Лекции по ЧМ

¨«¨

N mN,1 + 2mN + N m1 = CN

’¥¯¥àì ¯®«®¦¨¬ i=1 ¨ § ¯¨è¥¬ ãà ¢-¥-¨¥ (8) ¤«ï â®çª¨ xi:

1m0 + 2m1 + 1m2 = C1

¨«¨

1mN + 2m1 + 1m2 = C1

’ ª¨¬ ®¡а §®¬ ¯®«гз ¥¬ б«¥¤гойго б¨бв¥¬г:

¯а¨ ¢лз¨б«¥-¨¨ б¯« ©- , ¡®«¥¥ ¢л£®¤-® ¢¬¥бв® д®а¬г«л (4) ¨б¯®«м§®¢ вм б«¥¤гойго д®а¬г«г:

£¤¥

S(x) = yi + (x , xi)(mi + t(B + At));

2

A = ,hi (yi+1 , yi) + mi + mi+1;

B = ,A + yi+1 , yi , mi: hi

‚ëç¨á«¥-¨ï ¯® 㪠§ --®© ä®à¬ã«¥ âॡã¥â ¯à®¢¥¤¥-¨¥ ¬¥-ì襣® ª®«¨ç¥á⢠à¨ä- ¬¥â¨ç¥áª¨å ¤¥©á⢨©.

41

10.5. •®áâ஥-¨¥ ¨-â¥à¯®«ï樮--ëå ᯫ ©-®¢ ¢ â¥à¬¨- å

Mi.

‚ -¥ª®â®àëå á«ãç ïå ¡®«¥¥ 㤮¡-ë¬ ®ª §ë¢ ¥âáï ¯à¥¤áâ ¢«¥-¨¥ ᯫ ©- ç¥à¥§ ¢¥- «¨ç¨-ë Mi = S00(xi); i = 0; 1 : : : N: ‡ ¯¨è¥¬ ªã¡¨ç¥áª¨© ¬-®£®ç«¥- ¤«ï ª ¦¤®£® ®â- १ª [xi; xi+1] - «®£¨ç-® ⮬ã, ª ª ¡ë«® ᤥ« -® ¢ëè¥. Š®íää¨æ¨¥-âë ai0; ai1; ai2; ai3 - ©¤¥¬ ª ª à¥è¥-¨ï á«¥¤ãî饩 á¨á⥬ë ãà ¢-¥-¨©:

S(xi) = yi

S(xi+1) = yi+1

S00(xi) = Mi

S00(xi+1) = Mi+1

‚ १ã«ìâ ⥠¯®«ãç ¥¬ á«¥¤ãî饥 ¢ëà ¦¥-¨¥:

(2)

(3)

(4)

•®áâ஥-- ï â ª¨¬ ®¡à §®¬ äã-ªæ¨ï S(x) ¡ã¤¥â ¢áî¤ã - ®â१ª¥ [a; b] -¥¯à¥àë¢-®© ¢¬¥á⥠ᮠ᢮¥© ¢â®à®© ¯à®¨§¢®¤-®©. •®âॡ㥬 -¥¯à¥àë¢-®á⨠S0(x):

‚롥६ ¢¥«¨ç¨-ë Mi â ª, çâ®¡ë ¢ë¯®«-ï«®áì ãá«®¢¨¥:

S0(xi + 0) = S0(xi , 0); i = 1; 2 : : : N , 1:

‡ ¯¨áë¢ ï ¢ëà ¦¥-¨¥ (2) ¤«ï ®â१ª [xi,1; xi] ¨ ¯®¤áâ ¢«ïï x = xi, ¯®«ã稬 ¢ëà - ¦¥-¨¥ ¤«ï «¥¢®áâ®à®--¥£® ¯à¥¤¥« ¨ § ¯¨è¥¬ ¥£®:

42

Š ãà ¢-¥-¨ï¬ (7) ¤®«¦-ë ¡ëâì ¤®¡ ¢«¥-ë ¥é¥ 2 ãà ¢-¥-¨ï, ¯®«ãç ¥¬ë¥ ¨§ ªà ¥¢ëå ãá«®¢¨©.

„«ï ãá«®¢¨© ⨯ I ¡ã¤¥¬ ¨¬¥âì

„«ï ãá«®¢¨© ⨯ II ¨¬¥¥¬ ãà ¢-¥-¨¥:

M0 = y00(a); MN = y00(b):

‚ á«ãç ¥ ªà ¥¢ëå ãá«®¢¨© ⨯ III ¯¥à¨®¤¨ç¥áª¨ ¯à®¤®«¦¨¬ á¥âªã : “ç⥬, çâ®

y0 = yN ; yN+1 = y1; hN = h0; MN+1 = M1; MN = M0:

•¥á«®¦-® ¯®«ãç¨âì á¨á⥬ã ãà ¢-¥-¨© ¨ ¤«ï á«ãç ï ªà ¥¢ëå ãá«®¢¨© IV .

