Лекции по ЧМ

Ž£« ¢«¥-¨¥

2.2. •¥è¥-¨¥ á¨á⥬ á âà¥å¤¨ £®- «ì-®© ¬ âà¨æ¥© ¬¥â®¤®¬ ¯à®£®-ª¨ . . . 5

3.ˆâ¥à 樮--ë¥ ¬¥â®¤ë à¥è¥-¨ï á¨á⥬ «¨-¥©-ëå «£¥¡à ¨ç¥áª¨å

3.1.Œ¥â®¤ ¯à®á⮩ ¨â¥à 樨 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3.2.•à¨¢¥¤¥-¨¥ «¨-¥©-ëå á¨á⥬ ª ¢¨¤ã, 㤮¡-®¬ã ¤«ï ¨â¥à 樨 . . . . . . 9

3.3.Œ¥â®¤ ‡¥©¤¥«ï . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

4.4.Œ¥â®¤ ¤¨å®â®¬¨¨ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

4.5.Œ¥â®¤ ¨â¥à 権 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

4.6.Œ¥â®¤ •ìîâ®- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4.7.Œ¥â®¤ ᥪãé¨å . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

5.1.‘¨á⥬ë -¥«¨-¥©-ëå ãà ¢-¥-¨©. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

5.2.Œ¥â®¤ ¨â¥à 権 (¬¥â®¤ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì-ëå ¯à¨¡«¨¦¥-¨©). . . . . . . . . 22

5.3.Œ¥â®¤ •ìîâ®- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

6.1.•à¨¡«¨¦¥-¨¥ äã-ªæ¨©. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

6.2.‹¨-¥©- ï ¨-â¥à¯®«ïæ¨ï. •¥¯®á।á⢥--®¥ ¯®áâ஥-¨¥ ¨-â¥à¯®«ïæ¨- ®--®£® ¬-®£®ç«¥- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

8.1.• §¤¥«¥--ë¥ à §-®á⨠(••). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

8.2.ˆ-â¥à¯®«ï樮--ë© ¬-®£®ç«¥- •ìîâ®- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

9.Ž¡ ¨-â¥à¯®«ï樮--ëå ä®à¬ã« å ¨ ¨å ¯à¨¬¥-¥-¨¨. ‘室¨¬®áâì ¨--

1

10.1.•®-ï⨥ ᯫ ©-®¢ ¨ ¨å ¯à¨¬¥-¥-¨¥ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

10.2.Ž¯à¥¤¥«¥-¨¥ ᯫ ©-®¢ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

10.3.Šã¡¨ç¥áª¨¥ ᯫ ©-ë . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

10.4. •à®áâà -á⢮ ¨-â¥à¯®«ï樮--ëå ᯫ ©-®¢ ¢ â¥à¬¨- å mi . . . . . . . 38

10.5.•®áâ஥-¨¥ ¨-â¥à¯®«ï樮--ëå ᯫ ©-®¢ ¢ â¥à¬¨- å Mi. . . . . . . . . 41

10.6.Ž¡ ¨-â¥à¯®«ï樨 ªã¡¨ç¥áª¨¬¨ ᯫ ©- ¬¨ á § ¤ --®© â®ç-®áâìî ¨ ®¡ ®æ¥-ª¥ ¯®£à¥è-®á⨠¨-â¥à¯®«ï樨 ᯫ ©- ¬¨. . . . . . . . . . . . . . . 42

10.7.Ž ¢ë¡®à¥ ªà ¥¢ëå ãá«®¢¨©. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

11.1.• ¨«ãç襥 ¯à¨¡«¨¦¥-¨¥. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

11.2.„¨áªà¥â-ë© ¬¥â®¤ - ¨¬¥-ìè¨å ª¢ ¤à ⮢. ‚§¢¥è¥--ë© ¬¥â®¤ - ¨- ¬¥-ìè¨å ª¢ ¤à ⮢. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

11.3.€¯¯à®ªá¨¬ æ¨ï äã-ªæ¨© á ¯®¬®éìî ¨-â¥£à «ì-®£® ¬¥â®¤ - ¨¬¥-ì- è¨å ª¢ ¤à ⮢ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

12.1.‡ ¤ ç ç¨á«¥--®£® ¤¨ää¥à¥-æ¨à®¢ -¨ï. •®áâ஥-¨¥ ä®à¬ã« ç¨á«¥-- -®£® ¤¨ää¥à¥-æ¨à®¢ -¨ï - ®á-®¢¥ ¨-â¥à¯®«ï樮--ëå ¬-®£®ç«¥-®¢. . 48

12.2.”®à¬ã«ë ç¨á«¥--®£® ¤¨ää¥à¥-æ¨à®¢ -¨ï - à ¢-®¬¥à-ëå á¥âª å. . . 48

12.3.—¨á«¥--®¥ ¤¨ää¥à¥-æ¨à®¢ -¨¥ á ¯®¬®éìî ᯫ ©-®¢ . . . . . . . . . . . 50

13.1.‡ ¤ ç ç¨á«¥--®£® ¨-⥣à¨à®¢ -¨ï . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

13.2.•®áâ஥-¨¥ ä®à¬ã« ç¨á«¥--®£® ¨-⥣à¨à®¢ -¨ï - ®á-®¢¥ ¨-â¥à¯®«ï-

樮--®£® ¬-®£®ç«¥- ‹ £à -¦ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

13.3.”®à¬ã« âà ¯¥æ¨© . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

13.4.”®à¬ã« ‘¨¬¯á®- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

14.1.Œ¥â®¤ ï祥ª. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

14.2.Œ¥â®¤ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì-®£® ¨-⥣à¨à®¢ -¨ï. . . . . . . . . . . . . . . . . 63

