Лекции по ЧМ
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m n , 1 |
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çâ® n(x) á â®ç-®áâìî ¤® ç¨á«®¢®£® ¬-®¦¨â¥«ïᮢ¯ ¤¥â á ¬-®£®ç«¥-®¬ Pn(x). •â® á«¥¤ã¥â ¨§ ä®à¬ã«ë (5) ¢ ª®â®à®© bk = 0 ¯à¨ k n , 1, â® ¥áâì ¯®«ãç ¥¬
n(x) = bnPn(x):
ˆ§ ¯®á«¥¤-¥£® à ¢¥-á⢠¢ë⥪ ¥â, çâ® -㫨 ¬-®£®ç«¥- n(x) п¢«повбп -г«п¬¨ ¬-®£®з«¥- Pn(x), -® -ã«ï¬¨ ¬-®£®ç«¥- n(x) п¢«повбп 㧫л xi. ‡- з¨в 㧫 ¬¨ да¬г«л ƒ гбб п¢«повбп -г«¨ ¬-®£®з«¥-®¢ Pn(x) ¢ ᮮ⢥âá⢨¨ á® á⥯¥-ìî n, ª®â®àë¥ ®à⮣®- «ì-ë - [a,b] á ¢¥á®¬ (x). „«ï - 宦¤¥-¨ï 㧫®¢ ª¢ ¤à âãà-®© ä®à¬ã«ë ƒ ãáá âॡã¥âáï - ©â¨ n -ã«¥© ¬-®£®ç«¥- Pn(x). Ž¯à¥¤¥«¨¢ 㧫ë, -¥- âàã¤-® - ©â¨ ¢¥á ci. „«ï - 宦¤¥-¨ï ª®íää¨æ¨¥-⮢ ci à áᬮâਬ äã-ªæ¨î
n(x) = n(x) : x , xm
‚¨¤¨¬, çâ® n(x) ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ¬-®£®ç«¥- á⥯¥-¨ n-1. ‘«¥¤®¢ ⥫ì-®
äã-ªæ¨ï 2 |
(x) ¡ã¤¥â ¬-®£®ç«¥-®¬ á⥯¥-¨ 2n-2. ‡- ç¨â ¤«ï 2 |
(x) ä®à¬ã« |
(1) â®ç- |
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61
• áᬮâਬ ç áâ-ë© á«ãç © (x) 1. ‹¨-¥©-®¥ ¯à¥®¡à §®¢ -¨¥
x = (b + a) + b , at
2 2
®â१®ª [a,b] ¯à¨¢®¤¨â ª ®â१ªã [-1,1]. ˆ§¢¥áâ-®, çâ® - ®â१ª¥ [-1,1] ®à⮣®- «ì-ë¥ á ¥¤¨-¨ç-ë¬ ¢¥á®¬ ¬-®£®ç«¥-ë | íâ® ¬-®£®ç«¥-ë ‹¥¦ -¤à Pn(t). •à¨ í⮬
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k = n |
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Pn(t) à §«¨ç-ë ¨ ¤¥©á⢨⥫ì-ë ¨ à ᯮ«®¦¥-ë |
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- ®â१ª¥ [-1,1]. …᫨ ®¡®§- ç¨âì -㫨 ¬-®£®ç«¥- Pn(t) ª ª ã§«ë ¨ ᮮ⢥âáâ¢ã- î騥 ¢¥á ª¢ ¤à âãà-®© ä®à¬ã«ë ç¥à¥§ k ¨ k ᮮ⢥âá⢥--®, â® ®¡à â-ë¬ ¯à¥- ®¡à §®¢ -¨¥¬ ¬®¦-® ¯®«ãç¨âì ¢ëà ¦¥-¨ï ¤«ï 㧫®¢ ¨ ¢¥á®¢ëå ª®íää¨æ¨¥-⮢ ¯à¨ ¯à®¨§¢®«ì-®¬ ®â१ª¥ [a,b].
xk |
= b + a |
+ b , a |
k |
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k = 1; n |
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¦-¤à . Žâ¬¥â¨¬, çâ® ¯à¨ n=1 ¯®«ã稬 ä®à¬ã«ã á।-¨å.
