2.7.17 Обчислення матричної експоненти exp(at) Тому що то суттєву роль у визначенні змiнних стану грає вираз який називають матрицею переходу або матричною експонентою.

Для обчислення матричної експоненти її можна розкласти у ряд по ступеням

(2.283)

Число членiв розкладу визначається властивостями системи та iнтервалом дискретностi .

Так при розклад вiдповiдає методу Ейлера, при - методу Рунге-Кутта четвертого порядку.

Для обчислення фундаментальної матрицi може бути застосовано рекурентний алгоритм

де -номер шагу рекурентного алгоритму

(початкове значення для та );

остача ряду, що визначає точнiсть обчислень.

Ефективним засобом обчислення матричної експоненти є використання формул на основi апроксимації Горнера

Якщо система є цифровою, то її рiвняння динаміки можна записати у видляді

Тодi рiшення рiвнянь стану записується у виглядi

, (2.284)

де

Якщо неперервна частина системи задана рiвняннями

то за умови , перехiдна матриця стану дорiвнює ,

де а .

Якщо матриця має велику розмiрнiсть, то операцiя зведення матрицi у степiнь потребує значних затрат часу. Однак, будь-яка степiнь матрицi може бути обчислена за схемою Келi-Гамiльтону

,

де - коефiцiєнти характеристичного рiвняння матрицi .

Так, якщо задано цифрову систему керування , а матриця визначена як

,

то її характеристичне рiвняння буде

Отже, матричне рiвняння запишемо у виглядi

що дозволяє визначити

Далi

тощо.

Матрична експонента може бути визначена i за допомогою -перетворення.

Тому що

то для систем високого порядку операцiя знаходження потребує дуже велику чисельнiсть обчислень. Однак ця операцiя може бути виконана за допомогою теореми Келi-Гамiльтону

В цьому випадку

Хай

Характеристичне рiвняння

Коефiцiєнти характеристичного рiвняння

Тодi

Отже,

За допомогою цiєї процедури можна здобути i матрицю

2.7.18 Визначення передаточної функції дискретної системи

Тому що рівняння змінних стану має вигляд ,

а рiвняння виходу то

Якщо покласти , то

Отже, спiввiдношення

(2.285)

визначає передаточну функцiю дискретної системи.

2.7.19 Застосування вмм до аналізу нелінійних систем

Розглянемо систему керування яка описується рівнянням

Розвязок системи при початкових умовах має виглд

Якщо покласти , де – крок побудови процесу, то

Якщо інтеграл обчислити по формулі прямокутників з кроком , то

Позначимо . Тоді

Тобто

(2.286)

Якщо використовувати точність побудови перехідного процесу, яка відповідає точності кдосконаленого метода Ейлера, то

Педставимо систему у вигляді лінійної та нелінійної частин

Тоді

Або . (2.287)

Якщо вважати що у межах одно кроку функція то тому що

а , то .

Отже ,