Тема 3.5 Синтез лінійних стаціонарних операторів при випадкових збудженнях.

3.5.1 Синтез лінійних стаціонарних операторів

Загальна постановка синтезу оптимальних операторів формулюється відносно розподілу випадкових процесів наступним чином (Рис.3.100)

Рис.3.100

Задано сумісний закон розподілу імовірностей F_xv(x,v) вхідних випадкових процесів x(t) та v(t), де x(t)- є доцільним сигналом, а v(t)- завадою. Відомий оператор A_ot, який повинен перетворювати процес x(t) у процес y₀(t) з бажаним законом розподілу F_y(y). Необхідно визначити оператор A_t, який перетворює суму сигналів u(t)=x(t)+v(t) у процес y^*(t), розподіл імовірностей F^*(y) якого був би найкращим чином з точки зору заданої міри близькості Q наближеним до бажаного розподілу F(y).

Таким чином, оператор A_t може бути знайдено розв`язуванням задачі

Але у такій загальній постановці задача синтезу розглядається рідко з урахуванням складності її розв`язання або практичної недоцільності.

Вибір критерію якості є достатньо важкою задачею із-за протиріччя вимог адекватності та конструювання до нього. Якщо y(t)- бажаний вихідний процес системи, а y*(t)- дійсний процес на її виході, то міра якості може бути сформульована на основі функції ризику або функції збитку l(y,y*).

Наприклад, l може бути дорівнювати тощо. Однак, при випадкових впливах l є випадковою функцією та не може бути безпосередньо застосована для оцінки якості. Для цих цілей може бути використано середнє значення R функції ризику

R = M [ l(y, y*) ],

яка зветься середнім безумовним ризиком. При різноманітних вхідних величинах x(t), R може приймати теж різноманітні значення. Тому є сенс розглядати більш адекватну міру у вигляді середнього ризику

R* = M [ l(y, y*) |_x=x ],

який дорівнює умовному математичному очікуванню R за умови, що x приймає вигляд x(t), наприклад, за умови, що x(t) має лінійно збільшуване математичне очікування M_x.

Існують також інші підходи вибору Q[ ]. Відомо, що доцільно вибирати міру якості у квадратичних формах, які мають екстремальні значеннями, за якими точки екстремуму вказують на оптимальність якості системи. Такі критерії спрощують задачу оцінки якості системи та розв`язання задачі синтезу.

(3.56)

В цьому випадку доцільною стає така постановка задачі синтезу оптимальних операторів.

Отже, загальну постановку задачі аналiзу якостi системи з точки зору критерiю СКО можна сформулювати таким чином .

Рис.3.101

На вхiд САУ, яка описується вiдомим оператором А_t поступають стацiонарний корисний сигнал х(t) та завада v(t) з вiдомими статистичними характеристиками. Вiдомо також перетворення А₀, яке необхiдно виконати над корисним сигналом, щоб здобути бажаний процес y(t) на виходi САУ. Необхiдно визначити СКО та її залежнiсть вiд змiни параметрiв системи та вхiдних величин х та v.

Хай на систему W_з(p) дiє адаптивна сумiш х(t)=g(t)+n(t), з вiдомими

cтатистичними характеристиками, а сама система повинна вiдтворювати деяку функцiю вiд корисного сигналу g(t)

y*(t)=A(p)g(t),

де А(р) - оператор iдеального перетворення.

Тому що похибка вiд дiї суміші х(t) визначається як то загальна задача визначення довiльної структури системи складається з того, щоб при вiдомих статистичних характеристиках корисного сигналу та завади знайти таку фiзично реалiзуєму оптимальну передаточну функцiю замкненої системи W_з opt(s), при якої середнє значення квадрата сумарної похибки було б мiнiмальним

Визначимо спектральну щільність похибки

Тодi

Мiнiмiзувати цей вираз можна за допомогою вибору оптимальної фiзично реалiзуємою передаточною функцiєю W_з(j).

Представимо А(j) та W_з(j) у виглядi

Тодi при

буде виконуватися спiввiдношення

яке буде приймати мiнiмальне значення за умови, при яких вираз

буде приймати максимальне значення, а це буде виконуватися якщо виконується умова

тобто

Тодi iз виразу

за допомогою

можна визначити оптимальну передаточну функцію

[ 2W() - 2A() ]S_g() + 2W()S_v() = 0

(3.57)

Але така оптимальна передаточна функцiя не може бути фiзично реалiзуєма за умови

при

Тому з цього виразу треба вiдокремити тiльки частину, яка буде задовольняти умовам фіхичної реалізуємості. Для цього вираз знаменника треба представити у виглядi

(3.58)

який утримує коренi у верхній та нижній комплексної півплощині. Пiсля цього виконується операцiя розщеплення, тобто видiлення частини виразу яка має верхнi коренi та частину з нижнiми коренями .

Якщо шукати фiзично реалiзуєму систему, то для неї треба вирiшувати задачу за умови

при t>0, тобто треба розглядати тiльки частину з верхнiми коренями.