7. Принцип максимуму Понтрягіна

Принцип максимуму відбиває необхідні умови екстремуму функціонала вигляду , де вектор-функція, яка визначається системою диференційних рівнянь , вектор, який належить класу обмежених функції , а задовольняють умовам диференційованості за своїми аргументами. Шляхом введення допоміжних змінних та , для яких

Початкова задача приводиться до задачі визначення екстремуму функціонала .

При цьому система рівнянь набуває вигляду , а формулювання варіаційної задачі полягає у визначення вектор-функції , яка дозволяє перевести відображаючу точку у точку , яка лежить на прямої паралельної осі простору координат та надає екстремальне значення координаті , тобто (рис.3.120)

Рис.3.120 До пояснення принципу максімуму Понтрягіна

В основі доказу теореми принципу максимуму лежить поняття гілчастої варіації та гіпотези про нескінченно малих функції варіаціях функції та функціоналу , які обумовлені гілчастою варіацією функції .

3.7.8 Принцип максимуму для задачі із вільним кінцем траєкторії та із заданим часом керування.

Формулювання такої задачі будується на застосуванні вектор-функції , яка задовольняє умові (3.120), яка зветься системою спряжених рівнянь, та функції Понтрягіна . З урахуванням системи диференційних рівнянь система рівнянь приймає вигляд . Отже, для оптимальності функції та траєкторії необхідно існування також ненульової вектор-функції , для якої виконуються умови :

1) та 2) функція Понтрягіна для будь якого досягає свого максимуму по , тобто .

3.7.9 Принцип максимуму для задач з незаданим часом керування.

В задачі з незаданим часом керування принцип максимуму формулюється як та , що витікає з умови трансверсальності, тобто оптимальна траєкторія при була перпендикулярна до прямої , паралельної осі та яка проходить через точку (рис. 3.121 )

Рис.3.121 До задачі з незаданим часом керування

Таким чином, час керування визначається з умови . А початкові умови визначаються методом пристрілки.

3.7.10 Принцип максимуму в задачах оптимальної швидкодії з закріпленим кінцем траєкторії.

В цьому випадку у формулюванні принципу максимуму функція Понтрягіна береться у вигляді , а початкові умови для функції визначаються з урахуванням попадання кінця траєкторії н точку .

Принцип максимуму в задачах максимальної швидкодії з фіксованою областю кінця траєкторії.

Така задача дозволяє знайти вектор , який переводить відображаючу точку із точки

початкових умов в точку , яка належить заданої області за мінімальний час (рис. ). При цьому оптимальна траєкторія відповідно умовам трансверсальності буде перпендикулярною до області в точці . Кінцеві значення для обираються з умови або з яких можна визначити недостатні початкові умови для функції .