2.7.2 Методи вибору змiнних стану

Рішення конкретних задач на підставі векторно-матричних моделей зв'язано в першу чергу з вибором набору змінних стану , які треба визначати з урахуванням деяких обставин: конструктивності, спостережливості, зручності, простоти, тощо.

Будемо вважати, що диференційному рівнянню (2.238) відповідає векторно-матрична модель ВММ, яка має вигляд

.

Для цієї ВММ можна визначити співвідношення, яке зв'язує поняття ВММ з передаточною функцією системи .

Тому що передаточна функція

може мати нулі та полюса , причому , то вибір змінних стану буде визначатися конкретною формою представлення передаточної функції, виглядом диференційного рівняння, структурою системи, функціональним набором елементів системи.

2.7.3 Метод простих дробів.

Хай система має один управляючий вплив та один вихід, тобто система є одномірною. В цьому випадку ВММ приймає вигляд:

(2.247)

де – матриця розмірності , – const.

Хай система має передаточну функцію з різними полюсами . В цьому випадку може бути визначено як .

Визначимо ,

як змінну стану.

Тоді

Якщо , то при , .

Визначимо диференційне рівняння для змінної стану

,

для яких можна знайти відповідну структуру реалізації.

Рис. 2.188 Схема реалізації змінної стану

Таким чином, з урахуванням рівняння виходу визначимо структурну схему реалізації ВММ методом простих дробів.

Рис. 2.189 До методу простих дробів

При цьому:

; при , при (2.248)

П 2.63

Для заданої системи визначити ВММ методом простих дробів

1. Представлення математичної моделі у вигляді простих дробів

1. Класичний метод

Початкові умови

Метод простих дробів полягає в тому, що на основі методу невизначених коефіцієнтів передаточну функцію представляють у вигляді простих дробів

1. Другий метод

2. Векторно-матрична модель

Якщо в системі (2.244) є кратні корені , то матриця приймає Жорданову форму. Так, якщо то при розкладанні на прості дробі маємо:

Тому

що дає :

,

,

.

Тобто (2.249)

Рис. 2.190 Схема ВММ системи з кратними коренями

Основна перевага методу простих дробiв полягає в тому, що матриця А має дiагональний або Жордановий вигляд, а змiннi стану у структурної схемi не залежать одне вiд одного.

Основний недолiк – як правило, змінні стану у реальнiй системi не спостерігаються, структурна схема моделi розiмкнена, що вiдповiдає малою грубiстю до її параметрiв.

П 2.64

Визначити векторно-матричну модель для системи з передаточною функцією

1. Визначаються корені характеристичного рівняння

2. Виконується розклад на прості дробі

3. Складається ВММ

4. Перевірка