„«п ¯®£а¥и-®бв¨ д®а¬г«л ƒ гбб (£¤¥ f(x) -¥ ®¡п§ в¥«м-® ¬-®£®з«¥-) ¨¬¥¥¬ б«¥¤гойго ®ж¥-ªг:
max R |
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= (b , a)2n+1(n!)4 |
(b , a) |
(b , a) |
2n M2n |
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j |
2:5pn |
3n |
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j |
(2n + 1)[(2n)!]3 |
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M2n = maxjf(2n)(x)j: |
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”®à¬ã« ƒ ãáá à ááç¨â - |
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¡á®«îâ-®© ¢¥«¨ç¨-¥). „«ï -¨å ä®à¬ã« ®¡¥á¯¥ç¨¢ ¥â |
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®ç¥-ì¢ë᮪ãî â®ç-®áâì ¯à¨ -¥¡®«ì讬 ç¨á«¥ 㧫®¢. ’ ª¨¬ ®¡à §®¬ ä®à¬ã«ã ƒ ãá- á á«¥¤ã¥â ¯à¨¬¥-ïâì ¢ â¥å á«ãç ïå, ª®£¤ âॡã¥âáï ¢ë᮪ ï â®ç-®áâì ¨ §- ç¥-¨ï äã-ªæ¨© ¯à¨ ¡®«ì讬 ç¨á«¥ à §«¨ç-ëå §- ç¥-¨© à£ã¬¥-â ¯®«ãç¨âì § âàã¤-¨â¥«ì- -®.
14.‚ëç¨á«¥-¨¥ ªà â-ëå ¨-â¥£à «®¢. Šã¡ âãà- -ë¥ ä®à¬ã«ë.
Šã¡ âãà-ë¥ ä®à¬ã«ë ¯à¥¤- §- ç¥-ë ¤«ï «î¡®£® ç¨á«¥--®£® ¨-⥣à¨à®¢ -¨ï ¤¢®©-ëå ¨-â¥£à «®¢.
62
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• áᬮâਬ ¤¢®©-®© ¨-â¥£à « ¯® ¯àאַ㣮«ì-¨ªã D(a x b; y )
Z Z f(x; y) dx dy
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-®¬ã §- ç¥-¨î ¨-â¥£à « , ª®£¤ |
¯¥à¨¬¥âàë ¢á¥å ï祥ª áâ६ïâáï ª -ã«î. •ãáâì ¢ |
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®¡®¡é¥--®© ä®à¬ã«¥ (2) áâ®à®-ë ¯àאַ㣮«ì-¨ª à §¡¨âë ᮮ⢥âá⢥--® - |
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M ç á⥩, ⮣¤ ¬®¦-® ¯®ª § âì, çâ® ¯®£à¥è-®áâì ¨-⥣à¨à®¢ -¨ï ¤«ï ¥¤¨-¨ç-®© |
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„«ï ®¡« á⨠¨-⥣à¨à®¢ -¨ï D á ªà¨¢®«¨-¥©-®© £à -¨æ¥© (2) ¯à¨¬¥-ï¥âáï -¥- ᪮«ìª® ¨-ë¬ á¯®á®¡®¬:
• ®¡« áâì D - ª« ¤ë¢ ¥âáï ¯àאַ㣮«ì- ï á¥âª . ’¥ ï祩ª¨, ª®â®àë¥ ¯®«-®- áâìî «¥¦ â ¢ ®¡« á⨠D - §ë¢ îâáï ¢-ãâà¥--¨¬¨. Ÿç¥©ª - §ë¢ ¥âáï £à -¨ç-®©, ¥á«¨ ç áâì ¥¥ ¯à¨- ¤«¥¦¨â ®¡« á⨠D, ç áâì -¥ ¯à¨- ¤«¥¦¨â. •«®é ¤ì ¢-ãâà¥--¥© ï祩ª¨ à ¢- ¯à®¨§¢¥¤¥-¨î ¥¥ áâ®à®-.
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•âã ¯«®é ¤ì ¬®¦-® ¢ëç¨á«¨âì ¯à¨¡«¨§¨â¥«ì-®, § ¬¥-ïï ¢ £à -¨æ å í⮩ ï祩ª¨ ¨áâ¨--ãî £à -¨æã D - å®à¤ã. “ª §ë¢ ¥¬ ¯«®é ¤¨ ¨ ¯®¤áâ ¢«ï¥¬ ¢ ä®à¬ã«ã ¤«ï ¢ëç¨á«¥-¨ï ¤¢®©-®£® ¨-â¥£à « :
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Z Za
Œ¥â®¤ ï祥ª ¯¥à¥-®á¨âáï -
f(x; y) dx dy X Sif(xi; yi)
i
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14.2. Œ¥â®¤ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì-®£® ¨-⥣à¨à®¢ -¨ï.
