Лекции по ЧМ
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çâ® ¨ ¤®«¦-® ¡ëâì ¯® ãá«®¢¨î ¯®áâ஥-¨ï Ln(x). ’.®. ¯®áâ஥--ë© ¨-â¥à¯®«ï樮-- -ë© ¯®«¨-®¬ ¨¬¥¥â ¢¨¤:
n |
|
(x , x0)(x , x1) : : : (x , xn) |
|
||||||
Ln(x) = |
yk |
(11) |
|||||||
X |
|
(xk |
, |
x0)(xk |
, |
x1) : : : (xk |
, |
xn) |
|
k=0 |
|
|
|
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|
(11){ ¨-â¥à¯®«ï樮--ë© ¬-®£®ç«¥- ‹ £à -¦ .
•áᬮâਬ !n+1(x) = (x,x0)(x,x1) : : : (x,xn). ‚®§ì¬¥¬ ¯à®¨§¢®¤-ãî !n0 +1(x) = Pnk=0(x,x0)(x,x1) : : : (x,xk,1)(x,xk+1) : : : (x,xn). ‚ ¯®á«¥¤-¥¥ à ¢¥-á⢮ ¯®¤áâ ¢¨¬ x = xk: !n0 +1(xk) = (xk , x0)(xk , x1) : : : (xk , xn), в.ª. ¢б¥ ®бв «м-л¥ б« £ ¥¬л¥ ®¡а впвбп ¢ -г«м, ¢ а¥§г«мв в¥ ¨-в¥а¯®«пж¨®--л© ¬-®£®з«¥- ‹ £а -¦ ¬®¦¥в ¡лвм
§ ¯¨á -: |
|
n |
|
yk |
|
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|||
|
Ln(x) = !n+1(x) |
X |
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(12) |
||
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!0 |
(x |
)(x |
, |
x ) |
|||
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||||
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k=0 |
n+1 |
k |
|
|
k |
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’¥¯¥àì áç¨â ¥¬, çâ® y(x) Ln(x)
•à¨¬¥à 13. „«ï äã-ªæ¨¨ y = sin x ¯®áâநâì ¨-â¥à¯®«ï樮--ë© ¬-®£®ç«¥- ‹ -
£à -¦ , ¢ë¡à ¢ ã§«ë ¨-â¥à¯®«ï樨 x0 = 0; |
x1 = 1=6; |
x2 = 1=2; y0 = 0; |
y1 = |
|||||||||||
1=2; |
y2 = 1 |
|
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L2 |
(x) = (x |
, 1=6)(x , 1=2) |
|
0 + |
|
(x , 0)(x , 1=2) |
|
1 |
+ |
(x |
, 0)(x , 1=6) |
|
1 |
|
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||||||||||||
|
(0 |
, 1=6)(0 , 1=2) |
|
(1=6 , 0)(1=6 |
, 1=2) |
2 |
|
(1=2 |
, 0)(1=2 , 1=6) |
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||||
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7 |
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L2(x) = 2x , 3x2 |
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||
•à¨¬¥à 14.
xy
321,0 2,50651
322,8 2,50893
324,2 2,501081
325,0 2,50188
y(323; 5),?
•®«®¦¨¬ n = 3 ¨ x = 323; 5, ⮣¤ , áç¨â ï x0 = 321; 0 y0 = 2; 50651 ¨ â.¤. ¯® ä®à¬ã«¥ ‹ £à -¦
y(323; 5) = (323; 5 , 322; 8)(323; 5 , 324; 2)(323; 5 , 325; 0) 2; 50651 + ¨ â.¤. (321 , 322; 8)(321 , 324; 2)(321 , 325)
=2; 50987
7.1.•®£à¥è-®áâì ¨-â¥à¯®«ï樮--®£® ¬-®£®ç«¥- ‹ £à --
¦.
€¯¯à®ªá¨¬¨à㥬 äã-ªæ¨î y(x), § ¤ --ãî â ¡«¨ç-®, ¨-â¥à¯®«¨à㥬 ¬-®£®ç«¥- -®¬ ‹ £à -¦ ¨ ®æ¥-¨¬ ¯®£à¥è-®áâì ¨-â¥à¯®«ï樨 ¢ ¯à®¨§¢®«ì-®© â®çª¥ x, â.¥. ®æ¥-¨¬ ¢¥«¨ç¨-ã: jy(x) , Ln(x)j.
31
‚¢¥¤¥¬ ¢ à áᬮâà¥-¨¥ äã-ªæ¨î |
|
U(x) = y(x) , Ln(x) , k!n+1(x) |
(1) |
£¤¥ !n+1(x) = (x , x0)(x , x1) : : : (x , xn), £¤¥ x0; : : : ; xn { ã§«ë ¨-â¥à¯®«ï樨; k = const
•ã¤¥¬ ¯®« £ âì, çâ® äã-ªæ¨ï y(x) ¨¬¥¥â n + 1 -¥¯à¥àë¢-ëå ¯à®¨§¢®¤-ëå.
