4.1. Общие понятия об устойчивости заданного режима

В САУ одним из основных является по­нятие устойчивости заданного режима. Заданным режимом может быть состояние равновесия, при котором обобщенные координаты САУ имеют заданные постоянные значения.

САУ всегда подвергается действию внешних возмущений, которые стремятся вывести ее из состояния равновесия. Если САУ устойчива, она противостоит этим внешним воздействиям, а будучи выведенной из состояния равновесия, с определенной точностью воз­вращается к нему.

На рис.4.1а изображен шар, лежащий на вогнутой поверхности. При всяком отклонении его от состояния равновесия воз­никает сила, которая стремится вернуть шар в положение равновесия. Это положение равновесия называется устойчивым.

Рис. 4.1

На рис.4.1б шар лежит на выпуклой поверхности, и любое от­клонение его от положения равновесия вызовет силу, которая будет стремиться еще дальше увести его от положения равновесия. Это не­устойчивое положение.

На рис. 4.1в состояние равновесия А₀ устойчиво лишь до тех пор, пока отклонения не вышли за границу, определяемую точкой В. Выйдя за эту границу, шар уже не вернется в точку А₀ . В этом случае мы называем точку А₀ устойчивой в малом (т.е. при малых от­клонениях от равновесия) и неустойчивой в большом, если при боль­ших отклонениях.

Из возможных состояний равновесия бывают еще полуустойчивые (рис. 4.1г) и безразличные (рис. 4.1д) состояния равновесия.

Кроме устойчивости равновесия, существует и устойчивость дви­жения.

Пусть на систему действуют внешние силы, в результате чего ее движение совершается по некоторой обобщенной траектории, определя­емой решением уравнений движения, т.е. функциями у₁(t), у₂(t), … , у_n(t). Можно указать то движение, которое надо сообщить системе. Назовем его заданным движением у^*₁(t), у^*₂(t), … , у^*_n(t).

Заданное движение называется невозмущенным движением. Но если на систему, кроме заданных, подействуют дополнительные внешние воздействия, которые за­тем перестанут действовать, то под их влиянием САУ перейдет в новое, возмущенное движение.

Заданное невозмущенное движение называется устойчивым, если в результате действия возмущений возмущенное движение с течением времени войдет в некоторую заданную область, определяемую величинами

После этих предварительных замечаний перейдем к определению устойчивости, которое было дано А. М. Ляпуновым.

Примем, что рассматриваемая система описывается нелинейными дифференциальными уравнениями вида

(4.1)

где у_к – обобщенные координаты системы, F_k – нелинейная функция.

Пусть в начальный момент t = t₀ начальные значения координат равны у₁₀ , у₂₀ , у₃₀ , … , у_к0 , а каждой совокупности начальных значений соответствует

единственное решение уравнений (4.1) для всех t > t ₀ :

у _к = у _к ( у₁₀ , у₂₀ , у₃₀ , … , у _n0 ,t). (4.2)

Установившиеся процессы описываются тривиальными решениями уравнений (4.1):

, (4.3)

решая которые, найдем у^*₁, у^*₂, … , у^* _n .

Введем отклонения х_к координат от установившихся значений у_к :

х _к = у _к – у^*_n . (4.4)

Подстановка отклонений (4.4) в уравнения (4.1) приводит к системе уравнений

(4.5)

где f_k – нелинейная функция.

Уравнения (4.5) называются уравнениями возмущенного движения. Их тривиальные решения:

х₁= 0 , … , х _n = 0, (4.6)

при которых, как видно из (4.4), у_к= у^*_к, называются уравнениям невозмущенного движения.

Начальные значения отклонения х _к = х _к0 называют возмущениями.

Решение системы уравнений (4.5) при некоторой заданной совокупности начальных условий называется возмущенным движением системы.

х _к = f_к (x₁₀ , … , x _n0 , t) . (4.7)