ˆâ ª, ¯®«ã稬 ¤«ï ª ¦¤®£® ⨯ ªà ¥¢ëå ãá«®¢¨© ᢮î á¨á⥬㠫£¥¡à ¨ç¥- ᪨å ãà ¢-¥-¨© ¤«ï ®âë᪠-¨ï -¥¨§¢¥áâ-ëå ¢¥«¨ç¨- M0; M1 : : : MN : ‘¨áâ¥¬ë ¨¬¥îâ ¥¤¨-á⢥--®¥ à¥è¥-¨¥, çâ® ®§- ç ¥â, ç⮠ᯫ ©-, ¯®áâ஥--ë© ¯® ä®à¬ã«¥ (1) áã- é¥áâ¢ã¥â ¨ ¥¤¨-á⢥-¥-. •®á«¥ - 宦¤¥-¨ï ¢¥«¨ç¨- Mi ¬®¦¥¬ ¯à®¢®¤¨âì à áç¥âë S(x)¯® ä®à¬ã«¥ (1) ¤«ï «î¡®£® §- ç¥-¨ï x ¨§ ®â१ª [a; b]: ‘ â®çª¨ §à¥-¨ï íª®-®¬¨¨ à¨ä¬¥â¨ç¥áª¨å ¢ëç¨á«¥-¨© ¢ë£®¤-® ¢¬¥áâ® (1) ¨á¯®«ì§®¢ âì ä®à¬ã«ã:

S(x) = yi + tfyi+1 , yi , (xi+1 , xi)[(xi+1 , x + hi)Mi + (hi + x , xi)Mi+1]g

‡¤¥áì Mi = 16 Mi:

10.6.Ž¡ ¨-â¥à¯®«ï樨 ªã¡¨ç¥áª¨¬¨ ᯫ ©- ¬¨ á § ¤ --®© â®ç-®áâìî ¨ ®¡ ®æ¥-ª¥ ¯®£à¥è-®á⨠¨-â¥à¯®«ï樨 ᯫ ©- ¬¨.

¯®«ï樨. ‘ãé¥áâ¢ãîâ á¯¥æ¨ «ì-ë¥ «£®à¨â¬ë à¥è¥-¨ï 㪠§ --®© § ¤ ç¨, -® ¤«ï áâண®£® à¥è¥-¨ï â ª®© § ¤ ç¨ -¥®¡å®¤¨¬® §- âì ª ª®¬ã ¬-®¦¥áâ¢ã ¯à¨- ¤«¥¦¨â ¨-â¥à¯®«¨à㥬 ï äã-ªæ¨ï y(x): Žâ¬¥â¨¬ â ª¦¥, çâ® áãé¥áâ¢ãîâ ®æ¥-ª¨ ¯®£à¥è-®- á⨠¨-â¥à¯®«ï樨 ᯫ ©- ¬¨. Ž-¨ ¨¬¥îâ à §«¨ç-ë¥ ä®à¬ë ¢ § ¢¨á¨¬®á⨠®â ⮣®, ª ª®¬ã ¬-®¦¥áâ¢ã ¯à¨- ¤«¥¦¨â äã-ªæ¨ï y(x): ‘«¥¤®¢ ⥫ì-® 㪠§ --묨 ®æ¥-ª - ¬¨ ¬®¦-® ¯®«ì§®¢ âìáï, ¥á«¨ ¨¬¥¥¬ -¥ ⮫쪮 â ¡«¨æã §- ç¥-¨© äã-ªæ¨¨, -® â ª¦¥ §- ¥¬ ª ª ª®¬ã ª« ááã ¯à¨- ¤«¥¦¨â äã-ªæ¨ï y(x):

43

10.7. Ž ¢ë¡®à¥ ªà ¥¢ëå ãá«®¢¨©.

„«ï å®à®è¥£® ¯à¨¡«¨¦¥-¨ï äã-ªæ¨¨ y(x) ᯫ ©- ¬¨ ¢ ¦-® ¯à ¢¨«ì-® ¢ë¡à âì ªà ¥¢ë¥ ãá«®¢¨ï. ‘«¥¤ã¥â ®â¬¥â¨âì, çâ® ¢¤ «¨ ®â ª®-殢 ®â१ª [a; b] ¢«¨ï-¨¥ ªà - ¥¢ëå ãá«®¢¨© -¥§- ç¨â¥«ì-®. Ž-¨ ¢ ®á-®¢-®¬ ᪠§ë¢ îâáï ¯à¨ ¢ëç¨á«¥-¨ïå ¢¡«¨§¨ â®ç¥ª x = a ¨ x = b: ‚ë¡®à ªà ¥¢ëå ãá«®¢¨© § ¢¨á¨â ®â ¨-ä®à¬ 樨 ® äã-ªæ¨¨ y(x): ’¥®à¨ï ᯫ ©-®¢ ¤ ¥â á«¥¤ãî騥 ४®¬¥-¤ 樨.