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Z Z f(x; y) dx dy
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f(x; y) dx |
(2) |
|
64
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(xi; yi) |
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Z |
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Cij f(xi; yi) |
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ᮮ⢥âá⢥--® ¤«ï ¢-ãâà¥--¨å, £à -¨ç-ëå ¨ 㣫®¢ëå 㧫®¢ ¯àאַ㣮«ì-®© á¥âª¨, hxhy { è £¨ á¥âª¨ ¯® ª®®à¤¨- â-ë¬ ®áï¬.
Œ®¦-® ¯®ª § âì, çâ® ¤«ï -¥¯à¥àë¢-® ¤¨ää¥à¥-æ¨à㥬®© f(x; y) (3) ¨¬¥¥â 2-®© ¯®à冷ª â®ç-®áâ¨. Œ®¦-® ¯®áâநâì ªã¡ âãà-ë¥ ä®à¬ã«ë ‘¨¬¯á®- , ƒ ãáá , ¨ ¤à.
Œ¥â®¤ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì-®£® ¨-⥣à¨à®¢ -¨ï ¬®¦¥â ¡ëâì ¯à¨¬¥-¥- ¨ ª ®¡« á⨠D ¯à®¨§¢®«ì-®© ä®à¬ë:
„«ï í⮣® ¯à®¢¥¤¥¬ ç¥à¥§ ®¡« áâì D å®à¤ë, ¯ à ««¥«ì-ë¥ ®á¨ OX ¨ - -¨å ¢¢¥¤¥¬
㧫ë, à ᯮ«®¦¥--ë¥ - |
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Z Z |
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f(x; y) dx dy = Z |
F (y) dy |
|
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D |
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£¤¥ F(y) = |
'2(y) |
f(x; y) dx ‘- ç « ¢ëç¨á«¨¬ ¨-â¥£à « ¯® x ¢¤®«ì ª ¦¤®© å®à¤ë ¯® |
||
'1(y) |
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ª ª®©--¨¡ã¤ìR ®¤-®¬¥à-®© ª¢ ¤à âãà-®© ä®à¬ã«¥, ¨á¯®«ì§ãï ¢¢¥¤¥--ë¥ ã§«ë, § ⥬ ¢ëç¨á«¨¬ ¨-â¥£à « ¯® y { §¤¥áì 㧫 ¬¨ ¡ã¤ã⠯஥ªæ¨¨ å®à¤ - ®á¨ ª®®à¤¨- â.
15.—¨á«¥--®¥ à¥è¥-¨¥ ®¡ëª-®¢¥--ëå ¤¨ää¥à¥-- æ¨ «ì-ëå ãà ¢-¥-¨© á - ç «ì-묨 ãá«®¢¨ï- ¬¨
‡ ¤ ç ¤«ï ®¡ëª-®¢¥--ëå „“ ¢®§-¨ª ¥â ª ª -¥¯®á।á⢥--® ¯à¨ ¬ ⥬ â¨ç¥- ᪮¬ ¬®¤¥«¨à®¢ -¨¨ ¬-®£¨å ॠ«ì-ëå ¥-¨©, â ª ¨ ¢ª ç¥á⢥ ¯à®¬¥¦ãâ®ç-®© ¯à¨ à¥è¥-¨¨ àï¤ ¡®«¥¥ á«®¦-ëå ¬ ⥬ â¨ç¥áª¨å § ¤ ç. Š®-ªà¥â- ï ¯à¨ª« ¤- ï § ¤ ç
¬â¥¬ ⨪¨ ¯à¨¢®¤¨â ª „“ «î¡®£® ¯®à浪 ¨«¨ ª á¨á⥬ „“. ˆ§¢¥áâ-®, çâ® ®¡ëª-®¢¥--ë¥ „“ p-£® ¯®à浪 :
U(p)(x) = f(x; U; U0; U00; : : : ; U(p,1))
•à¨ ¯®¬®é¨ § ¬¥-ë U(k)(x) = Uk(x) ¬®¦-® ᢥá⨠ª íª¢¨¢ «¥-â-®© á¨á⥬¥ p- ãà ¢-¥-¨© 1-£® ¯®à浪 :
U0 |
(x) |
= |
Uk+1(x); |
k = 0; 1; : : : ; p |
, |
2 |
0 k |
|
= |
f(x; U; U1; : : : ; Up,1) |
|
||
Up,1(x) |
|
|
||||
€- «®£¨ç-®, ¯à®¨§¢®¤-ãî á¨á⥬ã, á®áâ®ïéãî ¨§ „“ à §«¨ç-ëå ¯®à浪®¢ ¬®¦-®
§¬¥-¨âì íª¢¨¢ «¥-â-®© á¨á⥬®© „“ 1-£® ¯®à浪 .
