiнiйностей ця властивiсть порушується.

2.6.22 Графiчний спосiб визначення параметрiв автоколивань

Розглянемо характеристичне рiвняння замкненої системи

,

або

(2.226)

Вiдповiдно критерiю стiйкостi Михайлова можна стверджувати, що система знаходиться на межi стiйкостi, якщо годограф характеристичного рiвняння замкненої системи проходить через початок координат. Тодi, поклавши у рiвняннi будується вiдповiдний годограф Михайлова . Якщо система при цьому значеннi амплiтуди є стiйкою, то змiнюють значення , i знову будують годограф та перевiряють умови стiйкостi. Якщо при якомусь значеннi годограф Михайлова не охоплює початок координат, то система стає нестiйкою. В цьому випадку точку рiвноваги визначають у межах та шляхом з'єднання вiдповiдних точок з однаковими значеннями частот .

Рис. 2.158 Визначення умов автоколивань

При цьому вiдшукується елемент до якого належить початок координат та методом екстраполяцiї визначаються значення , якi вiдповiдають точці початку координат. Тому що для нестiйкої системи амплiтуда автоколивань повинна збiльшуватися, то умовами стiйкостi перiодичних режимiв буде

2.6.23 Частотний метод визначення автоколивань

Відомо, що автоколивання у нелінійної системи можливі при виконанні умов

.

Із співвідношення

витікає

(2.227)

Останнє рівняння вирішується графічно, шляхом побудови у комплексній площині амплітудно-частотної характеристики лінійної частини системи та зворотної амплітудно-частотної характеристики нелінійного елементу . Сумісні точки цих характеристик, тобто точки їх перетину, дають можливі значення амплітуди та частоти автоколивань. При цьому, у точках перетину по годографу визначається частота можливих автоколивань, а по годографу , - їх амплітуда(Рис.2.159).

Рис. 2.159 Частотний метод визначення автоколивань

Якщо у результаті з`являються декілька точок, то треба їх перевірити на умови стійкості автоматичних режимів. Очевидно, що незгасаючі коливання з`являються у системі у тому випадку, коли амплітудо-фазо-частотна характеристика розімкненої системи проходить через точку , тобто система знаходиться на межі стійкості.

Отже, якщо годограф Найквісту охоплює критичну точку, то виконується умова

, (2.228)

а у системі будуть спостерігатись нестійкі процеси при яких амплітуда коливань буде збільшуватись.

Якщо ж виконується умов (2.229)

то процес буде згасати, амплітуда буде зменшуватися.

Тоді, для перевірки умов стійкості автоколивань, треба у точках-претендентах перевірити умови (2.229), шляхом надання характеристики деякого прирощення (Рис.2.160).

Рис. 2.160 Визначення умов стійких автоколивань

Так, у точці , при збільшенні амплітуди ( точка ) виконуються умови (9.41) і амплітуда буде продовжувати збільшуватись. У точки ті ж умови ( ) вже умови (9.42), що приводить до згасання коливань. Якщо дати прирощення амплітуди із зворотнім знаком ( ), то будуть виконуватись умови (9.41), що приводить до підвищення значення амплітуди автоколивань. У точці будуть спостерігатися нестійкі режими, а у точці стійкі автоколивання, тобто точка параметрами та визначає періодичні режими нелінійної системи.

Слідує відмітити, що у разі однозначних непарно-симетричних нелінійностей задача спрощується, тому що мінливий коефіцієнт гармонічної лінеаризації дорівнює нулю .

При цьому повинні виконуватись умови , а претендентом на режим автоколивань може бути тільки точка перетину з дійсною віссю, на якій розташовується зворотна характеристика нелінійності .

Рис. 2.161 Визначення умов стійких автоколивань для однозначних нелінійностей

2.6.24 Метод балансу амплітуд та фаз

Розглянемо загальне характеристичне рівняння нелінійної системи

, або (2.230)

Якщо представити його компоненти у вигляді

то

Отже, режим автоколивань можливий при умова одночасного виконання рівнянь для амплітуд та фаз.

(2.231)

Ці співвідношення називаються умовами балансу амплітуд та фаз.

Якщо перейти до логарифмічних характеристик, то здобудемо

(2.232)

При цьому рішення легко визначити, якщо застосовувати графіки , , , які виконуються у однакових масштабах (Рис.2.162).

