2.7.9 Визначення перехідних процесів по векторно-матричним моделям.
Розглянемо
рівняння виду
,
(2.261)
яке відповідає диференційному однорідному рівнянню першого порядку.
Нехай початкові
умови визначаються як
.
Рішення може бути знайдено у вигляді
Інтегруючи це
співвідношення, здобудемо
.
Отже,
Якщо
,
то
,
(2.262)
де – матриця переходу системи.
Якщо до рівняння (2.258) застосувати перетворення Лапласа, то
,
,
Звідси
.
(2.263)
За допомогою
зворотного перетворення Лапласа
.
Із зрівнювання
(2.259) та (2.260) здобудемо
.
Розглянемо рішення рівняння змінних стану САУ виду .
Пряме перетворення Лапласу дає
,
,
Тому що у останньому рівнянні другий складовий член правої частини рівняння є добуток зображень, то
(2.264)
Таким чином, для
визначення вектора стану необхідно
у першу чергу визначити перехідну
матрицю
Якщо матриця
діагональна, тобто
то
Якщо матриця
недіагональна і має різні властиві
числа, то
де
– матриця, діоганалізуюча матрицю
.
;
.
Матриця має вигляд:
(2.265)
де
– властиві вектори матриці
,
які задовольняють вимогам
.
Для методу нормальних змінних стану діоганалізуюча матриця представляє собою матрицю Вандермонда.
2.7.9 Обчислення часових характеристик по векторно-матричним моделям.
Нехай неперервна система керування описується векторно-матричними рiвняннями
Якщо
,
то
є перехiдна характеристика.
При цьому
,
.
Вiдомо, що
або у дискретному варiантi:
,
(2.266)
де
Якщо застосувати методи iнтегрування у залежності вiд , то при
похибка
на одному кросі iнтегрування буде
пропорцiйна
.
Для оцiнки точностi обчислення
треба виконати її обчислення з кроком
та
.
Якщо рiзниця вiдповiдних значень не буде
бiльш допустимої, то обчислення є
достовiрними.
Для забезпечення стiйкостi рiшення повинна виконуватися умова
,
де
-
коренi характеристичного рiвняння.
Окрiм явних формул iнтегрування можна користуватися виразами з наближенням Паде
(2.267)
або
якi дають стiйке рiшення для будь-якого за умови стiйкостi САУ. Перехідний процес або перехідна функція визначається, якщо .В цьому випадку ВММ визначається як:
.
(2.268)
Фундаментальну перехідну матрицю можна визначити за допомогою теореми Сильвестра
(2.269)
Хай рішення
виконується із кроком
.
При цьому рівняння (2.269) може бути записано
у вигляді дискретного рівняння
,
де
Якщо
(метод інтегрування першого порядку),
то
,
.
При
При
Для оцінки точності обчислення треба виконувати розрахунок з кроком та . Якщо різниця між відповідними значеннями не більша за допустиму, то розрахунок вважається достовірним.
Треба пам’ятати, що для забезпечення стійкого рішення повинна виконуватись умова
де
-
корені характеристичного рівняння.