15.1.Œ¥â®¤ á⥯¥--ëå à冷¢ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

15.2.Œ¥â®¤ •©«¥à . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

2

1. Œ ⥬ â¨ç¥áª¨¥ ¬®¤¥«¨ ¨ ç¨á«¥--ë¥ ¬¥â®¤ë

1.1. ‚¢¥¤¥-¨¥

•а¨ а¥и¥-¨¨ а §«¨з-ле § ¤ з, ¯®«м§говбп в®з-л¬¨ ¨ ¯а¨¡«¨¦¥--л¬¨ ¬ в¥¬ - в¨з¥бª¨¬¨ ¬¥в®¤ ¬¨. ’®з-л¥ ¬¥в®¤л - ¢б¥£¤ - «¨в¨з¥бª¨¥. •а¨¡«¨¦¥--л¥ ¬¥- в®¤л ¯®¤а §¤¥«повбп - - «¨в¨з¥бª¨¥ ¨ з¨б«¥--л¥. •а¨ ¨бб«¥¤®¢ -¨¨ ª®-ªа¥в-®- £® д¨§¨з¥бª®£® ®¡к¥ªв , п¢«¥-¨п, ¯а®ж¥бб , бва®¨вбп ¬ в¥¬ в¨з¥бª п ¬®¤¥«м. •а¨ н⮬ ¯а¥-¥¡а¥£ ов д ªв®а ¬¨ -¥ ®ª §л¢ ой¨¬¨ бгй¥бв¢¥--®£® ¢«¨п-¨п - 室 ¨б- б«¥¤г¥¬®£® ¯а®ж¥бб . ’¨¯¨з-л¥ ¬ в¥¬ в¨з¥бª¨¥ ¬®¤¥«¨, ®¯¨бл¢ ой¨¥ б®®в¢¥вбв¢г- ой¥¥ д¨§¨з¥бª®¥ п¢«¥-¨¥ ¯а¥¤бв ¢«пов б®¡®© б®¢®ªг¯-®бвм ª ª¨е-«¨¡® га ¢-¥-¨©. „«п б«®¦-ле ¬ в¥¬ в¨з¥бª¨е ¬®¤¥«¥© - «¨в¨з¥бª®¥ а¥и¥-¨¥ г¤ ¥вбп ¯®«гз¨вм ба ¢-¨в¥«м-® а¥¤ª®. •®н⮬г ба¥¤¨ ¯а¨¡«¨¦¥--ле ¬¥в®¤®¢ ®б-®¢-л¬¨ п¢«повбп з¨б«¥--л¥. Š ª ¯а ¢¨«® ®-¨ ва¥¡гов ¯а®¢¥¤¥-¨п а бз¥в®¢ - •‚Œ.

—¨á«¥--ë¥ ¬¥â®¤ë ¯®§¢®«ïîâ ¤®¡¨âìáï å®à®è¥£® ª ç¥á⢥--®£® ¨ ª®«¨ç¥á⢥-- -®£® ®¯¨á -¨ï ¯à®æ¥áá ¨«¨ ¥-¨ï. —⮡ë ॠ«¨§®¢ âì ç¨á«¥--ë© ¬¥â®¤, -¥®¡å®- ¤¨¬® á®áâ ¢¨âì ¯à®£à ¬¬ã ¤«ï •‚Œ ¨«¨ ¢®á¯®«ì§®¢ âìáï £®â®¢®© ¯à®£à ¬¬®©. ‚® ¢á¥å á«ãç ïå ¬ ⥬ ⨠ç¥áª ï â®ç-®áâì à¥è¥-¨ï ¤®«¦- ¡ëâì ¢ëè¥ (¢ 2-4 à § ), 祬 䨧¨ç¥áª ï â®ç-®áâì ¯®áâ஥-¨ï ¬ ⥬ â¨ç¥áª®© ¬®¤¥«¨. •®«¥¥ ¢ë᮪®© ¬ ⥬ â¨- ç¥áª®© â®ç-®á⨠¤®¡¨¢ âìáï ¡¥áá¬ëá«¥--®, â ª ª ª ®¡éãî â®ç-®áâì ®â¢¥â íâ® -¥ ¯®¢ëá¨â. —¨á«¥--ë¥ ¬¥â®¤ë | ¬®é-®¥ ¬ ⥬ â¨ç¥áª®¥ á।á⢮ à¥è¥-¨ï § ¤ ç. ˆå ¯à¨¬¥-¥-¨¥ ¯à¥¤¯®« £ ¥â ¯à®¢¥¤¥-¨¥ ¡®«ì讣® ç¨á« à¨ä¬¥â¨ç¥áª¨å ¤¥©á⢨© ¢ ¯à¨¥¬«¥¬ë¥ áப¨. •® ¯à¨¬¥-ïâì ç¨á«¥--ë¥ ¬¥â®¤ë ¤ «¥ª® -¥ ¯à®áâ®. •®¬¨¬® à §- à ¡®âª¨ ¬ ⥬ â¨ç¥áª®© ¬®¤¥«¨ âॡã¥âáï ¥é¥ ¨ à §à ¡®âª «£®à¨â ¬ , ᢮¤ï饣® ¢á¥ ¢ëç¨á«¥-¨ï ª ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì-®á⨠à¨ä¬¥â¨ç¥áª¨å ¨ «®£¨ç¥áª¨å ¤¥©á⢨©, â ª ª ª •‚Œ 㬥î⠢믮«-ïâì ¨¬¥--® í⨠¤¥©á⢨ï. ‘âநâì ¬®¤¥«ì ¨ «£®à¨â¬ - ¤® á ãç¥â®¬ ᪮à®á⨠¨ ®¡ê¥¬ ¯ ¬ï⨠•‚Œ. ‘«¨èª®¬ á«®¦- ï ¬®¤¥«ì ¬®¦¥â ®ª § âìáï

à áç¥â®¢ ¯® â ª®¬ã ª®¬¯«¥ªáã ¬-®£® ¤¥è¥¢«¥ ¨ ¡ëáâ३, 祬 ¯à®¢¥¤¥-¨¥ ®â¤¥«ì-®- £® íªá¯¥à¨¬¥-â . —¨á«¥--ë¥ ¬¥â®¤ë -¥ ¢á¥á¨«ì-ë. Ž-¨ -¥ ®â¬¥-ïî⠢ᥠ®áâ «ì-ë¥ ¬ ⥬ â¨ç¥áª¨¥ ¬¥â®¤ë.

