2.1.2 Застосування перетворення Лапласа до розв’язання диференційних рівнянь

Якщо рівняння системи задано у вигляді:

та задано початкові умови ,

то у операторної формі

де

(2.10)

.

Вплив початкових умов при .

Якщо корені дійсні, то

Якщо помножимо зліва та справа на множник , то

Після підставлення та розкриття невизначеності множення за правилом Лапіталя, знайдемо . Таким чином

Якщо є комплексно-сполучені корені ; ; то

, що дає складові , які за допомогою формул Ейлєра можна привести до вигляду

Отже,

При кратних коренях

Дія керуючого впливу

Якщо є один нульовий корінь

П 2.8

Визначити розв’язок для задачі П 2.1 , якщо

1. Використовується процедура зворотного перетворення Лапласа

2. Будується графік перехідного процесу

міра інерційності аперіодичної ланки . Вважається, що перехідний процес закінчується через .

2.1.3 Принцип лінеаризації рівнянь.

У більшості практичних задач зміна вхідного сигналу поблизу робочої точки буває настільки малою , що нелінійна характеристика зв`язку може бути приблизно замінена лінійною . Така операція називається лінеаризацією.

Хай вхідний сигнал нелінійного елементу зображується у вигляді

(2.11)

де – математичне очікування вхідного сигналу

– центрована випадкова складова вхідного сигналу.

Візьмемо за центр розкладу математичне очікування, а нелінійну характеристику розкладемо у ряд Тейлора відносно центрованої випадкової складової

Рис.2.8

(3.12)

Якщо центрована складова у робочої точки мала , то можна обмежитися тільки лінійними членами розкладу . Така заміна нелінійної залежності вихідного сигналу від вхідного наближеною залежністю при перемінному математичному очікуванні вхідного сигналу рівноцінно заміні кривої рухомої дотичної до неї у точці .

Таким чином , наближена залежність лінійна тільки відносно випадкових коливань (флуктуацій) та остається нелінійною відносно корисного сигналу . Внаслідок цього принцип суперпозиції для лінеаризованих характеристик справедливий тільки при

Величина дорівнює тангенсу кута нахилу дотичної до кривої у точці , тобто , (2.13), де – коефіцієнт лінеаризації .

Якщо розглядати поведінку системи при малих відхиленнях , то перенесення початку координат дає рівняння у відхиленнях . Якщо ж робоча точка системи є сталою та дорівнює , то можна узагальнити результати, тобто

(2.14)

Таким чином , коефіцієнт лінеаризованого рівняння залежить від вибору робочої точки на статичній характеристиці елементу.

П 2.9

Скласти загальну математичну модель замкнутої системи