5.7. Интегральные оценки качества

Интегральные оценки относятся к аналитическим косвенным методам исследования качества САУ.

В основе метода лежат интегральные показатели, характеризующие отклонение переходного процесса реаль­ной системы от идеализированного переходного процесса. В качестве идеального принято считать ступенчатый (скачкообразный) пере­ходный процесс, протекающий мгновенно и без пере- регулирований, или процесс, представляемый экспонентой с заданными параметрами.

Интегральные оценки имеют вид определенных интегралов с пре­делами

0  ∞ от некоторых функций отклонения регулируемой величины. Наибольшее применение находят линейные и квадратичные оцен­ки.

Простейшей линейной интегральной оценкой может служить величина

, (5.51)

где – отклонение регулируемой величины x(t) от установившегося значения xуст.

В устойчивой системе → 0 при t → ∞ и этот интеграл имеет конечную величину. Геометрически это площадь под кривой переходного процесса, построенного для отклонения (рис.5.9). Площадь будет тем меньше, чем быстрее затухает переходный процесс и чем меньше величина отклонения. Поэтому параметры систе­мы рекомендуется выбирать таким образом, чтобы добиваться минимума этой интегральной оценки.

Для вычисления интеграла (5.51) нет необходимости находить , так как его можно легко вычислить, используя изображение Лапласа. Действительно, изображение Лапласа определяется выражением

.

Отсюда следует, что интеграл (5.51) может быть найден посред­ством предельного перехода (р → 0):

.

Неудобством интегральной оценки вида (5.51) является то, что она годится только для монотонных процессов, когда не меняется знак отклонения . Если же имеет место колебательный процесс (рис .5.9), то при вычислении интеграла (5.51) площади будут скла­дываться алгебраически и минимум этого интеграла может соответство­вать колебаниям с малым затуханием или вообще без затухания. Так как форма переходного процесса при расчете систем регулирования может быть неизвестна, то применять интегральную оценку вида (5.51) оказывается практически нецелесообразным. Поэтому предлагается дру­гая интегральная оценка:

(5.52)

т.е. сумма абсолютных величии всех площадей под кривой переходного процесса. Оказалось, что вычисление ее по коэффициентам уравнения затруднительно. В связи с этим целесообразно перейти к квадратичной интегральной оценке вида

, (x→0 при t→∞) (5.53)

которая не зависит от знаков отклонений, а значит, и от формы переходного процесса (монотонной или колебательной).

Рис. 5.9

Величина I₁ будет тем меньше, чем меньше сумма заштри­хованных на рис. 5.9 площадей (взятых для квадратов ординат), т.е. чем лучше переходный процесс приближается к идеальному скачку регулируемой величины вслед за скачком управляющего или возмущающего воздействия.

Кроме простейшей квадратичной интегральной оценки иногда применяют более сложные, которые позволяют учесть не только характер изменения , но и его производных:

(5.54)

Оценки (5.54) являются более полными оценками качества, одна­ко их применение связано с громоздкими преобразованиями и вычислениями. Поэтому на практике обычно ограничивается применением простейшей квадратичной интегральной оценки. Любая интегральная оценка зависит от коэффициентов передаточ­ной функции (коэффициентов характеристического уравнения).

Вычисление линейной оценки вида I0 можно выполнить следующим образом.

Пусть имеется дифференциальное уравнение

(5.55)

с произвольными начальными условиями .

Интегрируя уравнение (5.55), имеем:

. (5.56)

В устойчивой САУ в установившемся режиме, т.е. при t→ ∞ , производные всех порядков равны нулю, следовательно, из (5.66) можем записать:

. (5.57)

Из (5.57) видно, что линейная интегральная оценка I0 оп­ределяется коэффициентами дифференциального уравнения системы и начальными условиями.

При проектировании системы по минимуму интеграла I1 система может оказаться обладающей слишком большой колебательностью. В силу этого вводится дополнительная оценка . Счита­ется допустимым для систем второго порядка  = 0,80,9, для систем третьего порядка  = 0,70,8, для систем четвертого порядка  = 0,60,7 .

Определение косвенных показателей качества по интегралу вида I₂ дает удовлетворительные результаты для систем, склонных к по­вышенной колебательности.

Интегральные оценки можно использовать при выборе оптимального значения какого-либо параметра системы, обеспечивающего минимум такой оценки.