5.3 Некоторые условия истинности сложных суждений. Таблицы истинности

Истинность и ложность простых суждений, как было отмечено в предыдущем модуле, находится вне власти логики. Определение

истинности и ложности каждого суждения - дело не логики, а кон- кретных наук, повседневной практики, наблюдений. Зависят они от добросовестности людей, утверждающих или отрицающих что-либо.

К примеру, истинность суждения «Конфликты являются главной причиной отрицательных эмоций» устанавливается психологией или

нашей наблюдательностью.

Ложно или истинно утверждение «Наша Вселенная возникла в результате Большого взрыва»? Понятно, что логика не сможет отве- тить на данный вопрос. Это проблема астрофизики и космологии.

Сложное суждение - тоже мысль, которая что-то утверждает или отрицает. Она может быть истинной и ложной.

Как установить её истинность?

Поскольку сложные суждения образуются из простых посредст- вом логических союзов, то для определения истинности сложных суждений надо выяснить смысл логических союзов.

Логические союзы не обозначают никаких предметов действи- тельности. Они изобретены людьми как средства связи наших мыс- лей. Они являются инструментами мышления, не имеющими пря-

103

мых аналогов в реальности. Поэтому вопрос об истинности или ложности высказываний с логическими союзами, об истинности или ложности сложных суждений - это вопрос логики. И решает его только логика.

Издревле люди договорились относительно того, когда логиче- ские высказывания с тем или иным логическим союзом считать ис- тинными, а когда - ложными. Конечно, это негласное соглашение скорее всего возникло как результат естественных и объективных процессов формирования человеческого мышления и языка. Посте- пенно оно закрепилось практикой нашего общения. И усваивается

каждым человеком в процессе его воспитания и обучения интуитив-

_но.

Итак, мы договариваемся относительно того, когда высказывания с той или иной логической связкой будем считать истинными, а ко- гда - ложными.

Это наше соглашение достаточно наглядно выражается таблица- ми (матрицами) истинности, предложенными выдающимся авст- рийским философом - неотомистом и логиком Людвигом Витген- штейном (1889 - 1951). Строятся таблицы следующим образом:

каждая таблица имеет вход и выход, отделяемые друг от друга двумя вертикальными чертами;

на входе записываются все возможные комбинации истинност- ных значений простых суждений, из которых составлено рассматри- ваемое нами сложное суждение. К примеру, суждение состоит из двух простых суждений (переменных, так как простые суждения, входящие в состав сложного, могут быть любыми, меняющимися,

переменными) - А и В. Тогда возможны следующие комбинации:

А - истинно, В - истинно;

А - истинно, В - ложно;

А - ложно, В - истинно;

А - ложно, В - ложно.

Если бы переменных было три (А,В,С), то количество комбина- ций истинностных значений было бы восемь. При четырёх - шестна- дцать. При пяти - тридцать два. И так далее по формуле: 2ⁿ.

Здесь цифра 2 обозначает, что каждое простое суждение может иметь только два значения - либо истинное, либо ложное. А n - ко- личество переменных или простых суждений в составе сложного.

В таблице каждая комбинация значений истинности занимает

_{свою отдельную строку;}

104

на выходе выписываются значения сложного суждения.

Построим общую таблицу для основных логических союзов или

– это одно и то же - для сложных суждений, состоящих из двух про-

	А	В	А &В	А∨В	А∨ В	А →В	А ≡В	¬А
1 2 3 4	и и л л	и л и л	и л л л	и и и л	л и и л	и л и и	и л л и	л л и и

_{стых суждений:}

Обратите внимание, как на входе записываются значения истин- ности. Привыкайте с этого момента к правильной записи таблицы (матрицы) истинности.

Конъюнкция истинна только в случае, когда истинны оба про- стых суждения или обе переменные. Если Вас спросят, при каких условиях будет истинным сложное конъюнктивное суждение «Эко- номика развивается успешно (А), и все люди счастливы (В)», то Вы согласитесь со мной, что истинным оно будет только при одном том условии, что обе части суждения истинны, то есть и экономика раз- вивается успешно (А), и все люди счастливы (В).