‚¤ «ì-¥©è¥¬ ¡ã¤¥¬ áç¨â âì, çâ® í⮠㦥 ᤥ« -®. ’.®. ¡ã¤¥¬ à áᬠâਢ âì á¨á⥬㠄“ 1-£® ¯®à浪 , § ¯¨á --ãî ¢ ¢¨¤¥:
|
Uk0 (x) = fk(x; U1; U2; : : : ; Up); |
|
k = 1; : : : ; p |
(1) |
|||||||
„ -- ï á¨á⥬ ¢ ¢¥ªâ®à-®© ä®à¬¥: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
|
|
(1 |
0 |
) |
|
U |
(x) = f(x; U(x)) |
|
|
|
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£¤¥ |
|
|
|
= (f1 |
; f2 |
; : : : ; fp) |
T |
|
|
|
|
U(x) = (U1(x); U2(x); : : : ; Up(x)) |
f |
|
|
|
|
|
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|
•¥è¥-¨¥ (1) ¬®¦¥â ¡ëâì § ¯¨á -® ¢ ¢¨¤¥: |
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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(x; c) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
= U |
|
|
|
|
|
|
||
£¤¥ |
c = (c1; : : : ; cp) { ¢¥ªâ®à ¯®áâ®ï--ëå. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
„«ï ®¯à¥¤¥«¥-¨ï §- ç¥-¨© ¯®áâ®ï--ëå c1; : : : ; cp - ¤® - «®¦¨âì p ¤®¯®«-¨â¥«ì-ëå |
||||||||||
ãá«®¢¨© - äã-ªæ¨¨ Uk(x) (k = 1; : : : ; p).
• §«¨ç îâ âਠ®á-®¢-ëå ⨯ § ¤ ç ¤«ï ®¡ëª-®¢¥--ëå „“:
66
§¤ ç Š®è¨ ªà ¥¢ ï § ¤ ç
§¤ ç - ᮡá⢥--ë¥ §- ç¥-¨ï
‡ ¤ ç Š®è¨ (§ ¤ ç á - ç «ì-묨 ãá«®¢¨ï¬¨) á®á⮨⠢ - 宦¤¥-¨¨ à¥è¥-¨ï á¨á⥬ë (1), 㤮¢«¥â¢®àïîé¨å ¤®¯®«-¨â¥«ì-ë¬ ãá«®¢¨ï¬:
Uk( ) = k; |
k = 1; : : : ; p |
(2) |
¯à¨ í⮬ §- ç¥-¨ï ¢á¥å äã-ªæ¨© § ¤ -ë ¢ ®¤-®© ¨ ⮩ ¦¥ â®çª¥ x =
•¥è¥-¨¥ á¨á⥬ë (1) ®¡ëç-® âॡã¥âáï - ©â¨ - x X ¨«¨ X x ’.®. â®çªã x = ¬®¦-® áç¨â âì - ç «ì-®© â®çª®© à áᬠâਢ ¥¬®£®
‡¤¥áì X { -¥ª®â®à ï 䨪á¨à®¢ -- ï â®çª .
.
®â१ª .
‚¤ «ì-¥©è¥¬ ¡ã¤¥¬ áç¨â âì, çâ® ãá«®¢¨ï áãé¥á⢮¢ -¨ï ¨ ¥¤¨-á⢥--®á⨠à¥-
襬®© § ¤ ç¨ Š®è¨ (1)-(2) ¢ë¯®«-¨¬ë.