1.2.‘âàãªâãà ¯®£à¥è-®á⨠¯à¨ ç¨á«¥--®¬ à¥è¥-¨¨ § - ¤ ç

‘ãé¥áâ¢ãîâ 4 ¨áâ®ç-¨ª ¯®£à¥è-®á⨠१ã«ìâ ⠯ਠç¨á«¥--®¬ à¥è¥-¨¨ § ¤ ç:

1)Œ ⥬ â¨ç¥áª ï ¬®¤¥«ì

2)ˆá室-ë¥ ¤ --ë¥

3)•à¨¡«¨¦¥--ë© ¬¥â®¤

4)Žªà㣫¥-¨ï ¯à¨ ¢ëç¨á«¥-¨ïå

3

•®£а¥и-®бвм ¬ в¥¬ в¨з¥бª®© ¬®¤¥«¨ б¢п§ - б д¨§¨з¥бª¨¬¨ ¤®¯гй¥-¨п¬¨, б г¯а®- й¥-¨¥¬ ¨бб«¥¤г¥¬®£® ¯а®ж¥бб . ˆб室-л¥ ¤ --л¥ з бв® -¥в®з-л. “ª § --л¥ ¯®- £а¥и-®бв¨ п¢«повбп -¥гбва -¨¬л¬¨, ¯®бª®«мªг ®-¨ -¥¨§¡¥¦-л ¢ а ¬ª е ¤ --®© ¬®¤¥«¨.

• áᬮâਬ, 祬 ¢ë§¢ - ¯®£à¥è-®áâì ¬¥â®¤ . …᫨ âॡã¥âáï ®¯à¥¤¥«¨âì -¥ª®- â®àãî ¢¥«¨ç¨-ã y ¯® ¨§¢¥áâ-®© ¢¥«¨ç¨-¥ x, ⮠ᨬ¢®«¨ç¥áª¨ § ¤ çã ¬®¦-® § ¯¨á âì

y = A(x)

‡¤¥áì y ¨ x ¬®£ãâ ¡ëâì ç¨á« ¬¨, ᮢ®ªã¯-®áâìî ç¨á¥«, äã-ªæ¨¥© ®¤-®© ¨«¨ -¥áª®«ì- ª¨å ¯¥à¥¬¥--ëå, - ¡®à®¬ äã-ªæ¨© ¨ â. ¤. € - -¥ª®â®àë© ®¯¥à â®à.

…᫨ ®¯¥à â®à € - á⮫쪮 á«®¦¥-, çâ® à¥è¥-¨¥ § ¤ ç¨ â®ç-® ¯®«ãç¨âì -¥ 㤠- ¥âáï, â® § ¤ çã à¥è î⠯ਡ«¨¦¥--®. •à¨¡«¨¦¥--ë© ¬¥â®¤ § ª«îç ¥âáï ¢ § ¬¥-¥ ¨áå¤-ëå ¤ --ëå x - ¡«¨§ª¨¥ ¤ --ë¥ x ¨ (¨«¨) § ¬¥-¥ ®¯¥à â®à € - ¡«¨§ª¨© ®¯¥-

y = Zb x(t) dt

a

•¥è¥-¨¥

Œ®¦¥¬ ¯à¨¡«¨¦¥--® § ¬¥-¨âì x(t) ¬-®£®ç«¥-®¬ x(t) ¨«¨ ¤à㣮© äã-ªæ¨¥©, ¨-â¥- £à « ª®â®à®© «¥£ª® ¢ëç¨á«¨âì. ‚ १ã«ìâ ⥠¯®«ã稬 ¯à¨¡«¨¦¥--®¥ - «¨â¨ç¥áª®¥ à¥è¥-¨¥. •® ¬®¦-® § ¬¥-¨âì ¨-â¥£à « á㬬®©

X x(ti) xi

i

•à¨ í⮬ ¯®«ã稬 ç¨á«¥--®¥ à¥è¥-¨¥.

’ ª¨¬ ®¡а §®¬, ¯®£а¥и-®бвм ¬¥в®¤ б¢п§ - б в¥¬, зв® в®з-л© ®¯¥а в®а ¨ в®з- -л¥ ¨б室-л¥ ¤ --л¥ § ¬¥-повбп ¯а¨¡«¨¦¥--л¬¨. —¨б«¥--л¥ ¬¥в®¤л бва®пвбп ®¡лз-® в ª, зв® ¢ -¨е ¢е®¤¨в -¥ª®в®ал© ¯ а ¬¥ва. •а¨ бва¥¬«¥-¨¨ нв®£® ¯ а - ¬¥ва ª ®¯а¥¤¥«¥--®¬г ¯а¥¤¥«г, ¯®£а¥и-®бвм ¬¥в®¤ бва¥¬¨вбп ª -г«о. ’ ª зв® ¯®£а¥и-®бвм ¬®¦-® а¥£г«¨а®¢ вм.

