2.3.3 Достатні та необхідні умови стійкості неперервних систем керування

Загальний розв'язок не залежить від зовнішніх збуджень , а визначається лише властивостями самої системи та початковими умовами. Тому він характеризує власний рух або перехідний процес системи.

Тому що то після зняття зовнішнього впливу , для стійких систем повинен наближатися до нуля, а це можливо, якщо

(2.79)

Отже, для стійкості системи повинна виконуватись умова

(2.80)

Тому що , де – корені характеристичного рівняння, то для стійкості системи корені повинні мати від'ємні дійсні частини: . Ця умова визначається як достатня умова стійкості системи.

Якщо система стійка, тобто виконуються достатні умови то характеристичне рівняння може бути визначене за допомогою теореми Вієта

(2.81)

Тому що від'ємні, то (2.81) перетворюється на .

Якщо розкрити дужки і зібрати коефіцієнти при однакових степенях , тобто, звести рівняння (2.81) до загального вигляду

то всі коефіцієнти будуть більше нуля

(2.82)

Отже, стійкій системі відповідає диференційне рівняння, коефіцієнти якого при всіх будуть більше нуля.

Ці умови є необхідними умовами. Слід пам'ятати, що зворотне твердження хибне, тобто якщо всі коефіцієнти характеристичного рівняння більше нуля, то з цього не слідує, що система стійка. Якщо всі корені характеристичного рівняння будуть мати від'ємні дійсні частини, то їх зображення на комплексній площині будуть знаходитись зліва від уявної осі, тобто у лівій півплощині, а уявна вісь є межею області стійкості.

Рис. 2.25 Область стійкості, межа стійкості та розташування коренів

При зміні від до зображуюча точка , яка відповідає , буде рухатися знизу, а лінія межі області стійкості штрихується зліва.

Якщо який-небудь корінь буде більшим від нуля, тобто знаходитиметься у правій півплощині, то відповідна частина вільного руху з часом буде зростати, а система буде нестійкою

2.3.4 Теореми Ляпунова про стійкість лінійних систем керування

Жодна реальна система автоматичного керування не є строго лінійною. Лінійні характеристики та лінійні диференційні рівняння отримуються шляхом лінеаризації реальних характеристик та рівнянь.

При цьому при розвиненні функції у ряд Тейлора відкидаються члени високих порядків, які для малих відхилень вважаються зневажливо малими.

Обгрунтування закономірності такої лінеаризації міститься у теоремах Ляпунова.

1. Якщо характеристичне рівняння лінеаризованої системи має всі корені з від'ємними дійсними частинами, то реальна система буде стійкою, тобто малі нелінійні члени не можуть у цьому випадку порушити стійкість системи.

2. Якщо характеристичне рівняння лінеаризованої системи має хоча б один корінь з додатною дійсною частиною, то реальна система буде нестійкою, тобто малі нелінійні члени не можуть зробити її стійкою.

3. Якщо характеристичне рівняння лінеаризованої системи має хоч один корінь з нульовою дійсною частиною або число уявних коренів, то поведінка реальної системи не завжди навіть якісно визначається її лінеаризованим рівнянням. При цьому навіть малі нелінійні члени можуть зробити систему стійкою або нестійкою.

Таким чином, дослідження стійкості системи зводиться до визначення знаків дійсних частин коренів характеристичного рівняння замкненої системи або до встановлення розташування цих коренів на комплексній площині.

Визначити знаки коренів можна, розв'язавши характеристичне рівняння замкненої системи. Але розв'язання рівнянь вищих степенів є складною задачею та не завжди може бути доцільним з точки зору визначення стійкості системи, бо для цього потрібні не самі значення коренів, а тільки інформація про знаки дійсних частин усіх коренів.

Тому для визначення стійкості часто-густо використовуються побічні методи аналізу, які дозволяють дати відповідь про стійкість системи без визначення самих коренів характеристичного рівняння.

Такі методи звуться критеріями стійкості.