…б«¨ ¨§¢¥бв-л §- з¥-¨п ¯¥а¢®© ¨ ¢в®а®© ¯а®¨§¢®¤-ле дг-ªж¨¨ y(x) ¢ в®зª е a ¨ b, в® б«¥¤г¥в ¯®«м§®¢ вмбп гб«®¢¨п¬¨ в¨¯ I ¨ в¨¯ II б®®в¢¥вбв¢¥--®. …б«¨ бгй¥бв¢г¥в ¢®§¬®¦-®бвм ¢л¡®а , в® ¯а¥¤¯®зв¥-¨¥ б«¥¤г¥в ®в¤ вм гб«®¢¨п¬ в¨¯ I. ‚ ап¤¥ б«гз ¥¢ ¯а¨ ®вбгвбв¢¨¨ -¥®¡е®¤¨¬®© ¨-д®а¬ ж¨¨ з бв® ¯а¥¤« £ ¥вбп ¯®«м- §®¢ вмбп гб«®¢¨п¬¨ S00(a) = 0 ¨ S00(b) = 0: •à¨ í⮬ â®ç-®áâì ¨-â¥à¯®«ï樨 ¢¡«¨§¨ ª®-殢 ®â१ª [a; b] -¥ £ à -â¨àã¥âáï. ‚ á«ãç ¥, ª®£¤ ¨¬¥¥¬ «¨èì â ¡«¨æã §- ç¥- -¨© äã-ªæ¨¨ y(x), â® ¬®¦¥¬ ¢®á¯®«ì§®¢ âìáï ªà ¥¢ë¬¨ ãá«®¢¨ï¬¨ ⨯ I ¨«¨ II, ¥á«¨ ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 §- ç¥-¨ï ¯à®¨§¢®¤-ëå äã-ªæ¨¨ y(x) ¢ â®çª å [a; b] - ©â¨ ¯à¨¡«¨¦¥--®, ¨á¯®«ì§ãï ª®-¥ç-®-à §-®áâ-ë¥ ®â-®è¥-¨ï.

•¥¤®áâ ⪮¬ í⮣® ᯮᮡ ï¥âáï â®, çâ® ¯à¨å®¤¨âáï ¨á¯®«ì§®¢ âì ®¤-®áâ®à®-- -¨¥ ä®à¬ã«ë, ¨¬¥î騥 ¬ «ãî â®ç-®áâì.

„«ï ¯¥à¨®¤¨ç¥áª¨å äã-ªæ¨© y(x) ¥áâ¥á⢥--® ¨á¯®«ì§®¢ âì ªà ¥¢ë¥ ãá«®¢¨ï ⨯

III. — áâ® - ¯à ªâ¨ª¥ å®à®è¨¥ १ã«ìâ âë ¤ ¥â ¨á¯®«ì§®¢ -¨¥ ãá«®¢¨© ⨯ IV .

11.‘।-¥ª¢ ¤à â¨ç-®¥ ¯à¨¡«¨¦¥-¨¥.

11.1. • ¨«ãç襥 ¯à¨¡«¨¦¥-¨¥.

ˆ-â¥à¯®«ïæ¨ï ¯®§¢®«ï¥â «¥£ª® ¯¯à®ªá¨¬¨à®¢ âì äã-ªæ¨î y(x). Ž¤- ª®, â®ç-

— á⮠楫¥á®®¡à §-® ¯à¨¡«¨¦ âì äã-ªæ¨î -¥ ¯® â®çª ¬, ¯à¨à ¢-¨¢ ï y(x) ¨ '(x) ¢ 㧫 å, ¢ á।-¥¬, â.¥. ¢ -®à¬¥ ¯à®áâà -á⢠Lp:

•à®áâà -á⢮ Lp | íâ® ¬-®¦¥á⢮ äã-ªæ¨© f(x), ®¯à¥¤¥«¥--ëå - ®â१ª¥ [a; b] ¨ ¨-⥣à¨à㥬ëå ¯® ¬®¤ã«î á p-®© á⥯¥-ìî. •®à¬ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ä®à¬ã«®©:

kf(x)kLp = [Zb (x)jf(x)jpdx]1=p;

a

£¤¥ (x) > 0 | ¢¥á®¢ ï äã-ªæ¨ï.

•ãáâì ¨¬¥¥¬ äã-ªæ¨î y(x) ¨ ¬-®¦¥á⢮ äã-ªæ¨© '(x), ¯à¨- ¤«¥¦ é¨å -¥ª®â®- ஬㠯à®áâà -áâ¢ã. ‘ ¯à ªâ¨ç¥áª®© â®çª¨ §à¥-¨ï ¯à¥¤áâ ¢«ïîâ ¨-â¥à¥á á«¥¤ãî騥 ¤¢¥ § ¤ ç¨:

44

1)€¯¯à®ªá¨¬ æ¨ï á § ¤ --®© â®ç-®áâìî: ¯® § ¤ --®¬ã " - ©â¨ â ªãî äã-ªæ¨î '(x), ç⮡ë ky(x) , '(x)k ":

2)• 宦¤¥-¨¥ - ¨«ãç襣® ¯à¨¡«¨¦¥-¨ï: - 宦¤¥-¨¥ äã-ªæ¨¨ '(x) ¨§ ª« áá äã-ªæ¨© '(x), 㤮¢«¥â¢®àïî饩 á®®â-®è¥-¨î

Œ®¦-® ¯®ª § вм, зв® ¢ «о¡®¬ «¨-¥©-®¬ -®а¬¨а®¢ --®¬ ¯а®бва -бв¢¥ ¯а¨ «¨- -¥©-®© ¯¯а®ªб¨¬ ж¨¨ (2) - ¨«гзи¥¥ ¯а¨¡«¨¦¥-¨¥ бгй¥бв¢г¥в, е®вп -¥ ¢ «о¡®¬ «¨-¥©-®¬ ¯а®бва -бв¢¥ ®-® ¥¤¨-бв¢¥--®. • ¯а ªв¨ª¥ ¢¥бм¬ з бв® ¨б¯®«м§говбп ¯а®бва -бв¢ L2 ¨ C (¯à®áâà -á⢮ C | ¬-®¦¥á⢮ äã-ªæ¨© f(x), ®¯à¥¤¥«¥--ëå ¨

kf(x)kL2 = q(f; f);

