2.3.5 Алгебраїчні критерії стійкості.

Алгебраїчні критерії стійкості дозволяють по коефіцієнтах характеристичного рівняння замкненої системи визначити ,чи всі корені знаходяться у лівій півплощині, не розв'язуючи самого рівняння. Задача визначення критеріїв стійкості руху, який описується диференційними рівняннями будь-якого порядку, була сформульована Максвелом у 1868 році.

В 1873-1877 рр. ця задача вперше була розв'язана англійським математиком Раусом та представлена у формі алгоритму ,визначаючого послідовність математичних операцій з коефіцієнтами характеристичного рівняння .

Цей алгоритм визначає правило для обчислення елементів таблиці, яка носить ім'я її засновника Рауса.

2.3.6 Критерій Рауса.

Позначимо літерою номер стовпця, літерою i-номер рядка.

Елементи таблиці обчислюються за формулою

(2.83)

де

Перші два рядки заповнюються коефіцієнтами характеристичного рівняння

Таблиця Рауса Таблиця 4

	Ri	1	2	3	4
1	–
2	–
3
4
5

Якщо при обчисленні значень деяких елементів таблиці у формулі виникають коефіцієнти з від'ємними індексами, то відповідні клітини таблиці заповнюються нулями. Число рядків таблиці дорівнює _. Для стійкості системи необхідно і достатньо, щоб всі елементи першого стовпця таблиці Рауса були б додатні. Число змін знаку визначає число коренів з додатними дійсними частинами, тобто число коренів, які лежать у правій півплощині комплексної змінної . Якщо _, то у системі є пара чисто уявних коренів.

Треба зауважити, що практичне використання цього алгоритму спочатку не знайшло широкого запровадження, оскільки він був зв'язаний з великим обсягом обчислювальних робіт. Але в наш час у зв'язку з використанням ЕОМ цей критерій доцільно використовувати для визначення стійкості, бо він просто алгоритмізується для розв'язання цієї задачі.

2.3.7 Критерій Гурвіця.

В 1895 році Гурвіц знайшов свій алгебраїчний критерій стійкості.

Для того, щоб всі корені характеристичного рівняння були ліві, тобто мали від'ємні дійсні частини, необхідно і достатньо, щоб всі визначники Гурвіца були б одного знаку.

Хай характеристичне рівняння замкненої системи має вигляд

Головний визначник Гурвіца має розмірність , перший рядок якого заповнюється коефіцієнтами з непарними індексами, починаючи з , коефіцієнти з від'ємними індексами заповнюються нулями. Униз від елементів першого рядка стовпці визначника заповнюються коефіцієнтами з індексами, які кожний раз зростають на одиницю, нижче системи заповнюються нулями

(2.84)

Визначаючи у цьому головному визначнику його діагональні мінори, отримують визначники нижчого порядку.

Для стійкості слід визначити знаки визначників Гурвіца ,бо знак головного визначника залежить від знаку попереднього визначника та коефіцієнту

Увага! Перед обчисленням визначників Гурвіца слід звернути увагу на виконання необхідних умов стійкості, тобто всі коефіцієнти характеристичного рівняння повинні бути додатні.

Наслідки:

1. Для рівнянь 1-го та 2-го порядків необхідні умови стають і достатніми, тобто якщо всі коефіцієнти таких рівнянь більші нуля , то корені характеристичних рівнянь мають від'ємну дійсну частину, а система є стійкою

2. Для рівняння 3-го порядку неoбхідно і достатньо ,щоб всі коефіцієнти були б більші нуля та виконувалась умова

(2.85)

тобто добуток середніх коефіцієнтів більший, ніж добуток зовнішніх.

Як було вже встановлено, для зменшення похибки у сталому режимі необхідно збільшувати коефіцієнт підсилювання системи, значення якого зосереджується у вільному коефіцієнті характеристичного рівняння замкненої системи. Необачне збільшення чього коефіцієнту може порушити умови стійкості системи. Тому для кожної системи можуть бути визначені критичні коефіцієнти підсилювання.

Якщо характеристичне рівняння замкненої системи має вигляд:

,

то для стійкої системи виконується .

Якщо , то ці умови визначають межу стійкості, а значення a₀ ,буде критичним.

Отже,

(2.86)

Якщо через визначити , то співвідношення визначає коефіцієнт запасу стійкості за підсилюванням: . Вважається, що для нормальної роботи системи повинен бути забезпечений запас стійкості у (15-20)дб.