‘ãé¥áâ¢ãîâ â®ç-ë¥ ¨ ¯à¨¡«¨¦¥--ë¥ ¬¥â®¤ë à¥è¥-¨ï ®¡ëª-®¢¥--ëå „“. Š« á- áë ãà ¢-¥-¨©, ¤«ï ª®â®àëå à §à ¡®â -ë ¬¥â®¤ë ¯®«ãç¥-¨ï â®ç-®£® à¥è¥-¨ï áà ¢- -¨â¥«ì-® 㧪¨. •à¨¡«¨¦¥--ë¥ ¬¥â®¤ë ¤¥«ïâáï - - «¨â¨ç¥áª¨¥ ¨ ç¨á«¥--ë¥. —¨- á«¥--ë¥ ¬¥â®¤ë { íâ® «£®à¨â¬ë ¢ëç¨á«¥-¨ï ¯à¨¡«¨¦¥--ëå §- ç¥-¨© ¨áª®¬®£® à¥- è¥-¨ï - -¥ª®â®à®© ¢ë¡à --®© á¥âª¥ §- ç¥-¨© à£ã¬¥-â fXng, à¥è¥-¨¥ ¯à¨ í⮬ ¯®«ãç ¥âáï ¢ ¢¨¤¥ â ¡«¨æë:
—¨á«¥--ë¥ ¬¥â®¤ë -¥ ¯®§¢®«ïîâ - ©â¨ ®¡é¥¥ à¥è¥-¨¥ (1), § â® ®-¨ ¯à¨¬¥-¨¬ë ª ®ç¥-ì è¨à®ª®¬ã ª« ááã ãà ¢-¥-¨©. • áᬮâਬ -¥ª®â®àë¥ ¯à¨¡«¨¦¥--ë¥ ¬¥â®¤ë à¥è¥-¨ï § ¤ ç¨ Š®è¨.
„«ï ¯à®áâ®âë ®£à -¨ç¨¬áï á«ãç ¥¬ ®¤-®£® ãà ¢-¥-¨ï 1-£® ¯®à浪 .
|
€«£®à¨â¬ë ¤«ï á«ãç ©-®© á¨á⥬ë ãà ¢-¥-¨© «¥£ª® ¯®«ãç îâáï ¨§ |
«£®à¨â¬®¢, |
|
á®áâ®ïé¨å ¤«ï à¥è¥-¨ï 1-£® ãà ¢-¥-¨ï ä®à¬ «ì-®© § ¬¥-®©: U(x) - |
|
||
U(x), f(x; U) |
|||
- |
|
|
|
f(x; U). |
|
||
15.1. Œ¥â®¤ á⥯¥--ëå à冷¢
Œ¥â®¤ á⥯¥--ëå à冷¢ ï¥âáï ¯à¨¡«¨¦¥--ë¬ - «¨â¨ç¥áª¨¬ ¬¥â®¤®¬, ®á-®- ¢ --ë¬ - ¨¤¥¥ à §«®¦¥-¨ï ¢ àï¤ à¥è¥-¨ï à áᬠâਢ ¥¬®© § ¤ ç¨ Š®è¨. — é¥ ¢á¥£® ¤«ï íâ¨å 楫¥© ¨á¯®«ì§ã¥âáï àï¤ ’¥©«®à .
• áᬮâਬ § ¤ çã Š®è¨ ¤«ï ãà ¢-¥-¨ï ¯¥à¢®£® ¯®à浪 :
U0(x) = f(x; U) |
|
U( ) = |
(1) |
x X
•à¨¡«¨¦¥--®¥ à¥è¥-¨¥ § ¤ ç¨ (1), ¢ ®â«¨ç¨¥ ®â â®ç-®£®, ¡ã¤¥¬ ®¡®§- ç âì ç¥à¥§ y: •à¨¡«¨¦¥--®¥ à¥è¥-¨¥ § ¤ ç¨ (1) ¡ã¤¥¬ ¨áª âì ¢ ¢¨¤¥:
|
m |
y(i)( ) |
(x , )i |
|
ym(x) = |
X |
i! |
(2) |
|
|
i=0 |
|
|
|
•¥¨§¢¥бв-л¬¨ ¢ а §«®¦¥-¨¨ (2) п¢«повбп ª®ндд¨ж¨¥-вл y(i)( ): Ž¯à¥¤¥«¨¬ ¨å. ˆ§ - ç «ì-®£® ãá«®¢¨ï ¨¬¥¥¬ y(0)( ) = U( ) = : ’ ª¨¬ ®¡à §®¬ y(0) = : • ®á-®¢ - -¨¨ ¤¨ää¥à¥-æ¨ «ì-®£® ãà ¢-¥-¨ï ¯®«ãç ¥¬, çâ® y(1)( ) = f( ; ): ‚ ᥠ®áâ «ì-ë¥
67
§- ç¥-¨ï y(i)( ) - 室ïâáï ¯® ä®à¬ã« ¬, ¯®«ãç ¥¬ë¬ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì-ë¬ ¤¨ää¥à¥-- æ¨à®¢ -¨¥¬ ¨á室-®£® ãà ¢-¥-¨ï. ’ ª ª ª
U00(x) = fx(x; U) + fU (x; U)U0(x)
¯®í⮬ã
y(2)( ) = fx( ; ) + fU ( ; )f( ; ):
€- «®£¨ç-® - 室¨¬
y(3)( ) = fxx( ; ) + 2f( ; )fxU ( ; ) + f2( ; )fUU ( ; )+
+fU ( ; )[fx( ; ) + f( ; )fU ( ; )]
...
