2.1.7 Інтегральні показники якості перехідних процесів

Якість неколивальних перехідних процесів може бути визначена по інтегральному відхиленню у перехідному процесі, тобто (2.25) Для коливальних ( та неколивальних ) процесів застосовуються оцінки (2.26) або (2.27), де - зветься інтегральною квадратичною оцінкою, яка враховує величину відхилення. Якщо враховувати і швидкість відхилення, то застосовується (2.28), тобто покращена інтегральна квадратична оцінка.

Задача аналітичного конструювання полягає у необхідності визначення параметрів замкнутої системи керування по суті критерію при відомому операторі об’єкту керування та операторі керуючої підсистеми ( регулятора ) із заданою структурою таким чином, щоб критерій оптимальності досягав мінімального значення. Тому що похибка системи залежить від параметрів системи, то оптимальні ( у деякому розумінні ) параметри регулятора можна визначити за допомогою критеріальної функції та з рівняння (2.29), з яких визначається параметр настройки регулятора, що забезпечує мінімальне значення заданого критерію.

Хай iнтегральна оцiнка взята у виглядi . Вiдповiдно зворотного перетворення Фур’є . Якщо помножити це спiввiдношення на та проінтегрувати вiд 0 до , то

Отже, енергiя вiдхилення похибки вiд сталого значення пропорцiйна iнтегралу вiд квадрата модулю спектральної функцiї цього вiдхилення. Ця форма вiдома як форма Парсевеля.

Якщо позначити спектральну енергетичну функцiю або щільність енергiї через , тобто то

Отже, квадратичне iнтегральне вiдхилення дорiвнює площинi спектральної щільності енергiї, подiленої на .

П 2.12

Для заданої системи керування визначити оптимальне значення коефіцієнту підсилювання Ku з точки зору інтегральної оцінки якості

1. Оператор умовно розімкнутої системи

2. Оператор замкнутої системи

3. Оператор помилки системи в залежності від впливу,що задається

4. Перехідний процес

5. Обчислення інтегральних оцінок (квадратичної І та покращенної квадратичної І2) від параметрів системи

Перехідні процеси, що відповідають оптимальним значенням Ku

Висновок: мінімізація інтегральної оцінки І2 дає кращий перехідний процес при меншим значенні коефіцієнті підсилення.

Тема 2.2 Передаточні функції неперервних систем керування.

Найбiльш загальним пiдходом до складання рiвнянь систем керування є моделювання на основi рiвнянь стану iз описом елементiв системи у виглядi фазових макромоделей.

При цьому використаються методи, зв'язанi iз такими припущеннями:

1. Математичнi моделi iнерцiйних елементiв є лiнiйними.

2. Елементи системи мають властивостi однобічної передачі сигналiв.

3. Стан виходу кожного елементу системи визначається тiльки станом входiв та внутрiшнiми властивостями елементу.

Згiдно першого припущення iнерцiйнi елементи можуть бути описані диференцiйними рiвняннями типу або системою диференцiйних рiвнянь першого порядку та рiвнянням виходу .

Якщо використати перетворення Лапласа до цiєї системи, то здобудемо

(2.30)

Звідси

Оскільки при аналiзi динамічних процесiв у САУ розглядаються сигнали, якi починають дiяти у визначений момент часу, який приймається за початок вiдлiку , то вони задовольняють вимогам . Якщо при цьому початкові умови дорiвнюють нулю, тобто , то можна знайти матрицю

, (2.31)

яка зображає собою лiнiйний оператор перетворення зображень сигналiв на виходi та на входi системи або

(2.32)

Цей оператор W(S) зветься передаточною функцiєю елемента.

Отже, передаточна функція - це вiдношення зображення вихiдного сигналу до зображення вхiдного при нульових початкових умовах.

Таким чином, диференцiйне рівняння

при нульових початкових умовах, якщо використати правило перетворення Лапласу до оригіналів та їх похiдних, приймає вигляд (2.33)

що дає (2.34)

де та – корені відповідних поліномів та .

Значення коренів поліному , при яких перетворюється у безкрайнiсть, звуться полюсами передаточної функцiї.

Значення коренів поліному , при яких перетворюється у нуль, звуться нулями передаточної функцiї.

Пам'ятайте! Для фiзичної можливості системи порядок полiному не повинен бути вище порядку полiному , тобто . У протилежному випадку порушуються спiввiдношення причинно-наслідкових зв'язкiв.

Отже, перехiд до поняття передаточної функцiї може бути виконаний формально iз диференцiйного рiвняння елементу, об'єкта, тощо, при нульових початкових умовах.

Так для двигуна постiйного струму, який описується диференцiйним рiвнянням ( ), передаточна функцiя, яка зв'язує зображення вихiдної величини, тобто кута обертання та зображення напруги на входi, буде мати вигляд

Таким чином, опис системи за допомогою передаточних функцiй дозволяє без рiшення диференцiйних рiвнянь здобути оригінал вихiдної величини, якщо вiдомий опис вхiдного сигналу, тобто

, (2.35)

де – символ зворотного перетворення Лапласу.

Якщо початкові умови не нульові, то необхідно враховувати зображення похідних

…

при визначенні передаточної функції з диференційного рівняння, тобто

,

де другий елемент суми визначає вплив початкових умов .

Для оперативного користування операторними методами перетворювань Лапласу слід визначити спiввiдношення зображень та їх оригiналiв для типових сигналiв.

Типові перетворення Лапласа

Tаблиця 2.1