•®£а¥и-®бвм ¡г¤¥¬ ¨бб«¥¤®¢ вм ¯а¨ а бᬮва¥-¨¨ ª ¦¤®£® ª®-ªа¥в-®£® ¬¥в®- ¤ . •®£а¥и-®бвм ¬¥в®¤ б«¥¤г¥в ¢л¡¨а вм в ª, зв®¡л ®- ¡л« ¢ 2-5 а § ¬¥-ми¥ -¥гбва -¨¬®© ¯®£а¥и-®бв¨. •®«ми п ¯®£а¥и-®бвм ¬¥в®¤ б-¨¦ ¥в в®з-®бвм ®в¢¥- в , ¬¥-ми п -¥¢л£®¤- , в ª ª ª ва¥¡г¥в §- з¨в¥«м-®£® г¢¥«¨з¥-¨п ®¡к¥¬®¢ ¢л- з¨б«¥-¨©. ‚лз¨б«¥-¨п ¢л¯®«-повбп б ®¯а¥¤¥«¥--л¬ з¨б«®¬ §- з й¨е ж¨да. •в® ¢-®б¨в ¢ ®в¢¥в ¯®£а¥и-®бвм ®ªаг£«¥-¨п, ª®в®а п - ª ¯«¨¢ ¥вбп ¢ 室¥ ¢лз¨б«¥-¨©. •а¨ а бз¥в е - •‚Œ, ¯®£а¥и-®бвм ¥¤¨-¨з-®£® ®ªа г£«¥-¨п ¯а¥-¥¡а¥¦¨¬® ¬ « ¯® ба ¢-¥-¨о б -¥гбва -¨¬®© ¯®£а¥и-®бвмо ¨ ¯®£а¥и-®бвмо ¬¥в®¤ . •а¨ ¢л¯®«-¥-¨¨ ®£а®¬-ле ®¡к¥¬®¢ ¢лз¨б«¥-¨©, ª § «®бм ¡л, - з «м-л¥ ®и¨¡ª¨ ¡лбва® ¢®§а бвгв ¨ ¯®£а¥и-®бвм ®в¢¥в ¡г¤¥в ®з¥-м ¡®«ми®©. Ž¤- ª® ¯®£а¥и-®бв¨ з¨б¥« ¯а¨ ®в¤¥«м- -ле ¤¥©бв¢¨пе ¨¬¥ов а §-л¥ §- ª¨ ¨ ª®¬¯¥-б¨агов ¤аг£ ¤аг£ . •®н⮬г, ¥б«¨ -¥в б¨бв¥¬ в¨з¥бª¨е ¯а¨з¨-, в® б«гз ©-®¥ - ª®¯«¥-¨¥ ®и¨¡®ª -¥ б«¨иª®¬ бгй¥бв¢¥-- -®. ’ ª¨¬ ®¡а §®¬ ¢¥«¨з¨- ¯®£а¥и-®бв¨ ®ªаг£«¥-¨п ®¯а¥¤¥«п¥вбп 2-¬п д ªв®а ¬¨: в®з-®бвмо ¯а¥¤бв ¢«¥-¨п з¨б¥« ¢ •‚Œ ¨ зг¢бв¢¨в¥«м-®бвмо ¤ --®£® «£®а¨в¬ ª ¯®£а¥и-®бвп¬ ®ªаг£«¥-¨п.

4

1.3. Š®à४â-®áâì ¯®áâ -®¢ª¨ § ¤ ç¨

‡ ¤ ç y=A(x) - §ë¢ ¥âáï ª®à४â-® ¯®áâ ¢«¥--®©, ¥á«¨ ¤«ï «î¡ëå ¢å®¤-ëå ¤ --ëå x ¨§ -¥ª®â®à®£® ª« áá , à¥è¥-¨¥ y áãé¥áâ¢ã¥â, ¥¤¨-á⢥--® ¨ ãá⮩稢® ¯® ¢å®¤-ë¬ ¤ --ë¬. —⮡ë ç¨á«¥--® à¥è¨âì § ¤ çã y=A(x), - ¤® ¡ëâì 㢥à¥--ë¬, çâ® à¥è¥-¨¥ y áãé¥áâ¢ã¥â. …áâ¥á⢥--® âॡ®¢ âì ¥¤¨-á⢥--®á⨠à¥è¥-¨ï â®ç-®© § ¤ ç¨, ¢¥¤ì ç¨á«¥--ë© «£®à¨â¬ | íâ® ®¤-®§- ç- ï ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì-®áâì ¤¥©á⢨©, ¯à¨¢®¤ïé¨å ª ®¤-®¬ã à¥è¥-¨î. •® íâ¨å âॡ®¢ -¨© -¥¤®áâ â®ç-®.

• á ¨-â¥à¥áã¥â à¥è¥-¨¥ y, ᮮ⢥âáâ¢ãî饥 ¢å®¤-ë¬ ¤ --ë¬ x. •® ॠ«ì-®, ¬ë

Š à¥è¥-¨î á¨á⥬ «¨-¥©-ëå «£¥¡à ¨ç¥áª¨å ãà ¢-¥-¨© ¬®¦¥â ¡ëâì ¯à¨¡«¨¦¥-- -® ¯à¨¢¥¤¥-® à¥è¥-¨¥ è¨à®ª®£® § ¤ ç. Œ¥â®¤ë à¥è¥-¨ï á¨á⥬ «¨-¥©-ëå ãà ¢-¥-¨© ®¡ëç-® ¯®¤à §¤¥«ïîâ - ¤¢¥ £à㯯ë:

1) ¯àï¬ë¥ ¬¥â®¤ë (â®ç-ë¥) | ¯®§¢®«ïîâ - ©â¨ â®ç-ë¥ §- ç¥-¨ï -¥¨§¢¥áâ-ëå ¯®á«¥ ª®-¥ç-®£® ç¨á« à¨ä¬¥â¨ç¥áª¨å ®¯¥à 権;

2)¨â¥à 樮--ë¥ ¬¥â®¤ë | ¯®§¢®«ïîâ ¯®«ãç¨âì à¥è¥-¨¥ á § ¤ --®© â®ç-®áâìî ¢ १ã«ìâ ⥠á室¨¬®á⨠¡¥áª®-¥ç-®£® ¯à®æ¥áá .