„«ï §- ç¥-¨© x ¡«¨§ª¨å ª ¬¥â®¤ á⥯¥--ëå à冷¢ ¯à¨ ¤®áâ â®ç-® ¡®«ì讬 m ¤ ¥â ®¡ëç-® å®à®è¨¥ ¯à¨¡«¨¦¥-¨ï ª â®ç-®¬ã à¥è¥-¨î U(x) § ¤ ç¨ (1): Ž¤- ª® á 㢥«¨ç¥-¨¥¬ à ááâ®ï-¨ï ¯®£à¥è-®áâì ¯à¨¡«¨¦¥--®£® à ¢¥-á⢠U(x) ym(x) ¢®- ®¡é¥ £®¢®à ï ¢®§à á⠥⠯® ¡á®«îâ-®© ¢¥«¨ç¨-¥. • §«®¦¥-¨¥ (2) áâ -®¢¨âáï ¢®¢á¥
-¥¯à¨¥¬«¥¬ë¬, ª®£¤ |
x ¢ë室¨â ¨§ ®¡« á⨠á室¨¬®á⨠àï¤ ’¥©«®à . |
|
|
||||||||||||||||||||
•à¨¬¥à 17. Œ¥â®¤®¬ á⥯¥--ëå à冷¢ - ©â¨ à¥è¥-¨¥ ãà ¢-¥-¨ï U0 = |
U |
; 㤮- |
|||||||||||||||||||||
x+U |
|||||||||||||||||||||||
¢«¥â¢®àïî饥 - ç «ì-®¬ã ãá«®¢¨î U(1) = 2: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
ˆ¬¥¥¬ = 1; = 2: •¥è¥-¨¥ § ¤ ç¨ ¨é¥¬ ¢ ¢¨¤¥: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
y(x) = y(0)( ) + y(1)( )(x , ) + |
y(2)( ) |
(x , )2 + |
y(3)( ) |
(x , )3 + : : : |
|
||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
3! |
|
||||||||||||||||||
• 室¨¬ y(0)(1) = 2; |
y(1)(1) = |
2 |
= |
|
2 |
: „ «¥¥ - 室¨¬ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
1+2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
U00 = |
xU0 , U |
|
; ⮣¤ |
|
|
y(2)(1) = |
, |
4 |
; |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
(x + U)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
27 |
|
|
|
|
|
||||||
U000 |
= |
xU00(x + U) , 2(1 + U0)(xU0 , U) |
; |
|
y(3)(1) = |
4 |
: |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
(x + U)3 |
|
|
|
|
|
|
|
27 |
|
|
|||||||||
’ ª¨¬ ®¡à §®¬ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
(x , 1)2 + |
2 |
(x , 1)3 + : : : : |
|
|
||||||||||
U(x) |
y(x) = 2 + 3(x , |
1) |
, |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
27 |
81 |
|
|
||||||||||||||||||||
15.2. Œ¥â®¤ •©«¥à |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Œ¥â®¤ •©«¥à |
| ¯à®á⥩訩 ç¨á«¥--ë© ¬¥â®¤ à¥è¥-¨ï § ¤ ç¨ Š®è¨. Œ¥â®¤ |
||||||||||||||||||||||