£¤¥ ᪠«ïà-®¥ ¯à®¨§¢¥¤¥-¨¥ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬:

(f; g) = Zb (x)f(x)g(x)dx:

a

‚롥६ ¢ ª ç¥á⢥ ¯¯à®ªá¨¬¨àãî饩 äã-ªæ¨¨ '(x) «¨-¥©-ãî ª®¬¡¨- æ¨î (2): •®¤áâ ¢«ï¥¬ (2) ¢ ãá«®¢¨¥ - ¨«ãç襣® ¯à¨¡«¨¦¥-¨ï (1) ¨ ¯®«ãç ¥¬:

ky , 'k2 = (y , '; y , ') = (y; y) , 2(y; ') + ('; ') =

•à¨à ¢-¨¢ ¥¬ -ã«î ¯à®¨§¢®¤-ë¥ ¯® ª®íää¨æ¨¥-â ¬, ¯®«ã稬 á¨á⥬㠫¨-¥©-ëå «£¥¡à ¨ç¥áª¨å ãà ¢-¥-¨©:

@a@j (ky , 'k2L2 ) = 0; j = 1; 2 : : : n

Ž¯à¥¤¥«¨â¥«ì á¨á⥬ë (3), ¥áâì ®¯à¥¤¥«¨â¥«ì ƒà ¬¬ äã-ªæ¨¨ 'k(x). ’.ª. äã-ªæ¨¨ 'k(x) «¨-¥©-® -¥§ ¢¨á¨¬ë, â® ®- ®â«¨ç¥- ®â -ã«ï. ‘«¥¤®¢ ⥫ì-® - ¨«ãç襥 á।- -¥ª¢ ¤à â¨ç-®¥ ¯à¨¡«¨¦¥-¨¥ áãé¥áâ¢ã¥â ¨ ¥¤¨-á⢥--®. „«ï - 宦¤¥-¨ï - ¨«ãçè¥

45

£® ¯à¨¡«¨¦¥-¨ï -¥®¡å®¤¨¬® à¥è¨âì á¨á⥬㠫¨-¥©-ëå ãà ¢-¥-¨© (3) ¨ ®¯à¥¤¥«¨¬ a1; a2 : : : an: •®¤áâ ¢¨¢ - ©¤¥--ë¥ §- ç¥-¨ï ª®íää¨æ¨¥-⮢ ¢ (2), ¯®«ã稬 äã-ªæ¨î '(x) - ¨«ãç訬 ®¡à §®¬ ¯à¨¡«¨¦ îéãî äã-ªæ¨î y(x) ¢ ¯à®áâà -á⢥ L2:

‹¨-¥©-® -¥§ ¢¨á¨¬ãî á¨á⥬ã äã-ªæ¨© ¬®¦-® ®à⮣®- «¨§¨à®¢ âì. •ãáâì äã-ª- 樨 'k(x) 㦥 ®¡à §ãîâ ®àâ®-®à¬¨à®¢ --ãî á¨á⥬ã, â.¥. ('k; 'm) = km, £¤¥ km | б¨¬¢®« Šа®-¥ª¥а . ’®£¤ д®а¬г« (3) г¯а®й ¥вбп. Œл ¯®«гз ¥¬ б«¥¤гойго д®а- ¬г«г 㤮¡-го ¤«п ¢лз¨б«¥-¨©:

Š®íää¨æ¨¥-âë, ®¯à¥¤¥«¥--ë¥ ä®à¬ã«®© (4), ¥áâì ª®íää¨æ¨¥-âë ”ãàì¥. ’ ª çâ® - ¨«ãç訥 ¯à¨¡«¨¦¥-¨ï | ¥áâì ®â१®ª ®¡®¡é¥--®£® àï¤ ”ãàì¥. Œ®¦-® ¯®ª - § âì, çâ® ¥á«¨ äã-ªæ¨¨ 'k(x) ®¡à §ãîâ ¯®«-ãî ®àâ®-®à¬¨à®¢ --ãî á¨á⥬ã, â® ¯à¨ n ! 1 -®à¬ ¯®£à¥è-®á⨠-¥®£à -¨ç¥--® ã¡ë¢ ¥â. ’.¥. - ¨«ãç訥 ¯à¨¡«¨¦¥-¨ï á।-¥ª¢ ¤à â¨ç-® á室ïâáï ª y(x) ¨ ¢®§¬®¦- ¯¯à®ªá¨¬ æ¨ï á «î¡®© â®ç-®áâìî.

11.2.„¨áªà¥â-ë© ¬¥â®¤ - ¨¬¥-ìè¨å ª¢ ¤à ⮢. ‚§¢¥è¥-- -ë© ¬¥â®¤ - ¨¬¥-ìè¨å ª¢ ¤à ⮢.

£¤¥ i > 0 | ¢¥á®¢ë¥ ª®íää¨æ¨¥-âë, N | ¯®«-®¥ ç¨á«® 㧫®¢ â ¡«¨æë.