Žб®¡®¥ ¬¥бв® ба¥¤¨ ¨в¥а ж¨®--ле ¬¥в®¤®¢ § -¨¬ ов ¢¥а®пв-®бв-л¥ ¬¥в®¤л, ¢ ®б-®¢г ª®в®але ¯®«®¦¥-л б®®¡а ¦¥-¨п, ¢§пвл¥ ¨§ в¥®а¨¨ ¢¥а®пв-®бв¥©. ‚б«¥¤бв¢¨¥ -¥¨§¡¥¦-®£® ®ªаг£«¥-¨п а¥§г«мв вл ¤ ¦¥ в®з-ле ¬¥в®¤®¢ п¢«повбп ¯а¨¡«¨¦¥--л- ¬¨.

2.1. Œ¥â®¤ ƒ ãáá

Š ç¨á«ã ¯àï¬ëå ¬¥â®¤®¢ ®â-®á¨âáï ¬¥â®¤ ƒ ãáá , ª®â®àë© è¨à®ª® ¯à¨¬¥-ï¥âáï.

— é¥ ¢á¥£® ¨á¯®«ì§ã¥âáï ¬¥â®¤ ƒ ãáá á ¢ë¡®à®¬ £« ¢-®£® í«¥¬¥-â . Œ¥â®¤ ¯à®áâ, - ¤¥¦¥- ¨ - ¨¡®«¥¥ ¢ë£®¤¥- ¤«ï á¨á⥬ ãà ¢-¥-¨© á ¯«®â-® § ¯®«-¥--®© ¬ âà¨æ¥©. ‹¨èì ¤«ï ¯«®å® ®¡ãá«®¢«¥--ëå á¨á⥬ ãá⮩稢®áâì ®ª §ë¢ ¥âáï -¥¤®áâ â®ç-®©.

• 室¨âì à¥è¥-¨¥ á¨á⥬ «¨-¥©-ëå «£¥¡à ¨ç¥áª¨å ãà ¢-¥-¨© á ¯®¬®éìî ä®à¬ã« Šà ¬¥à ªà ©-¥ -¥¢ë£®¤-®, â ª ª ª «î¡®© ®¯à¥¤¥«¨â¥«ì - ©â¨ -¥ ¯à®é¥, 祬 -¥¯®- á।á⢥--® à¥è¥¨âì ¨á室-ãî á¨á⥬ã.

’ ª¨¬ ®¡à §®¬ ç¨á«® ®¯¥à 権, âॡãî饥áï ¤«ï à¥è¥-¨ï á¨á⥬ «¨-¥©-ëå ãà ¢- -¥-¨© § ¢¨á¨â -¥ ⮫쪮 ®â ¯®à浪 á¨á⥬ë, -® ¨ ®â ¢ë¡®à ¬¥â®¤ à¥è¥-¨ï.

5

2.2.•¥è¥-¨¥ á¨á⥬ á âà¥å¤¨ £®- «ì-®© ¬ âà¨æ¥© ¬¥â®- ¤®¬ ¯à®£®-ª¨

’à¥å¤¨ £®- «ì-®© - §ë¢ ¥âáï ¬ âà¨æ , ã ª®â®à®© -¥-ã«¥¢ë¥ í«¥¬¥-âë ¨¬¥îâáï «¨èì - £« ¢-®© ¨ ¯à¨¬ëª îé¨å ª -¥© ¤¨ £®- «ïå. ‚ᥠ®áâ «ì-ë¥ í«¥¬¥-âë aij = 0 ¯à¨ ji,jj > 1 ‘¨á⥬ë á âà¥å¤¨ £®- «ì-®© ¬ âà¨æ¥© ç áâ® ¢áâà¥ç îâáï ¯à¨ à¥è¥-¨¨ á ¬ëå à §-ëå § ¤ ç. • ¯à¨¬¥à, ¯à¨ à¥è¥-¨¨ ªà ¥¢ëå § ¤ ç ¤«ï ¤¨ää¥- à¥-æ¨ «ì-ëå ãà ¢-¥-¨© ¢â®à®£® ¯®à浪 . ‘¨á⥬ë ãà ¢-¥-¨© á âà¥å¤¨ £®- «ì-®© ¬ âà¨æ¥© ®¡ëç-® § ¯¨áë¢ îâ ¢ ª -®-¨ç¥áª®© ä®à¬¥ :

(1) | á¨á⥬ n «¨-¥©-ëå ãà ¢-¥-¨© á n -¥¨§¢¥áâ-묨 x1; x2; : : : ; xn „«ï à¥è¥-¨ï á¨- á⥬ë (1) ¢®á¯®«ì§ã¥¬áï ¬¥â®¤®¬ ¯à®£®-ª¨, ª®â®àë© § ª«îç ¥âáï ¢ ®áãé¥á⢫¥-¨¨

§ ⥬ ®¡à â-ë© å®¤ ¯® ä®à¬ã«¥ (2). ‚ - ç «¥ ¢ëç¨á«¥-¨© -¥®¡å®¤¨¬® § ¤ âì 1 ¨ 1 ¤«ï ¯àאַ£® 室 ¨ xn+1 ¤«ï ®¡à â-®£®. •â¨ ¢¥«¨ç¨-ë -¥¨§¢¥áâ-ë, ®¤- ª® ¢ (4) ¯¥à¥¤1 ¨ 1 á⮨⠪®íää¨æ¨¥-â a1 = 0. ‡- ç¨â, í⨠ª®íää¨æ¨¥-âë ¬®£ãâ ¡ëâì «î¡ë¬¨. •ãáâì 1 = 1 = 0. ‚ ¢ëà ¦¥-¨¨ (2) ¯¥à¥¤ xn+1 á⮨â n+1, -® ¯à¨ ®¯à¥¤¥«¥-¨¨ n+1 ¯® ä®à¬ã«¥ (4) ¢ ç¨á«¨â¥«¥ á⮨â cn = 0. ’® ¥áâì n+1 = 0. ‡- ç¨â xn+1 ¬®¦¥â ¡ëâì «î¡ë¬. •ãáâì xn+1 = 0. ’¥¯¥àì ¢á¥ ¢ëç¨á«¥-¨ï «¥£ª® ®áãé¥á⢨âì.