Рис. 2.162 Метод балансу амплітуд та фаз

Якщо сполучити вісі та та визначити точку, де виконується баланс фаз, то точка перетину та визначить можливі параметри автоколивань, які перетворюються на умови стійкості. Очевидно, що у разі непарно-симетричних однозначних нелінійностей задач спрощується тому, що і отже, . При цьому умови балансу амплітуд та фаз приймають вигляд (Рис.2.163)

(2.233)

У практичних задачах проектування нелінійних систем головним питанням є добір параметрів системи при умовах заданих значень амплітуди та частоти автоколивань.

При цьому розглядаються залежності величин та від деяких параметрів a_i системи, які вибираються як регульовані (коефіцієнт підсилювання , коефіцієнт зворотного зв`язку , постійна часу , тощо.). В цьому випадку характеристичне рівняння замкненої системи треба визначити у вигляді

Рис. 2.163 Визначення умов стійких автоколивань

При цьому розглядаються залежності величин та від деяких параметрів a_i системи, які вибираються як регульовані (коефіцієнт підсилювання , коефіцієнт зворотного зв`язку , постійна часу , тощо.). В цьому випадку характеристичне рівняння замкненої системи треба визначити у вигляді

Але це співвідношення не дає змоги у явному вигляді здобути рішення, тому що з двох рівнянь

(2.234)

не можливо визначити три величини , , .

При цьому також слід ураховувати, що величина входить у ці рівняння як складова частина коефіцієнтів гармонічної лінеаризації та . В цьому випадку із рівнянь виключають параметр , шляхом взаємної підстановки, тобто шляхом знаходження залежності . Потім, із одного із рівнянь (9.47) знаходять залежність .

Якщо в уявній формі залежність не можливо здобути, то вона шукається у вигляді .Задача вирішується графічним шляхом при побудові залежності та для різноманітних значень амплітуди A.Точки перетину графіків дають можливість визначити шукану функцію (Рис.2.164).

Рис. 2.164 До визначення функції

Якщо треба визначити два параметри, наприклад та , то початкові рівняння записуються у вигляді

з яких визначаються залежності

які дозволяють знайти значення та для заданих параметрів автоколивань (Рис.2.165).

Рис. 2.165 Вплив параметрів системи на режим автоколивань

Якщо задаватися різноманітними значеннями , та міняти від до , то у площині параметрів можна побудувати залежності використовуючи параметричні рівняння , при .

Рис. 2.166 Визначення параметрів системи на частот у та амплітуду автоколивань

З`єднав між собою на цих лініях точки з однаковими значеннями , будуються лінії .

По здобутим діаграмам можна вибрати два параметри та системи, які будуть задовольняти потрібним значенням та або із вимоги відсутності автоколивань.

2.6.25 Дослідження стійкості нелінійної системи методом гармонічної лінеаризації

Для нелінійної системи з однією нелінійністю та лінійною частиною, яка володіє властивостями фільтру, можна визначити стійкість, як властивість затухання перехідних процесів, а межу стійкості-як межу області існування періодичних режимів.

Тоді, на підставі гармонічно лінеаризованої системи, по її характеристичному рівнянні замкненої системи ці умови можна визначити по передостанньому показнику Гурвіца, якщо прирівняти його нулю . Тому що у характеристичне рівняння входять коефіцієнти гармонічної лінеаризації та , числове значення яких змінюється у залежності від , то доцільно шукати межу стійкості системи як межу появи періодичних коливань з будь-якою амплітудою .

Область стійкості буде розташовано з того боку цієї межі, де .

Абсолютна стійкість буде спостерігатися за умови виконання при будь-якому значенні у нескінченному інтервалі. Тоді межу стійкості можна визначити із двох умов:

(2.235)

(умови кінцевого значення у межах інтервалу абo

(умови крайніх значень )

Нехай нелінійна система (Рис.2.167) описується рівняннями

Рис. 2.167 Нелінійна система із місцевим зворотним зв’язком

Якщо знайти , то характеристичне рівняння приймає вигляд

В цьому випадку

,

а межа стійкості визначається із рівнянь

Останнє рівняння виконується при

При межа абсолютної стійкості визначається умовами

При має місце , що відповідає області стійкості, а відповідні залежності від коефіцієнтів підсилення та приймають вигляд

Рис. 2.168 Вплив коефіцієнту зворотного звязку на область стійкості

Якщо лежить у інтервалі , то область стійкості розширюється