„«ï à áᬮâà¥--®£® á«ãç ï ãá«®¢¨ï - ¨«ãç襣® á।-¥ª¢ ¤à â¨ç-®£® ¯à¨¡«¨¦¥- -¨ï äã-ªæ¨¨ '(x) ª äã-ªæ¨¨ y(x) ¯à¨-¨¬ ¥â ¢¨¤:

k=1

á ç¨á«®¬ ç«¥-®¢ n N:

46

’®£¤ ª®íää¨æ¨¥-âë ¯¯à®ªá¨¬ 樨 ak - 室ïâáï ¨§ á¨á⥬ë (3), £¤¥ ᪠«ïà-®¥ ¯à®¨§¢¥¤¥-¨¥ - ¤® ¡à âì ᮣ« á-® ä®à¬ã«¥ (5): •â¨ ãà ¢-¥-¨ï ¬®¦-® ¯®«ãç¨âì ¨ -¥¯®á।á⢥--® ¯®¤áâ ¢«ïï (7) ¢ (6) ¨ ¯à¨à ¢-¨¢ ï -ã«î ¯à®¨§¢®¤-ë¥ ¯® ª®íää¨- 樥-â ¬.

Ž¯¨á --ë© á¯®á®¡ ¯¯à®ªá¨¬ 樨 - §ë¢ ¥âáï ¬¥â®¤®¬ - ¨¬¥-ìè¨å ª¢ ¤à ⮢. •à¨ç¥¬, ¥á«¨ i ⮦¤¥á⢥--® -¥ à ¢-ë ¥¤¨-¨æ¥, â® ¨¬¥¥¬ ¢§¢¥è¥--ë© ¬¥â®¤ - ¨- ¬¥-ìè¨å ª¢ ¤à ⮢.

Œ¥â®¤ - ¨¬¥-ìè¨å ª¢ ¤à ⮢ è¨à®ª® ¨á¯®«ì§ãîâ ¤«ï ®¡à ¡®âª¨ íªá¯¥à¨¬¥-- â «ì-ëå ªà¨¢ëå, â®çª¨ ª®â®àëå ¨§¬¥à¥-ë á § ¬¥â-®© ¯®£à¥è-®áâìî ": ‚ í⮬

á«ãç ¥ ¢¥áã i ¯à¨¤ îâ á¬ëá« â®ç-®á⨠¨§¬¥à¥-¨ï ¤ --®© â®çª¨. —¥¬ ¢ëè¥ â®ç- -®áâì, ⥬ ¡®«ì襥 §- ç¥-¨¥ ¢¥á ¯à¨¯¨áë¢ îâ â®çª¥. Ž¡ëç-® ¯®« £ îâ i = ",i 2:

€¯¯à®ªá¨¬¨àãîé ï ªà¨¢ ï ¡ã¤¥â ¯à®å®¤¨âì ¡«¨¦¥ ª â®çª ¬ á ¡®«ì訬 ¢¥á®¬ (á室- -ë¥ á®®¡à ¦¥-¨ï ¨á¯®«ì§ãîâ ¨ ¢ á«ãç ¥, ª®£¤ y(x) § ¤ - - «¨â¨ç¥áª¨. ‚¥á®¢ãî äã-ªæ¨î (x) ¢ë¡¨à îâ â ª, çâ® ®- ¯à¨-¨¬ ¥â ¡®«ì訥 §- ç¥-¨ï ¯à¨ â¥å §- ç¥- -¨ïå x, £¤¥ -ã¦-® ¯®«ãç¨âì ¡®«¥¥ ¢ë᮪ãî «®ª «ì-ãî â®ç-®áâì ¯¯à®ªá¨¬ 樨.

…᫨ ç¨á«® ª®íää¨æ¨¥-⮢ ¯¯à®ªá¨¬ 樨 n ¢§ïâì à ¢-ë¬ ç¨á«ã 㧫®¢ N, â® á।-¥ª¢ ¤à â¨ç- ï ¯¯à®ªá¨¬ æ¨ï ᮢ¯ ¤ ¥â á ¨-â¥à¯®«ï樥©. Žç¥¢¨¤-®, çâ® ¯à¨ - «¨ç¨¨ §- ç¨â¥«ì-ëå ®è¨¡®ª íªá¯¥à¨¬¥-â ¨-â¥à¯®«ïæ¨ï -¥à §ã¬- . •®à®è¥¥ ᣫ - ¦¨¢ -¨¥ ®è¨¡®ª ¡ã¤¥â n N: •® ¥á«¨ n ᫨誮¬ ¬ «®, â® ¤«ï ®¯¨á -¨ï á«®¦-®© ªà¨¢®© ª®íää¨æ¨¥-⮢ y ¯¯à®ªá¨¬¨àãî饩 äã-ªæ¨¨ ¬®¦¥â -¥ å¢ â¨âì. Ž¯â¨¬ «ì- -®¥ ç¨á«® ª®íää¨æ¨¥-⮢, § ¢¨áï饥 ®â ¯¯à®ªá¨¬¨à㥬®© äã-ªæ¨¨ y(x), ç¨á« ã§- «®¢ N ¨ ¨å à ᯮ«®¦¥-¨ï, ¢¥á®¢ ¨ ®â ¢ë¡à --®© á¨á⥬ë äã-ªæ¨© '(x), ®¯à¥¤¥«ïîâ á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬: ¢ë¡¨à îâ -¥ª®â®à®¥ n ¨ - 室ïâ ¨§ ãá«®¢¨ï (6) ª®íää¨æ¨¥-â ak(k = 1 : : : n): ‡ ⥬ ¢ëç¨á«ïîâ ¯®«ãç ¥¬ë¥ ¯à¨ í⮬ á।-¥ª¢ ¤à â¨ç-ë¥ ®âª«®-