•®ª ¦¥¬, çâ® ¥á«¨ ¢ë¯®«-¥-® ãá«®¢¨¥ ¯à¥®¡« ¤ -¨ï ¤¨ £®- «ì-ëå í«¥¬¥-⮢

6

â® ¢ ä®à¬ã« å ¯àאַ£® 室 -¥ ¢®§-¨ª ¥â ¤¥«¥-¨ï - 0, çâ® £®¢®à¨â ® ⮬, çâ® á¨á⥬ (1) ¨¬¥¥â ¥¤¨-á⢥--®¥ à¥è¥-¨¥. ¯à¥¤¯®«®¦¨¬, çâ® ¯à¨ -¥ª®â®à®¬ §- ç¥-¨¨ ¨-¤¥ªá i j ij < 1, ⮣¤

j i+1j = jbi ,jciaji ij jbij ,jcjiajijj ij

’ ª ª ª ¬®¦-® ¯à¨á¢®¨âì i=0, â® ¤«ï ®áâ «ì-ëå §- ç¥-¨© ¨-¤¥ªá ¯®«ã稬

á«¥¤ã¥â jbi , ai ij > jcij 0 ¨«¨ jbi , ai ij > 0, â® ¥áâì ¤¥«¥-¨ï - 0 ¢ ä®à¬ã« å ¯àאַ£® 室 -¥ ¯à®¨á室¨â.

•à¨ ¢ë¯®«-¥-¨¨ ãá«®¢¨ï (5), ä®à¬ã«ë ¯à®£®-ª¨ ãáâ®©ç¨¢ë ®â-®á¨â¥«ì-® ®è¨- ¡®ª ®ªà㣫¥-¨ï. ‘ ¯®¬®éìî ¬¥â®¤ ¯à®£®-ª¨ ¬®¦-® íä䥪⨢-® - 室¨âì à¥è¥-¨¥ á¨á⥬ ãà ¢-¥-¨© á -¥áª®«ìª¨¬¨ á®â-ﬨ -¥¨§¢¥áâ-ëå. “á«®¢¨¥ (5) ï¥âáï ¤®áâ - â®ç-ë¬, -® -¥ -¥®¡å®¤¨¬ë¬ ãá«®¢¨¥¬.

•à ªâ¨ª à áç¥â ¯® ¬¥â®¤ã ¯à®£®-ª¨ ¯®ª § « , çâ® ¤«ï å®à®è® ®¡ãá«®¢«¥--ëå á¨á⥬ «£®à¨â¬ ¬¥â®¤ ®ª §ë¢ ¥âáï ¤®áâ â®ç-® ãáâ®©ç¨¢ë¬ ¤ ¦¥ ¯à¨ - àãè¥-¨¨ ãá«®¢¨ï ¯à¥®¡« ¤ -¨ï ¤¨ £®- «ì-ëå í«¥¬¥-⮢.

Žáãé¥á⢫ïï ®¡à â-ë© å®¤ - 室¨¬ x4 = 0, x3 = 4x4 + 4 = 7, x2 = 3x3 + 3 = 5, x1 = 2x2 + 2 = ,1.

’ ª¨¬ ®¡à §®¬ ¯®«ãç ¥¬ à¥è¥-¨¥ á¨á⥬ë (,1; 5; 7)T .

7

3.ˆâ¥à 樮--ë¥ ¬¥â®¤ë à¥è¥-¨ï á¨á⥬ «¨-¥©- -ëå «£¥¡à ¨ç¥áª¨å ãà ¢-¥-¨©

ˆâ¥à 樮--ë¥ ¬¥â®¤ë ¤ îâ ¢®§¬®¦-®áâì - ©â¨ à¥è¥-¨¥ á¨áâ¥¬ë ª ª ¯à¥¤¥« ¡¥áª®-¥ç-®£® ¢ëç¨á«¨â¥«ì-®£® ¯à®æ¥áá , ¯®§¢®«ïî騩 ¯® 㦥 - ©¤¥--ë¬ ¯à¨¡«¨- ¦¥-¨ï¬ ª à¥è¥-¨î, ¯®áâநâì á«¥¤ãî騥, ¡®«¥¥ â®ç-ë¥ ¯à¨¡«¨¦¥-¨ï. ‚ ¦-®© ç¥à- ⮩ ¨â¥à 樮--ëå ¬¥â®¤®¢ ï¥âáï ¨å á ¬®¨á¯à ¢«ï¥¬®áâì ¨ ¯à®áâ®â ॠ«¨§ 樨 - •‚Œ. …᫨ ¢ â®ç-ëå ¬¥â®¤ å ®è¨¡ª ¢ ¢ëç¨á«¥-¨ïå, ª®£¤ ®- -¥ ª®¬¯¥-á¨àã¥â- áï á«ãç ©-® ¤à㣨¬¨ ®è¨¡ª ¬¨, -¥¨§¡¥¦-® ¢¥¤¥â ª ®è¨¡ª¥ ¢ ª®-¥ç-®¬ १ã«ìâ â¥, â® ¢ á«ãç ¥ á室ï饣®áï ¨â¥à 樮--®£® ¯à®æ¥áá , ®è¨¡ª ¢ ª ª®¬-â® ¯à¨¡«¨¦¥-¨¨ ¨á¯à ¢«ï¥âáï ¢ ¯®á«¥¤ãîé¨å ¢ëç¨á«¥-¨ïå. ’ ª®¥ ¨á¯à ¢«¥-¨¥ âॡã¥â, ª ª ¯à ¢¨«®, ¯à®¢¥¤¥-¨ï ⮫쪮 -¥áª®«ìª¨å «¨è-¨å è £®¢ ¥¤¨-®®¡à §-ëå ¢ëç¨á«¥-¨©.

