2.9. Передаточные функции замкнутой и разомкнутой

СИСТЕМЫ

Для любой САУ можно составить несколько передаточных функ­ций. Их количество определяется количеством входных воздействий и интересующих выходных переменных. В ТАУ пользуются тремя ос­новными видами передаточных функций.

Основная передаточная функция

(2.61)

определяется как отношение изображений выходной величины и входного воздействия при нулевых начальных условиях.

Передаточная функция по ошибке

(2.62)

определяется как отношение изображений сигнала ошибки и входного воздействия при нулевых начальных условиях.

Передаточная функция по обратной связи

(2.63)

определяется как отношение изображений сигнала главной обратной связи и входного сигнала при нулевых начальных условиях.

Кроме перечисленных передаточных функций замкнутой САУ в ТАУ пользуются передаточной функцией разомкнутой системы

, (2.64)

которая определяется как отношение изображений сигналов главной обратной связи и ошибки при нулевых начальных условиях и возмущающих воздействиях, равных нулю. Передаточная функция разомкну­той системы имеет большое значение в ТАУ, гак как многие методы анализа и синтеза основаны на использовании именно этой функции.

Установим связь между передаточными функциями замкнутой и разомкнутой системы. На основании (2.61), (2.62), (2.63) запишем

; (2.66)

; (2.67)

. (2.68)

Формулы (2.66)–(2.68) позволяют по известной передаточной функ­ции разомкнутой системы определить любую передаточную функций замкнутой системы.

2. Установившиеся режимы

СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

ЛЕКЦИЯ 6

План лекции:

1. Понятие об установившемся режиме.

2. Точность сау в установившемся режиме.

3. Установившиеся ошибки следящих систем.

4. Коэффициенты ошибок.

5. Рекомендуемая литература [1, 3, 7].

3.1. Точность сау в установившемся режиме

Установившимся называют режим работы системы управления после затухания собственных колебаний. При этом переменные величины САУ или остаются неизменными, или находятся в вынужденном движе­нии, характер которого определяется видом внешнего воздействия. Математически в линейных системах этому соответствует обращение в нуль экспоненциальных составляющих решений дифференциальных уравнений, описывающих поведение системы, что имеет место при .

Практически можно считать режим установившимся, когда экс­поненциальные составляющие, характеризующие свободное движение системы, станут настолько малыми, что полное решение уравнений лишь незначительно (обычно на 5% от максимального значения соот­ветствующей функции) будет отличаться от его частного решения, определяющего вынужденное движение системы. Точность САУ в ус­тановившемся режиме характеризуется ошибками системы при различных воздействиях - постоянном возмущающем (в частном случае, еди­ничном), а также управляющих и возмущающих, изменяющихся по определённым законам.

Необходимые расчётные соотношения для вычисления установив­шихся ошибок САУ могут быть определены при помощи теоремы операционного исчисления о предельном значении функции. Эта теорема утверждает, что если есть оригинал операторного изображе­ния , т. е. и если есть аналитическая функция комплексного переменного на мни­мой оси и в правой полуплоскости, то

, (3.1)

где - установившееся значение функции .

Передаточную функцию замкнутой САУ в общем виде можно пред­ставить следующим образом:

, (3.2)

где может быть любая из рассмотренных в предыдущей главе передаточных функций замкнутой САУ;

- изображение любой интересующей нас переменной, чаще всего регулируемой величины , сигнала ошибки или сигнала главной обратной связи ;

- любое внешнее воздействие (управляющее или возмущающее) приложенное к любой точке системы;

- полином числителя передаточной функции , не содержащий нулевых корней;

- полином знаменателя передаточной функции (ха­рактеристический полином);

- порядок астатизма системы.

Для статической системы и передаточная функция (3.2) принимает вид

, (3.3)

где - постоянные коэффициенты;

- порядок характеристического уравнения , причём . Пусть на САУ действует некоторое постоянное (или медленно изменяющееся по сравнению со временем протекания переходных про­цессов) воздействие (в частном случае единичное скачкообразное воздействие);

А. Для статических систем в соответствии с выражениями (3.1) и (3.3) можно написать

(3.4)

Формулу (3.4) можно использовать для вычисления установившихся ошибок статических САУ вызванных постоянным воздействием .

Б. Для астатических систем в соответствии с выражениями (3.1) и (3.2) можно записать

(3.5)

Следовательно, в астатических системах установившаяся ошиб­ка, вызванная постоянным воздействием, равняется нулю. Полученный вывод справедлив лишь для идеализированных систем, в которых не учиты­ваются такие факторы, как зона нечувствительности, сухое трение, люфт и другие нелинейности.

Следует иметь в виду, что одна и та же система может быть астатической по отношению к одному воздействию и статической по отношению к другому воздействию.

В реальных системах учёт влияния этих факторов производится из условия компенсации соответствующего постоянного возмущения за счет увеличения статической (установившейся) ошибки системы.

Так, статическая ошибка следящей системы при заданном статичес­ком моменте на валу исполнительного двигателя определя­ется из условия

,

где - момент трогания двигателя, развиваемый последним в заторможенном состоянии при определённой величине ошибки . Считая пропорциональным напряжению, подаваемому на двига­тель, можно записать

, ( 3.6)

где - коэффициент усиления усилителя по напряжению;

- передаточный коэффициент двигателя по моменту;

- передаточный коэффициент чувствительного элемента.

Приравнивая и , получим

. (3.7)