2.6.26 Частотні методи дослідження якості

Із теорiї перетворення Фур'є вiдомо що оригiналу часової функцiї x(t) може бути поставлене вiдповiдне зображення у частотнiй областi

Якщо якiсть системи може бути визначена через деякi показники перехiдної характеристики, то цiлком ймовiрно застосувати для визначення якості показників вiдповiднi частотнi характеристики. Коли на систему впливає гармонiчний сигнал, то сталi значення вихiдної величини теж будуть гармонiчними : .

При впливi на систему одиничної ступiнчатої функцiї g(t)=1(t) вихiдна величина, яка визначає перехiдну характеристику h(t), може бути обчислена через дiйсну або мiнливу частотну характеристику замкненої системи:

Якщо система використовується для вiдтворювання корисного сигналу, то бажано зробити похибку системи як найменш можливою. Для цього потрiбно, щоб виконувалась умова .

Але тому що , то умова є нездiйсненою, тобто

Тому приймається умова, щоб у полосi частот пропускання впливу виконувалась нерiвнiсть

де .

З цього спiввiдношення можна зробити висновок або ,

а тому що , то

(2.236)

Отже, для того щоб система добре вiдпрацьовувала корисний сигнал з малими похибками, треба щоб амплiтудно-частотна характеристика системи була ширше нiж максимальне значення частотного спектру дiючого на систему впливу.

2.6.27 Показник коливальності систем керування

Хай лiнiйна система має комплексний коефiцiєнт передачі умовно розiмкненої системи Wр(jw), який можна представити у виглядi

Замкнена система вiдповiдно має амплiтудно-фазо-частотну характеристику

Якщо побудувати амплiтудно-частотну характеристику , то по неї можна встановити деякi властивостi системи.

Рис. 2.169 Модуль АФЧХ замкнутої системи та показник коливальності

– резонансна частота ,

– частота, яка вiдповiдає смузi пропускання замкненої системи та яка визначається з умов ,

– частота зрiзу, яка вiдповiдає умовам ,

– еквівалентна смуга пропускання замкненої системи

(2.237)

Тому що АЧХ замкненої системи вiдображає здiбностi системи пропускати тi чи інші частотнi складовi зовнiшнiх впливiв, то при дiї на систему одиничного стрибка g(t)=1(t), який має вiдповiдний частотний спектр

система буде по рiзному реагувати на елементарнi гармонiки цiєї функцiї тобто на виходi системи буде з'являтися вiдповiдна реакцiя , а сума всiх складових нескiнченного ряду визначить значення перехiдної функцiї y(t)=h(t)

Якщо деякi складовi пiдсилюватися замкненою системою, то на вiдповiдних частотах на амплiтудно-частотних характеристиках замкненої системи з'являється пiк, який можна визначити як .

Якщо задаючий сигнал на входi системи змiнюється за законом , то вихiдний сигнал теж буде змiнюватись за гармонiчним законом .

Отже, вiдношення амплiтуд y_мах та g_мах може визначатися модулем частотної характеристики замкненої системи

.

Частота, на якій виконується умова називається резонансною частотою .

Максимальне значення модуля визначає показник коливальностi системи

(2.238)

якщо W(0)=1.

Показником коливальностi системи називається максимальне значення ординати амплiтудної характеристики замкненої системи при початковiй ординатi W(0) яка дорівнює одиницi.

Чим вищий резонансний пiк , або чим бiльший показник М коливальностi системи, тим система бiльш схильна до коливанням у її вiльному та збуджувальному рухiв.

Таким чином, якщо не має пiку, тобто не має резонансної частоти, то перехiдний процес не буде мати перерегулювання.

Вважається, що для дуже добре спроектованих систем показник коливальностi лежить у межах

1,1  М  3 ,

для добрих 1,3  М  1,5 ,

задовільних 1,5  М  1,7.

Розглянемо спiввiдношення

при .

Отже, пiсля деяких алгебраїчних перетворень можна здобути

(2.239)

або

Це спiввiдношення дозволяє у координатах U та V розiмкненої системи побудувати систему кіл з центрами та радiусами, яки вiдповiдають сталим значенням М.

(2.240)

При М=1 вiдповiдне коло вироджується у пряму лiнiю, яка паралельна осi ординат та проходить злiва вiд неї на вiдстанi 0,5.

При коло вироджується у точку, яка співпадає з критичною точкою (–1,j0).

Рис. 2.170 Визначення показника коливальності

Для визначення показника коливальностi системи треба побудувати характеристику у координатах та та знайти коло, яке торкнеться амлiтудно-фазової характеристики. Якщо ж задано побудувати систему, яка б мала показник коливальностi не бiльший заданого М_мах, то треба визначити вiдповiдне коло, якe визначить заборонену зону, у яку не повинна входити АФЧХ .

Амплiтудна фазова характеристика може тiльки торкатися цього кола. В цьому випадку показник коливальностi буде як раз тим, який вiдповiдає цьому колу. Таким чином, коло М_мах є забороненою зоною для АФЧХ розiмкненої системи. Ця зона охоплює точку (-1,j0) та забезпечує добування заданого запасу стiйкостi. Заборонена зона може бути побудована i на логарифмiчних характеристиках системи. Якщо визначити деяке коло з відповідним М, то можна побудувати графiк .

Рис. 2.171 До побудови забороненої зони

З трикутника ОВА, можна встановити, що . Якщо визначити то . Це спiввiдношення виконується при умовах

Якщо модуль дорiвнює то при цьому буде максимальний запас за фазою

Рис. 2.172 Залежність запасів по фазі та показника коливальності

Таким чином, якщо задано показник коливальностi та побудована ЛАФЧХ системи, то по модулю i графiку (Рис.2.172) можна побудувати заборонену зону, в яку не повинна входити фазова характеристика системи.

Рис. 2.173 ЛАФЧХ та заборонена зона заданого М