¨á¯®«ì§ã¥âáï ।ª® ¨§-§ -¥¢ë᮪®© â®ç-®áâ¨. •® - ¥£® ¯à¨¬¥à¥ 㤮¡-® ¯®ïá-¨âì á¯®á®¡ë ¯®áâ஥-¨ï ¨ ¨áá«¥¤®¢ -¨ï ç¨á«¥--ëå ¬¥â®¤®¢ à¥è¥-¨ï ¤¨ää¥à¥-æ¨ «ì-®- £® ãà ¢-¥-¨ï. • áᬮâਬ § ¤ çã Š®è¨
U0(x) = f(x; U) |
|
U( ) = |
(1) |
x X |
|
68
‚롥६ - ®â१ª¥ [ ; X] -¥ª®â®àãî á¥âªã fxng; n = 0; 1 : : : N, â ª, ç⮡ë |
= x0 < |
|
x1 < : : : < xN = X: ‘¥âª ¢ ®¡é¥¬ á«ãç ¥ ¬®¦¥â ¡ëâì -¥à ¢-®¬¥à-®©. • §« £ ¥¬ |
||
à¥è¥-¨¥ § ¤ ç¨ Š®è¨ U(x) ¯® ä®à¬ã«¥ ’¥©«®à - |
¨-â¥à¢ «¥ á¥âª¨ xn x xn+1: |
|
Ž¡®§- ç ¥¬ ç¥à¥§ Un = U(xn) ¨ ¯®«ã稬 |
|
|
h2 |
|
|
Un+1 = Un + hnUn0 + n Un00 |
+ : : : ; |
(2) |
2 |
|
|
£¤¥ hn = xn+1 , xn: Ž£à -¨ç¨¢ ïáì ⮫쪮 ¯¥à¢ë¬¨ ¤¢ã¬ï ç«¥- ¬¨ à §«®¦¥-¨ï ¨ ®¡®§- ç ï ¯à¨¡«¨¦¥--ë¥ §- ç¥-¨ï ¨áª®¬®© äã-ªæ¨¨ ¢ 㧫 å xn ç¥à¥§ yn ¯®«ã稬 â ª - §ë¢ ¥¬ãî á奬㠕©«¥à , ª®â®àãî ¥é¥ - §ë¢ îâ á奬®© «®¬ -ëå
yn+1 = yn + hnf(xn; yn) |
(3) |
—⮡ë - ç âì ¢ëç¨á«¥-¨ï ¯® á奬¥ (3); ¤®áâ â®ç-® § ¤ âì - ç «ì-ë¥ §- ç¥-¨ï y0 = y(x0) = : ‡ ⥬ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì-® - 室¨¬ y1; y2 : : : yN : Œ®¦-® ¤®ª § âì á室¨¬®áâì ¬¥â®¤ •©«¥à , ¯à¥¤¯®« £ ï -¥¯à¥àë¢-®áâì ¨ ®£à -¨ç¥--®áâì äã-ªæ¨¨ f(x; U) á ¥¥ ¯¥ à¢ë¬¨ ¯à®¨§¢®¤-묨 ¯® x ¨ y: ’.¥. ¬®¦-® ¯®ª § âì, çâ® ¯à¨ hn ! 0 ¯à¨¡«¨¦¥--®¥ à¥è¥-¨¥ á室¨âáï ª â®ç-®¬ã à ¢-®¬¥à-® - ¤®áâ â®ç-® ¬ «®¬ ®â१ª¥ [x0; x0 + H]: ’ ª ª ª ¨-â¥£à « ¨á室-®£® ãà ¢-¥-¨ï - ª ¦¤®¬ ®â१ª¥ [xn; xn+1] ¯à¥¤áâ ¢«ï¥âáï
¤ ¢ã¬ï ç«¥- ¬¨ àï¤ |
’¥©«®à , â® ®ç¥¢¨¤-®, çâ® ¯®£à¥è-®áâì Rn+1 ä®à¬ã«ë •©«¥à |
|
¤«ï ª ¦¤®£® ãç á⪠|
[xn; xn+1] à ¢- : |
|
|
Rn+1 = |
h2 |
|
n U00(xn + hn); £¤¥ 0 < < 1: |
|
|
|
2 |
’.¥. ¯®£à¥è-®áâì ¨¬¥¥â ¯®à冷ª O(h2n): ’ ª¨¬ ®¡à §®¬ ä®à¬ã« •©«¥à ¨¬¥¥â ¯¥à- ¢ë© ¯®à冷ª â®ç-®á⨠O(max hn): •¥¤®бв вª®¬ ¬¥в®¤ •©«¥а п¢«п¥вбп б¨бв¥¬ в¨- з¥бª®¥ - ª®¯«¥-¨¥ ®и¨¡®ª ¨ ¬ « п в®з-®бвм. •а¨ ¢лз¨б«¥-¨¨ §- з¥-¨© - б«¥¤го- й¥¬ ®ва¥§ª¥ ¨б室 -л¥ ¤ --л¥ -¥ п¢«повбп в®з-л¬¨ ¨ ᮤ¥а¦ в ¯®£а¥и-®бв¨ -¥ § ¢¨бпй¨¥ ®в в®з-®бв¨ ¯а¥¤и¥бв¢гой¨е ¢лз¨б«¥-¨©.