ˆ - ª®-¥æ áà ¢-¨¢ ¥¬ n á ¨§¢¥áâ-®© ¯®£à¥è-®áâìî íªá¯¥à¨¬¥-â ":

…᫨ n ", â® ¬ ⥬ â¨ç¥áª ï ¯®£à¥è-®áâì ¯¯à®ªá¨¬ 樨 ¬-®£® ¡®«ìè¥ ä¨- §¨ç¥áª®© ¯®£à¥è-®á⨠¨á室-ëå ¤ --ëå. ‚ í⮬ á«ãç ¥ ç¨á«® ª®íää¨æ¨¥-⮢ -¥ ¤®áâ â®ç-® ¤«ï ®¯¨á -¨ï äã-ªæ¨¨ y(x) ¨ - ¤® 㢥«¨ç¨âì n.

…᫨ n ", â® áâ à訥 ª®íää¨æ¨¥-âë ¯¯à®ªá¨¬ 樨 䨧¨ç¥áª¨ -¥¤®á⮢¥à-ë ¨ - ¤® 㬥-ìè¨âì n.

…᫨ n ", â® ç¨á«® ª®íää¨æ¨¥-⮢ ¯¯à®ªá¨¬ 樨 ®¯â¨¬ «ì-®.

• ¯à ªâ¨ª¥ - ¨¡®«¥¥ 㯮âॡ¨â¥«ì-묨 á«ãç ﬨ ¢ë¡®à á¨á⥬ë äã-ªæ¨©

11.3.€¯¯à®ªá¨¬ æ¨ï äã-ªæ¨© á ¯®¬®éìî ¨-â¥£à «ì-®£® ¬¥â®¤ - ¨¬¥-ìè¨å ª¢ ¤à ⮢

…᫨ âॡã¥âáï ¯¯à®ªá¨¬¨à®¢ âì - ®â१ª¥ [a; b] y(x), § ¤ --ãî - «¨â¨ç¥- ᪨, ¡®«¥¥ ¯à®á⮩ äã-ªæ¨¥© '(x), â® - ¨«ãç襥 ¯à¨¡«¨¦¥-¨¥ ¬®¦-® - ©â¨ ¨-- â¥£à «ì-ë¬ ¬¥â®¤®¬ - ¨¬¥-ìè¨å ª¢ ¤à ⮢, ᮣ« á-® ª®â®à®¬ã ¨á室- ï § ¤ ç

47

§ ¯¨áë¢ ¥âáï á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬:

• áᬮâਬ § ¤ çã (9), ®â«¨ç-ãî ®â § ¤ ç¨ (10) ¯® áãé¥áâ¢ã ⥬, çâ® ¢¬¥áâ®

¢¥á (x) ¨á¯®«ì§ã¥âáï ¤à㣮© ¢¥á Q2m(x) . ‡ ¤ çã (9) ¡ã¤¥¬ à¥è âì ¨â¥à 樮--ë¬ ¬¥â®¤®¬. ‚ëç¨á«¥-¨ï ®à£ -¨§ã¥¬ ¯® á«¥¤ãî騬 ä®à¬ã« ¬:

’®£¤ - ª ¦¤®© ¨â¥à 樨 ¢¥á ¨§¢¥áâ¥- ¯® ¯à¥¤ë¤ã饩 ¨â¥à 樨, ¯®í⮬㠪®íää¨- 樥-âë a(ks) ¨ b(ks) «¥£ª® - 室ïâáï ¨§ ãá«®¢¨ï ¬¨-¨¬ã¬ ª¢ ¤à â¨ç-®© ä®à¬ë, ¯à¨

н⮬ ®в «¥¢®© з бв¨ (11) ¡¥агвбп ¯а®¨§¢®¤-л¥ ¯® ak ¨ bk ¨ ¯à¨à ¢-¨¢ îâáï -ã«î. ‚ १ã«ìâ ⥠¯®«ãç ¥¬ á¨á⥬㠫¨-¥©-ëå ãà ¢-¥-¨©, ¨§ ª®â®à®© - 室ïâáï a(ks) ¨ b(ks).

Žâ¬¥â¨¬, çâ® à 樮- «ì-묨 äã-ªæ¨ï¬¨ ¯à¨ -¥¡®«ì讬 ç¨á«¥ ª®íää¨æ¨¥-⮢ ¬®¦-® 㤮¢«¥â¢®à¨â¥«ì-® ¯¯à®ªá¨¬¨à®¢ âì äã-ªæ¨¨ á à §àë¢ ¬¨ ¯à®¨§¢®¤-®© (⨯ y(x) = jxj), ª®â®àë¥ ¯«®å® ¯®¤¤ îâáï ¯¯à®ªá¨¬ 樨 ¤à㣨¬¨ ᯮᮡ ¬¨.

