2.8.5 Похибка системи керування при випадкових впливах.

Хай замкнена система автоматичного управління знаходиться під впливом випадкового корисного сигналу та випадкової завади яка може бути прикладена до будь-якої точки системи. Кореляційні функції та спектральні щільності сигналів відомі.

Треба визначити статистичні характеристики похибки системи, яка обумовлена дією цих сигналів.

Хай сигнал є стаціонарним випадковим процесом із спектральною щільністю , а випадкова завада відсутня.

Рис. 2.222 До перетворення статистичних характеристик замкнутою системою

Тоді , де . Отже, .

Інтегрування цього виразу за всіма частотами дозволяє визначити дисперсію та середньоквадратичне значення похибки

(2.300)

Також

Якщо ж відсутній задаючий вплив , а випадкова завада є випадковим стаціонарним сигналом із спектральною щільністю , то , де - комплексний коефіцієнт передачі, який зв`язує похибку системи та заваду .

Якщо завада діє на вході системи, то а .

Розглянемо тепер випадок, коли корисний сигнал та завада діють одночасно.

Позначимо через та відповідно вагові функції для похибки по корисному впливу та по заваді. Тоді похибку можна представити у вигляді

Тому що

то

Якщо помножити ліву та праву частини на та проінтегрувати по у межах від до , то здобудемо

(2.301)

Якщо взаємозв`язок між корисним сигналом та завадою відсутній, то

(2.302)

Отже, для схеми (Рис.2.222)

2.8.6 Мінімізація похибки при заданої структури системи керування

Розглянемо оптимізацію системи при різних припущеннях про характер керуючих та збуджуючих впливах коли структура системи задана. Припустимо що похибка системи

складається із динамічної похибки

та випадкової складової

Нехай

Розглянемо задачу мінімізації дисперсії загальної похибки, коли керуючий вплив є детермінованою функцією часу, а завада – широкополосна

Отже,

,

а швидкісна похибка

Тоді

Із знайдемо . При цьому

Отже, мінімум похибки настає при такому К, коли похибка від завади у 2 рази перевищує похибку, яка обумовлена керуючим впливом.

Якщо керуючий вплив теж є випадковою функцією то

Хай

де

Отже, . Із умови знайдемо