•à¨¬¥à 18. •à®¨-⥣à¨à®¢ âì ¯® ¬¥â®¤ã •©«¥à ãà ¢-¥-¨¥ U0(x) = x2 + U2 -
®â१ª¥ 0 |
x 1 á - ç «ì-ë¬ ãá«®¢¨¥¬ U(0) = 0: |
||||||
|
•à®¢¥¤¥¬ ¢ëç¨á«¥-¨¥ ¯® ä®à¬ã«¥ (3); ᢥ¤ï १ã«ìâ âë ¢ëç¨á«¥-¨ï ¢ â ¡«¨æã. |
||||||
|
n |
xn |
yn |
|
U(xn) |
|
|
|
0 |
0 |
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0.25 |
0 |
|
0.005 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
0.5 |
0.016 |
|
0.042 |
|
|
|
3 |
0.75 |
0.078 |
|
0.143 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
1 |
|
0.220 |
|
0.350 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
‘¥âª |
¢ë¡à - |
à ¢-®¬¥à-®© á è £®¬ 0:25: ‚ â ¡«¨æ¥ - àï¤ã á ¯à¨¡«¨¦¥--ë¬ |
||||
¯à¨¢¥¤¥-® â®ç-®¥ à¥è¥-¨¥ U: ˆ§ â ¡«¨æë ¢¨¤-®, çâ® â®ç-®áâì ¯à¨¡«¨¦¥--®£® à¥è¥-¨ï -¥ ¢ë᮪ ï. „«ï ¯®¢ëè¥-¨ï â®ç-®á⨠᫥¤ã¥â 㬥-ìè¨âì è £ á¥âª¨.
15.3. Œ®¤¨ä¨ª 樨 ¬¥â®¤ •©«¥à
•®«¥¥ ¢ë᮪ãî â®ç-®áâì ¤ îâ à §«¨ç-ë¥ ¬®¤¨ä¨ª 樨 ¬¥â®¤ •©«¥à . ‘®£« á-®
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||||||||||||
-¨ï |
|
|
|
hn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
1 |
= xn + |
¨ y |
|
1 |
|
= yn + hnf(x |
1 |
; yn): |
|||
n+ |
|
n+ |
|||||||||||
|
|
|
|
||||||||||
|
2 |
2 |
|
2 |
|
|
n+ |
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
69
‡ ⥬ - 室ïâ fn+ 12 = f(xn+ 21 ; yn+ 21 ) ¨ - ª®-¥æ ¯®« £ îâ yn+1 = yn + hnfn+ 12 : „à㣮© ¬®¤¨ä¨ª 樥© ¬¥â®¤ ï¥âáï ¬¥â®¤ •©«¥à -Š®è¨, ¯à¨ ª®â®à®¬ á- -
ç « - 室ïâáï £àã¡®¥ ¯à¨¡«¨¦¥-¨¥ à¥è¥-¨ï y~n+1 = yn + hnf(xn; yn): ˆáå®¤ï ¨§ ª®â®à®£® ¢ëç¨á«ï¥âáï f~n+1 = f(xn+1; y~n+1): ‡ ⥬ ¯®« £ îâ
yn+1 = yn + hn f(xn; yn2) + f~n+1 :
“ª § --ë© ¬¥â®¤ ¬®¦-® ¥é¥ ¡®«¥¥ ãâ®ç-¨âì, ¯à¨¬¥-ïï ¨â¥à 樮--ãî ®¡à ¡®âªã ª ¦¤®£® §- ç¥-¨ï yn: ˆáå®¤ï ¨§ £àã¡®£® ¯à¨¡«¨¦¥-¨ï
|
|
|
|
|
y(0) |
= y |
n |
+ h f(x ; y ) |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
n+1 |
|
n |
n |
n |
|
|
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yn(m+1) ¨ yn(m+1+1):
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