48

12. —¨á«¥--®¥ ¤¨ää¥à¥-æ¨à®¢ -¨¥.

12.1.‡ ¤ ç ç¨á«¥--®£® ¤¨ää¥à¥-æ¨à®¢ -¨ï. •®áâ஥-¨¥ ä®à¬ã« ç¨á«¥--®£® ¤¨ää¥à¥-æ¨à®¢ -¨ï - ®á-®¢¥ ¨-- â¥à¯®«ï樮--ëå ¬-®£®ç«¥-®¢.

—¨á«¥--®¥ ¤¨ää¥à¥-æ¨à®¢ -¨¥ ¯à¨¬¥-ï¥âáï ⮣¤ , ª®£¤ y(x), ¤«ï ª®â®à®© -ã¦- -® - ©â¨ ¯à®¨§¢®¤-ãî, § ¤ - â ¡«¨ç-® ¨«¨ ¦¥ ¨¬¥¥â ®ç¥-ì á«®¦-®¥ - «¨â¨ç¥- ᪮¥ ¢ëà ¦¥-¨¥, ¢ í⮬ á«ãç ¥ y(x) ¯¯à®ªá¨¬¨àãîâ «¥£ª® ¢ëç¨á«ï¥¬®© äã-ªæ¨¥©

'(x; a), £¤¥ a = (a1; : : : ; an)

‡ ⥬ ¯®« £ îâ y(k)(x) '(k)(x; a).

•à¨ í⮬ ¬®¦-® ¨á¯®«ì§®¢ âì à §«¨ç-ë¥ á¯®á®¡ë ¯¯à®ªá¨¬ 樨. • áᬮâਬ á«ã- ç ©, ª®£¤ '(x; a) ¯à¥¤áâ ¢«ïîâ ᮡ®© ¨-â¥à¯®«ï樮--ë© ¬-®£®ç«¥-.

Œ®¦¥¬ § ¯¨á âì y(x) = '(x; a)+R(x), £¤¥ R(x) { ®áâ â®ç-ë© ç«¥- ¨-â¥à¯®«ï樮--®© ä®à¬ã«ë.

„¨ää¥à¥-æ¨àãï ¯®á«¥¤-¥¥ à ¢¥-á⢮ k à §, ¢ ¯à¥¤¯®«®¦¥-¨¨, çâ® y(x) ¨ '(x; a) ¨¬¥îâ -¥¯à¥àë¢-ë¥ ¯à®¨§¢®¤-ë¥ k -£® ¯®à浪 , ¯®«ã稬:

y(k)(x) = '(k)(x; a) + R(k)(x)

’.ª. § k -ãî ¯à®¨§¢®¤-ãî äã-ªæ¨¨ y ¯à¨-¨¬ îâ k -ãî ¯à®¨§¢®¤-ãî äã-ªæ¨¨ '(x; a), â® R(k)(x) ¡г¤¥в п¢«пвмбп ¯®£а¥и-®бвмо з¨б«¥--®£® ¤¨дд¥а¥-ж¨а®¢ -¨п. •а¨ § ¬¥-¥ y(x) ¨-в¥£а¨агой¥© дг-ªж¨¥© '(x; a) ¯а¥¤¯®« £ ¥вбп, зв® R(x) п¢«п¥в- бп ¬ «®© ¢¥«¨з¨-®©, -® ¨§ нв®£® -¥ б«¥¤г¥в, зв® R(k)(x) ï¥âáï ¬ «®©, â.ª. ¯à®¨§- ¢®¤-ë¥ ®â ¬ «®© äã-ªæ¨¨ ¬®£ãâ ¡ëâì ¢¥áì¬ ¢¥«¨ª¨. •à ªâ¨ª ¯®ª §ë¢ ¥â, çâ® ¯à¨ ¢ëç¨á«¥-¨¨ ¯à®¨§¢®¤-®© y(x) á ¯®¬®éìî ¨-â¥à¯®«ï樮--ëå ¬-®£®ç«¥-®¢, ¯®«ãç ¥â- áï áà ¢-¨â¥«ì-® ¡®«ìè ï ¯®£à¥è-®áâì, ®á®¡¥--® ¯à¨ ¢ëç¨á«¥-¨¨ ¯à®¨§¢®¤-ëå ¢ëá- è¨å ¯®à浪®¢. •à ªâ¨ç¥áª¨, ç¨á«¥--ë¬ ¤¨ää¥à¥-æ¨à®¢ -¨¥¬ ¬®¦-® å®à®è® ®¯à¥- ¤¥«¨âì ¯¥à¢ãî ¨ ¢â®àãî ¯à®¨§¢®¤-ãî, âà¥âìî ¨ ç¥â¢¥àâãî «¨èì 㤮¢«¥â¢®à¨- ⥫ì-®. •à®¨§¢®¤-ë¥ ¡®«¥¥ ¢ë᮪®£® ¯®à浪 ।ª® ¬®¦-® ¢ëç¨á«¨âì á ¯à¨¥¬«¥¬®© â®ç-®áâìî.

12.2.”®à¬ã«ë ç¨á«¥--®£® ¤¨ää¥à¥-æ¨à®¢ -¨ï - à ¢-®- ¬¥à-ëå á¥âª å.

