Підготовка до КРЗЗ-2 за 1-й курс

Задачі для підготовки до КР з вищої математики за І курс

(КРЗЗ-2 проводиться на 1-му практичному занятті в вересні)

Всього в КР 7 задач такого типу

Задача 1.

1. Знайти кут B трикутника АВС, якщо А(-1,-2,4), В(-4,-2,0), С(3,-2,1). Відповідь: В = ( через скалярний добуток).

2. Обчислити площу трикутника АВС, А(1,1,1), В(2,3,4), С(4,3,2). Відповідь: S =2 (S_тр = |[ , ]| (векторний добуток).

3. Знайти об’єм піраміди ABCD, якщо її вершини А(2,-3,5), В(0,2,1), С(-2,-2,3), D (3,2,4). Відповідь: V = 6. (V_пір = = │ , , │- модуль мішаного добутку).

4. Знайти розклад вектора = (-10, 4) за базисом = (1, -2), = (-3, 2).

Відповідь: =2 +4

5. Знайти відстань від точки М(-1, 2) до прямої L: -2x+y-1=0. Відповідь: d = . ( d = ).

6. Знайти відстань від початку координат до прямої, яка проходить через точки (5,2) та (-3,-2). Відповідь: .

7. Скласти рівняння прямої, яка проходить через точку М(-1,2), перпендикулярно до прямої L: -2x+y-1=0. Відповідь: у =− .

8. Знайти проекцію точки М(-1,2) на пряму L: -2x+y-1=0. Відповідь: ( , ).

9. Знайти точку В, симетричну точці А(1,2) відносно прямої L: 3x-y+9 = 0. Відповідь: В(-5,4).

10. Знайти відстань від центра кола x² + y² -4x + 6y -3 = 0 до початку координат. Відповідь: .

11. Написати рівняння кола, якщо точки М₁(5,-1) та М₂(1,2) є кінцями одного з його діаметрів. Відповідь: (х-3)²+(у- )² = .

12. Написати рівняння дотичної до еліпса x² + 4y² = 40 в точці (2,-3). Відповідь: у+3 = (х-2).

Задача 2. Обчислити визначений інтеграл.

1. , Зробити заміну змінної t = .

2. , Зробити заміну змінної t = .

3. , Зробити заміну змінної x = sint.

4. , Зробити заміну змінної x = .

5. , Зробити заміну змінної x+1= 2sint.

6. 

7. 

8. 

9. , Зробити заміну змінної t = tg .

10. 

11. 

12. 

Задача 3. Обчислити невизначений інтеграл типу

, де D<0

Наприклад:

. Відповідь: ln|3x²+2x+1| - arctg +C.

Задача 4.

1. Написати формулу Маклорена 3-го порядку з залишковим членом в формі Лагранжа для функції f(x) = chx (або f(x) = cos2x, … ).

2. Написати формулу Тейлора 2-го порядку в околі точки х₀=1 для функції f(x) = . Залишковий член в формі Лагранжа.

Задача 5. Знайти екстремуми функцій однієї або двох змінних.

1. f(x) = x³e^-x ; f(x) = x² + ; f(x) = x-2lnx.

2. z = x²+y²-2x+4y+10; z = (x-5)²+y²+1 (TР-2. Зад 4.)

Задача 6. Знайти загальний розв’язок ЛНДР 2-го порядку зі сталими коефіцієнтами та правою частиною спеціального вигляду, або методом Лагранжа.

1. +9y = -6sin3x; 2) +2+y = (ТР-2. Зад. 31, 32).

Задача 7. Розв’язати систему ДР.

1. 

2. 

3. (ТР-2. Зад.33).