ˆâ¥à 樮--ë© ¬¥â®¤, ¤«ï ⮣®, ç⮡ë - ç âì ¯® -¥¬ã ¢ëç¨á«¥-¨ï, âॡã¥â §- - -¨ï ®¤-®£® ¨«¨ -¥áª®«ìª¨å - ç «ì-ëå ¯à¨¡«¨¦¥-¨© ª à¥è¥-¨î. “á«®¢¨ï ¨ ᪮à®áâì

ˆв¥а ж¨®--ле ¯а®ж¥бб®¢ ¤«п а¥и¥-¨п б¨бв¥¬ «¨-¥©-ле «£¥¡а ¨з¥бª¨е га ¢-¥-¨© ¯®бва®¥-® ¡®«ми®¥ з¨б«®. • бᬮва¨¬ ¤¢ ®б-®¢-ле ¨в¥а ж¨®--ле ¬¥в®¤ : ¬¥в®¤ ¯а®бв®© ¨в¥а ж¨¨ ¨ ¬¥в®¤ ‡¥©¤¥«п. Œ¥в®¤л ¨в¥а ж¨¨ ¯а¨¬¥-повбп ¯а¨ а¥и¥-¨¨ б¨бв¥¬ га ¢-¥-¨© б ¡®«ми¨¬ з¨б«®¬ -¥¨§¢¥бв-ле.

3.1. Œ¥â®¤ ¯à®á⮩ ¨â¥à 樨

•ãáâì ¨¬¥¥âáï á¨á⥬ «¨-¥©-ëå «£¥¡à ¨ç¥áª¨å ãà ¢-¥-¨©

£¤¥ € | ª¢ ¤à â- ï ¬ âà¨æ n n á í«¥¬¥-â ¬¨ aij. b | á⮫¡¥æ ᢮¡®¤-ëå ç«¥-®¢, å | á⮫¡¥æ -¥¨§¢¥áâ-ëå (¨áª®¬ë© ¢¥ªâ®à).

…᫨ ®¯à¥¤¥«¨â¥«ì ¬ âà¨æë € à ¢¥- -ã«î, â® á¨á⥬ -¥ ¨¬¥¥â à¥è¥-¨ï ¨«¨ ¨¬¥¥â ¡¥áª®-¥ç-®¥ ¬-®¦¥á⢮ à¥è¥-¨©. …᫨ ¦¥ íâ®â ®¯à¥¤¥«¨â¥«ì -¥ à ¢¥- -ã«î, â® á¨á⥬ ¨¬¥¥â ¥¤¨-á⢥--®¥ à¥è¥-¨¥. ‚ ¤ «ì-¥©è¥¬ ¡ã¤¥¬ à áᬠâਢ âì ¯®á«¥¤-¨© á«ãç ©, ª®£¤ ¬ âà¨æ € -¥ ®á®¡¥-- ï.

‘®£« á-® ¬¥â®¤ã ¯à®á⮩ ¨â¥à 樨 á¨á⥬ã (1) ¯à¥¤¢ à¨â¥«ì-® ¯à¨¢®¤ïâ ª ¢¨¤ã

â® ¥áâì ¯¥à¢®¥ ãà ¢-¥-¨¥ á¨á⥬ë à §à¥è ¥âáï ®â-®á¨â¥«ì-® x1, ¢â®à®¥ ®â-®á¨â¥«ì- -® x2 ¨ â ª ¤ «¥¥. •â® ¬®¦-® ¯à®¤¥« âì ¬-®£¨¬¨ ᯮᮡ ¬¨.

8

x0 = Bx0 + ) x0 = x

‚ëïá-¨¬ ãá«®¢¨ï á室¨¬®á⨠¯®á«¥¤®¢ ⥫ì-®á⨠xk. ˆ¬¥îâ ¬¥áâ® á«¥¤ãî騥 ⥮६ë, ®¯à¥¤¥«ïî騥 ¤®áâ â®ç-ë¥ ¨ -¥®¡å®¤¨¬ë¥ ãá«®¢¨ï á室¨¬®á⨠¨â¥à æ¨- ®--®£® ¯à®æ¥áá ¢ ¬¥â®¤¥ ¯à®á⮩ ¨â¥à 樨.

’¥®à¥¬ 1. „«ï ⮣®, çâ®¡ë ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì-®áâì ¯à¨¡«¨¦¥-¨© xk á室¨« áì, ¤®- áâ â®ç-®, çâ®¡ë ¢á¥ á®¡á⢥--ë¥ §- ç¥-¨ï ‚ ¯® ¬®¤ã«î ¡ë«¨ ¬¥-ìè¥ ¥¤¨-¨æë (j ij < 1).

’¥®à¥¬ 2. …᫨ âॡ®¢ âì, çâ®¡ë ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì-®áâì xk á室¨« áì ª x ¯à¨ «î¡®¬ - ç «ì-®¬ ¯à¨¡«¨¦¥-¨¨ x0, â® ãá«®¢¨¥ (4) ï¥âáï ¨ -¥®¡å®¤¨¬ë¬.

’¥¯¥àì 㪠¦¥¬ ¡®«¥¥ ¯à®áâë¥, -® ⮫쪮 ¤®áâ â®ç-ë¥ ãá«®¢¨ï á室¨¬®á⨠¨â¥- à 樮--®£® ¯à®æ¥áá .