Слабая дизъюнкция истинна в трёх случаях и ложна - в одном: когда обе переменные ложны. Что можно сказать о суждении: «Мы будем изучать математическую (А) или классическую логику (В)»?

Ваша интуиция подскажет Вам, что данное сложное суждение будет истинным в случае 1, 2 и 3, то есть если мы будем изучать обе логики, или одну из двух.

Но если оба простых суждения будут ложными, то есть не дове- дётся нам изучать ни классической логики, ни математической ло- гики, то тогда и целиком сложное суждение будет ложным.

Строгая дизъюнкция истинна, если один из членов дизъюнкции ложный, а другой - истинный. Исключающая дизъюнкция не может быть истинной, если оба её элемента одновременно ложны или од- новременно истинны.

Например: «На предстоящих в США выборах победят либо рес- публиканцы (А), либо демократы (В)». Данное сложное суждение будет ложным, если окажутся истинными оба дизъюнкта, то есть вдруг победят на выборах одновременно и та, и другая американ- ские политические партии. Будет сложное суждение ложным и в

105

случае, если ложными окажутся обе его составные части, то есть проиграют на выборах и республиканцы, и демократы.

Не вызовет затруднений и таблица для эквивалентности. Раз мы утверждаем эквивалентность двух высказываний, то сложное суж- дение, состоящее из двух простых будет истинным, когда оба члена эквиваленции либо одновременно истинны, либо вместе ложны. На- пример: «Слон голоден (А) тогда и только тогда, когда он давно не ел (В)».

Импликация или импликативное суждение истинно в трёх случа-

ях и ложно - в одном, когда основание истинно, а следствие ложно.

Жан-Жак Руссо утверждал: «Вам никогда не удастся создать мудрецов (В), если будете убивать в детях шалунов (А)».

Но, допустим, Вам удастся покончить с детскими шалостями, то есть будет подтверждена истинность основания импликации. И вме- сте с тем в результате вырастут мудрые люди, то есть следствие

окажется ложным. Это будет означать, что утверждение Ж. Руссо не

имеет права считаться истинным.

Во всех остальных случаях истинность его не вызывает сомне-

ний.

Можете самостоятельно поиграть со значениями простых сужде- ний. А можно просто запомнить, при каких условиях истинно или ложно импликативное суждение.

Значение отрицания, думается, очевидно: если А - истинно, то не-А будет ложным. И наоборот.

В заключении данного раздела рассмотрим, как пользоваться таблицей для определения истинности - ложности сложного сужде- ния.

Первое задание.

Постройте таблицу истинности для следующего сложного суж-

^{дения: (А ∨ В) → (А & В).}

^{Строим таблицу. В ней сначала определяем значения истинности}

суждений, заключённых в скобки, а затем - между ними. Примерно тот же порядок, что и при выполнении арифметических действий.

А	В	А ∨ В	А & В	(А ∨ В) → (А & В)
и	и	и	и	и
и	л	и	л	л
л	и	и	л	л
л	л	л	л	и

106

Второе задание.

Если А истинно, то можно ли что-нибудь сказать об истинност-

^{ном значении следующего выражения: ¬А ∨ (¬А & В)?}

А	В	¬А	¬А & В	¬А ∨ (¬А & В)
и	и	л	л	л
и	л	л	л	л
л	и	и	и	и
л	л	и	л	и

^{Строим таблицу:}

Пометьте для себя ещё один существенный момент: для того, чтобы табличным способом проверять истинность тех или иных сложных суждений, содержащихся в наших высказываниях, важно научиться правильно записывать в символической форме эти сужде- ния. Для этого необходимо

- вычленить из сложных речевых конструкций простые, далее не-

разложимые суждения - мысли, и

- чётко угадать логический смысл многозначных грамматических

союзов и (или) тип логической связи между простыми суждениями,

из которых состоит суждение сложное.

Например, запишем в символической форме суждения: