2.3.10 Визначення ступеня стійкості системи

Динамічне відхилення у перехідному процесі можна визначити як

Хай найменший корінь .

В цьому випадку

Якщо степінь стійкості , тобто мінлива ось зміщена вліво на величину степеню стійкості, то

а в перехідному процесі є чисто коливальна складова, що визначає систему, яка знаходиться на межі стійкості.

Таким чином, якщо фіктивна системи буде знаходитися на межі стійкості, то початкова система буде мати задану степінь стійкості.

Отже,

.

При цьому, характеристичне рівняння фіктивної системи

(2.94)

називається зміщеним характеристичним рівнянням.

.

Якщо розкрити скобки та об'єднати коефіцієнти при однакових ступенях q, то визначимо

,

то коефіцієнти B_i будуть залежати від .

Знаходження степеню стійкості можна здійснити за допомогою критерію Гурвіца

Отже, визначення степеню стійкості зводиться до знаходження мінімального додатного або комплексного кореня для кожного із наступних алгебраїчних рівнянь

(2.95)

Якщо вимагається виконання умови, щоб система задовольняла визначеному степеню стійкості , тобто розташовувалися лівіше мінливої осі у області , то необхідно і достатньо, щоб задовольнялися умови

де

Якщо треба задовольнити умови, щоб система мала визначений показник коливальності, тобто S_i розташовувалися у секторі кута , необхідно і достатньо, щоб виконувалися умови

де

При цьому стійкість системи перевіряється по факту абсолютного зменшення елементів .

2.3.11 Аналіз якості методом траєкторії коренів.

Хай передаточна функція умовно розімкненої системи має вигляд

тобто коефіцієнти при старших степенях у чисельнику та знаменнику дорівнюють одиниці.

При цьому коефіцієнт підсилення розімкненої системи становить а передаточна функція замкненої системи буде тобто нулі замкненої системи збігаються з нулями умовно-розімкненої, а полюси визначаються із характеристичного рівняння . При цьому полюси , які визначаються із характеристичного рівняння умовно розімкненої системи , обчислюються без великих зусиль. Якщо змінювати коефіцієнти підсилення або який-небудь інший параметр, то корені будуть переміщуватися на комплексній площині по деяким кривим, які звуться траєкторіями коренів. При цьому можна дослідити, як будуть змінюватися степені стійкості та коливальності системи, тобто створювати перехідний процес.

Хай система має вигляд

Рис. 2.29

При цьому

де

Характеристичне рівняння замкненої системи буде , а його корені

Отже, при

тобто збiгаються з полюсами . Якщо збiльшувати K, то при

коренi будуть збiгатися.

Рис. 2.30

Подальше збiльшення приводить до появи комплексно сполучених коренів, бо

Таким чином , умова є умовою коливальностi перехiдного процесу.

Якщо ввести у систему гнучкий зворотній зв'язок за швидкiстю, то

Рис. 2.31

передаточна функцiя умовно розiмкненої системи буде де

а характеристичне рiвняння замкненої системи

.

При цьому . Отже, при K=0

тобто збiгаються з полюсами .

Якщо , то коренi будуть тiльки дiйснi i при збiльшенi один з них буде перемiщуватися у точку , тобто у нуль , а другий ,

Рис. 2.32

Якщо , то при коренi будуть комплексно сполученi.

Отже, спiввiдношення визначає умови монотонно перехідного процесу, з яких можна визначити критичне значення параметру зворотнього зв'язку

Тi коренi, якi значно уходять влiво вiд уявної осi при вiдносно великих оказують незначний вплив на динамiку системи, а динаміка системи все бiльш визначається наближеними до уявної осi коренями, якi у цьому випадку називаються домiнуючими. Найчастiшe система має одну пару домiнуючих комплексно сполучених коренiв вiдповiдної передаточної функцiї

де – коефiцiєнти демпфірування; – властива частота коливань, яка визначає

швидкодію системи

Рис. 2.34

Якщо система має тiльки цю пару коренiв та не має нулів, то перехiдна характеристика буде мати вигляд де

(2.93)

При цьому перерегулювання (у вiдносних одиницях) де t_max – час першого максимуму .

Резонансну частоту та показник коливальностi обчислюють за формулами

(2.94)

За визначеними траєкторіями коренiв можна знайти криву перехiдного процесу.

П 2.17

Визначити вплив власної частоти на час перехідного процесу

-- власна частота коливань

Рис. 2.34