— й¥ ¢б¥£®, ¯а¨ з¨б«¥--®¬ ¤¨дд¥а¥-ж¨а®¢ -¨¨ ¨б¯®«м§говбп а ¢-®¬¥а-л¥ б¥в- ª¨, ¤«п ª®в®але д®а¬г«л § ¯¨бл¢ овбп §- з¨в¥«м-® ¯а®й¥, в®з-®бвм -¥а¥¤ª® бгй¥бв¢¥--® ¯®¢ли ¥вбп. …б«¨ б¥вª а ¢-®¬¥а- , в® ª ¦¤л© ¥¥ г§¥« б¨¬¬¥ва¨з-® ®ªаг¦¥- б®б¥¤-¨¬¨ 㧫 ¬¨. •в® ¯®§¢®«п¥в б®бв ¢«пвм -¥б«®¦-л¥ д®а¬г«л е®а®и¥© в®з-®бв¨ ¤«п ¢лз¨б«¥-¨п ¯а®¨§¢®¤-ле ¢ 㧫 е б¥вª¨.

‚®§ì¬¥¬, - ¯à¨¬¥à, âਠá®á¥¤-¨å 㧫 : xi,1; xi; xx+1, ⮣¤ ¬®¦¥¬ § ¯¨á âì, çâ®

49

‡ ¬¥â¨¬, çâ® (1) ï¥âáï ᨬ¬¥âà¨ç-®©. ‚ à拉 á«ãç ¥¢ ¢ë-㦤¥-ë ¨á¯®«ì- §®¢ âì ¤«ï ¢ëç¨á«¥-¨ï y0 ®¤-®áâ®à®--¨¥ ä®à¬ã«ë, ª®â®àë¥ ¨¬¥îâ ¡®«¥¥ -¨§ªãî

•®¤áâ ¢«ïï (4) ¨ (5) ¢ (3), ¯®«ãç ¥¬ (2). €- «®£¨ç-ë¬ ®¡à §®¬ ¬®£ãâ ¡ëâì ¯®- áâ஥-ë ä®à¬ã«ë ç¨á«¥--®£® ¤¨ää¥à¥-æ¨à®¢ -¨ï ¤«ï ¯à®¨§¢®¤-ëå ¡®«¥¥ ¢ë᮪®£® ¯®à浪 . Žâ¬¥â¨¬, çâ® ¬®¦-® ¯®áâநâì ä®à¬ã«ë ç¨á«¥--®£® ¤¨ää¥à¥-æ¨à®¢ -¨ï ¡®«¥¥ â®ç-ë¥, 祬 ¯à¨¢¥¤¥--ë¥ ¢ëè¥, -® ¤«ï í⮣® á«¥¤ã¥â § ¤¥©á⢮¢ âì ¡®«ì襥 ª®«¨ç¥á⢮ 㧫®¢.

‘«¥¤ã¥â ¯®¬-¨âì, çâ® ¯®áâ஥--ë¥ ä®à¬ã«ë á¯à ¢¥¤«¨¢ë ¤«ï à ¢-®¬¥à-ëå á¥- ⮪. •à¨¬¥-¥-¨¥ ¨å ¤«ï ¯à®¨§¢®«ì-ëå á¥â®ª ¯à¨¢®¤¨â ª ¯®-¨¦¥-¨î â®ç-®á⨠¤® O(h) ¤«ï ¯¥à¢®© ¯à®¨§¢®¤-®© ¨ ª £àã¡®© ®è¨¡ª¥ ¤«ï ¢â®à®© ¯à®¨§¢®¤-®©. • à ¢- -®¬¥à-®© á¥âª¥ ¤«ï ¯®«ãç¥-¨ï ®æ¥-ª¨ â®ç-®á⨠ä®à¬ã« 㤮¡-® ¯à¨¬¥-ïâì ᯮᮡ, ®á-®¢ --ë© - à §«®¦¥-¨¨ ¢ àï¤ë ’¥©«®à . •à¥¤¯®«®¦¨¬, - ¯à¨¬¥à, çâ® äã-ªæ¨ï y(x) -¥¯à¥àë¢- ¢¬¥á⥠ᮠ᢮¨¬¨ ¯à®¨§¢®¤-묨 ¤® ç¥â¢¥à⮣® ¯®à浪 ¢ª«îç¨- ⥫ì-®. ‚ëà §¨¬ §- ç¥-¨¥ äã-ªæ¨¨ ¢ 㧫 å xi+1 ¨ xi,1 ç¥à¥§ §- ç¥-¨¥ äã-ªæ¨¨ ¨ ¥¥ ¯à®¨§¢®¤-ëå ¢ æ¥-âॠᨬ¬¥âਨ (¢ ¤ --®¬ á«ãç ¥ æ¥-â஬ ᨬ¬¥âਨ ï¥âáï 㧥« xi). •ã¤¥¬ ¨¬¥âì:

•®¤áâ ¢¨¬ ¯®«ãç¥--ë¥ ¢ëà ¦¥-¨ï ¤«ï yi+1 ¨ yi,1 ¢ ä®à¬ã«ë (1) ¨ (2). ‚® ¢â®à®¬ á«ãç ¥ ¯®«ã稬:

50