’¥®à¥¬ 3. „«ï ⮣®, çâ®¡ë ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì-®áâì ¯à¨¡«¨¦¥-¨© xk ¢ ¬¥â®¤¥ ¯à®- á⮩ ¨â¥à 樨 á室¨« áì, ¤®áâ â®ç-®, çâ®¡ë ª ª ï-«¨¡® -®à¬ ¬ âà¨æë ‚ ¡ë« ¬¥-ìè¥ ¥¤¨-¨æë.

‘«¥¤á⢨¥ 1. •®á«¥¤®¢ ⥫ì-®áâì xk ¢ ¬¥â®¤¥ ¯à®á⮩ ¨â¥à 樨 á室¨âáï, ¥á«¨ ¢ë¯®«-¥-® ®¤-® ¨§ ãá«®¢¨©

1)

‡ ¬¥ç -¨¥ 1. „«ï á¨á⥬ë Ax = b ¬¥â®¤ ¯à®á⮩ ¨â¥à 樨 á室¨âáï, ¥á«¨ jaiij >

iP6=j jaijj

’¥®à¥¬ 4. …᫨ ª ª ï-«¨¡® -®à¬ ¬ âà¨æë B ¬¥-ìè¥ ¥¤¨-¨æë, â® ¯à¨¡«¨¦¥-¨ï ¢ ¬¥â®¤¥ ¯à®á⮩ ¨â¥à 樨 ¡ã¤ãâ á«¥¤ãî騬¨

jjx , xkjj jjBjjkjjx0jj + 1jjBkjj , jjBjj

9

3.2.•à¨¢¥¤¥-¨¥ «¨-¥©-ëå á¨á⥬ ª ¢¨¤ã, 㤮¡-®¬ã ¤«ï ¨â¥à 樨

“б«®¢¨п б室¨¬®бв¨ ¨в¥а ж¨®--ле ¯а®ж¥бб®¢ - ª« ¤л¢ ов ¦¥бвª¨¥ ®£а -¨з¥- -¨п - ª®ндд¨ж¨¥-вл б¨бв¥¬л Ax = b. Š ª ¯а ¢¨«®, ¤«п ¨б室-®© б¨бв¥¬л, ª®в®аго -¥®¡е®¤¨¬® а¥и¨вм, гб«®¢¨п б室¨¬®бв¨ ¨в¥а ж¨®--®£® ¯а®ж¥бб -¥ ¢л¯®«-повбп. Ž¤- ª®, ¥б«¨ ®¯а¥¤¥«¨в¥«м ¬ ва¨жл € ®в«¨з¥- ®в -г«п, в®, б ¯®¬®ймо «¨-¥©-®- £® ª®¬¡¨-¨а®¢ -¨п, га ¢-¥-¨п б¨бв¥¬л ¬®¦-® § ¬¥-¨вм нª¢¨¢ «¥-в-л¬¨ ¨¬, ¤«п ª®в®але гб«®¢¨п б室¨¬®бв¨ ¡г¤гв ¢л¯®«-¥-л.

•à¨¬¥à 3. •à¨¢¥á⨠á¨á⥬㠪 ¢¨¤ã 㤮¡-®¬ã (¯à¨£®¤-®¬ã) ¤«ï ¯à¨¬¥-¥-¨ï ¬¥- ⮤ ¨â¥à 樨.

‚ ãà ¢-¥-¨¨ D ¬®¤ã«ì ª®íää¨æ¨¥-⠯ਠx1 ¡®«ìè¥ áã¬¬ë ¬®¤ã«¥© ¢á¥å ¤àã£¨å ª®íää¨æ¨¥-⮢, ¯®í⮬ã D ¢®§ì¬¥¬ ¢ ª ç¥á⢥ ¯¥à¢®£® ãà ¢-¥-¨ï -®¢®© á¨á⥬ë.

€- «¨§¨àãï ¨á室-ãî á¨á⥬ã, -¥âàã¤-® § ¬¥â¨âì, çâ® ¤«ï ¯®«ãç¥-¨ï ¢â®à®£® ãà ¢-¥-¨ï á ¬ ªá¨¬ «ì-ë¬ ¬®¤ã«¥¬ ¯à¨ ç2, ª®â®àë© ¡®«ìè¥ áã¬¬ë ¬®¤ã«¥© ¤à㣨å í«¥¬¥-⮢, ¤®áâ â®ç-® á®áâ ¢¨âì à §«®¦¥-¨¥ (A)-(B).

•®«ã稬 x1 + 5x2 + x3 , 1 = 0. ‚ -®¢®© á¨á⥬¥ § ¤¥©á⢮¢ -ë ãà ¢-¥-¨ï A, B ¨ D. •¥®¡å®¤¨¬® ¢ª«îç¨âì ¢ -®¢ãî á¨á⥬ã ãà ¢-¥-¨¥ ‘. •®¤¡®à®¬ ã¡¥¦¤ ¥¬áï, çâ® ¢ ª ç¥á⢥ ç¥â¢¥à⮣® ãà ¢-¥-¨ï ¬®¦-® ¢§ïâì «¨-¥©-ãî ª®¬¡¨- æ¨î 2(A)- (B)+2(C)-(D).

• §à¥è¨¬ á¨á⥬㠮â-®á¨â¥«ì-® ¤¨ £®- «ì-ëå -¥¨§¢¥áâ-ëå

x1 = ,0:2x2 + 0:1x , 3 , 0:2x4 , 0:4

x2 = 0:2x1 , 0:2x3 + 0:2 x3 = 0:2x1 , 0:4x2 + 0:2x4 , 2

x4 = 0:33x1 , 1:11

Š ¯®á«¥¤-¥© á¨á⥬¥ ¯à¨¬¥-¨¬ ¬¥â®¤ ¨â¥à 樨

10