2.8.7 Визначення дисперсії відхилення при випадкових впливах.

У разi статистичного взаємозв'язку корисного сигналу та завади спектральну щільність сигналу похибки можна визначити як

,

де

Тому що у прикладних задачах має вид дрiбно-рацiональної функцiї вiд квадрата частоти , то її обчислення може бути зведено до вигляду

(2.303)

де

Пiсля пiдстановки (2.201) у (), iнтегрування за та урахування границь, здобувається деякий вираз, який залежить вiд параметрiв полiномiв знаменника та чисельника, тобто

(2.304)

який у залежностi вiд n дозволяє обчислити значення iнтегральної оцiнки системи, так при

Якщо спектральна щільність сигналу представляє собою дрiбно-рацiональну функцiю вiд , то обчислення інтегралу (2.202) можна звести до обчислення інтегралу стандартного типу

(2.305)

де

При цьому слiд розглядати лише стiйки системи, для яких усі коренi полiному q(j) розмiщуються у лiвiй півплощині площини ( при ).

Тодi значення інтегралу (2.305) обчислюється по формулi

де є визначник Гурвiця для полiному ,

а визначник дорiвнює визначнику , у якому перший стовпчик змiнюється на коефiцiєнти полiному

П 2.88

Хай на вхiд САУ, структурна схема якої приведено на Рис. 11.41, поступає статистично незалежнi стацiонарний корисний сигнал та завада , кореляційні функцiї яких вiдомi, а математичнi очікування завади дорiвнюють нулю

Необхiдно визначити та

Математичне очікування вiдхилення дорiвнює

Дисперсiя визначається по схемi :

1) Визначаються та

2) визначаються спектральнi щільності

3) визначається спектральна щільність сигналу похибки

4) визначається складова дисперсiї вiд корисного сигналу

5) повна дисперсiя визначається з урахуванням коефiцiєнтiв та , тобто

П 2.89

На слiдкуючу систему, структурна схема якої зображена на мал. , прикладено корисний сигнал g(t) та завада v(t), спектральнi щільності яких вiдомi

Визначити математичне очікування та дисперсiю сигналу похибки у сталому режимi, якщо

Вираз для зображення за Лапласом сигналу похибки має вигляд

Тому що , то .

Обчислення дисперсiї сигналу

Спектральна щільність дорiвнює

Отже,

2.8.8 Критерії мінімуму середньоквадратичної похибки.

Розглянемо лiнiйну систему з розiмкненою передаточною функцiєю ; на вхiд системи дiє адитивна сумiш корисного випадкового процесу та завади ,яка прикладена до сигналу похибки .

Рис. 2.223 До задачі критерію мінімуму середньоквадратичної похибки

Система повинна вирiшувати задачу вiдтворення корисного сигналу та фiльтрацiї завади.

Тому що , то

,

а

Вихiдний сигнал системи можна визначити як сумiш двох складових

,

якi є реакцiєю системи на корисний сигнал та заваду, тобто

є реакцiєю на корисний вплив

- реакцiя на заваду.

У свою чергу i сигнал похибки системи буде складатися з двох частин

,

де - динамiчна складова, яка визначається реакцiєю системи на корисний сигнал

- флуктуаційна складова, яка визначається проходженням через систему сигналу завади v(t).

Таким чином

Система повинна забезпечити досягнення мiнiмуму суми динамiчної та флуктуаційної похибок.

Така постановка задачі i визначає критерiї мiнiмуму середньоквадратичної похибки.

Будемо вважати, що спектральнi щільності та вiдомi. Тому що квадрат середньоквадратичної похибки системи можна знайти iз спiввiдношення

де - середньоквадратична похибка системи, а на входi системи прикладено два статистично незалежнi впливи та то квадрат середньоквадратичної похибки системи буде визначатися як

Спектральна щільність похибки лiнiйної стацiонарної системи визначається за формулою

де

Отже,

(2.304)

Рис.2.224 Визначення мінімуму середньоквадратичної похибки

У реальних умовах частотний спектр системи, корисного сигналу та завади має вигляд позначений на Рис.2.225, з якого видно що система не пропускає весь спектр корисного сигналу, що приводить до появи динамiчної похибки.

Рис.2.225 Співвідношення спектральних щільностей та частотних властивостей системи

(2.305)

а флуктуаційна похибка з'являється тому, що система пропускає деяку частину спектру завади

(2.306)

Отже, динамiчну похибку можна зменшити, якщо поширювати частотний спектр системи, а флуктуаційну похибку можна зменшити, якщо спектр системи буде вужче. Таким чином, виходячи з постановки задачі треба визначити таку частоту , яка б забезпечувала мiнiмум середньоквадратичної похибки (2.307)

(2.308)

Якщо вважати, що у вузьких границях спектральну щільність завади можна вважати сталою величиною , то можна ввести поняття ефективної полоси пропуску системи

(2.309)

П 2.90

Розрахунок середньоквадратичних похибок

1. Система задана умовно розімкнутою передаточною функцією

2. На вхід системи діє корисний випадковий сигнал із спектральною функцією

Випадкове збудження діє на похибку системи

3. Зображення сигналу похибки

, де ,

4. Частотні характеристики

5. Ефективна частота пропуску

6. Середньоквадратичні похибки