• áᬮâਬ -¥ª®â®àãî â®çªã x, ¢ ª®â®à®© ®æ¥-¨¢ ¥âáï ¯®£à¥è-®áâì. const k
¯®¤¡¥à¥¬ ¨§ ãá«®¢¨ï: U(x) = 0. • 室¨¬ |
|
|
k = |
y(x) , Ln(x) |
(2) |
|
!n+1(x) |
|
•®áâ஥-- ï â ª¨¬ ®¡à §®¬ äã-ªæ¨ï U(x) ¡ã¤¥â ®¡à é âìáï ¢ -ã«ì ¢ n + 2 â®ç- ª å, ¨¬¥--®, ¢ â®çª å x0; : : : ; xn; x, â.ª. ¢ â®çª å x0; : : : ; xn äã-ªæ¨ï !n+1(x) ®¡à -
é¥âáï ¢ -ã«ì ¨ y(xi) = Ln(xi); i = 0; : : : ; n (ãá«®¢¨ï ¨-â¥à¯®«ï樨).
•®á-®¢ -¨¨ â¥®à¥¬ë •®««ï (¬¥¦¤ã ¤¢ã¬ï -ã«ï¬¨ äã-ªæ¨¨ ᮤ¥à¦¨âáï -ã«ì ¥¥
¯à®¨§¢®¤-®©) ¬®¦¥¬ ã⢥ত âì, çâ® äã-ªæ¨ï U0(x) ®¡à é ¥âáï ¢ -ã«ì ¯® ¬¥-ì襩 ¬¥à¥ ¢ n + 1 â®çª å, -® ⮣¤ - ®á-®¢ -¨¨ ⮩ ¦¥ ⥮६ë äã-ªæ¨ï U00(x) ¡ã¤¥â
®¡à é âìáï ¡ã¤¥â ®¡à é âìáï ¢ -ã«ì ¢ n â®çª å. •à®¤®«¦ ï à áá㦤¥-¨ï - «®£¨ç- -®, ¯à¨å®¤¨¬ ª ⮬ã, çâ® Un+1(x) ®¡à é ¥âáï ¢ -ã«ì ¯® ¬¥-ì襩 ¬¥à¥ ¢ ®¤-®© â®çª¥
:
|
Un+1( ) = 0; ¯à¨ç¥¬ 2 [z1; z2] |
£¤¥ |
z1 = minfx0; x1; : : : ; xn; xg |
|
z2 = maxfx0; x1; : : : ; xn; xg |
|
• ©¤¥¬ n + 1 ¯à®¨§¢®¤-ãî äã-ªæ¨¨ U(x). ˆ§ (1) ¯®«ã稬: |
U(n+1)(x) = y(n+1)(x) , L(nn+1)(x) , k!n(n+1+1)
!n(n+1+1) = (n + 1)!; L(nn+1)(x) = 0 ‚ १ã«ìâ â¥, ¯®¤áâ ¢«ïï ¢ (3) x = , ¯®«ã稬
y(n+1)( )
k = (n + 1)!
‘à ¢-¨¢ ï (2) ¨ (4), - 室¨¬:
(3)
(4)
y(n+1)( )
y(x) , Ln(x) = (n + 1)! !n+1(x)
•® â®çª x ¢ë¡à - ¯à®¨§¢®«ì-®, ¯®í⮬㠯®á«¥¤-îî ä®à¬ã«ã ¬®¦-® § ¯¨á âì â ª: jy(x) , Ln(x)j = jy((nn+1)+ 1)!( )j j!n+1(x)j
-® § ¢¨á¨â ®â x. ‚¢¥¤¥¬ ¢ à áᬮâà¥-¨¥ ¢¥«¨ç¨-ã:
Mn+1 = max jy(n+1)( )j
[z1;z2]
Mn+1 |
j!n+1(x)j |
|
jy(x) , Ln(x)j (n + 1)! |
(5) |
‘ ¯®¬®éìî (5) ¯à®¨§¢®¤¨âáï ®æ¥-ª ¯®£à¥è-®á⨠¨-â¥à¯®«ï樮--®£® ¬-®£®ç«¥- ‹ £à -¦ .
32
•à¨¬¥à 15. ‘ ª ª®© â®ç-®áâìî ¬®¦-® ¢ëç¨á«¨âì p |
|
á ¯®¬®éìî ¨-â¥à¯®«ï- |
|||||||||||||||||||
115 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
¤«ï äã-ªæ¨¨ y = p |
|
, ã§«ë ¨-â¥à¯®«ï樨: x1 = |
||||||||||||||
樮--®£® ¬-®£®ç«¥- ‹ £à -¦ |
x |
||||||||||||||||||||
100; x2 = 121; x3 = 144 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
3 |
|
3 |
|
5 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
y0 = 2x,2 ; y00 |
= ,4x,2 |
; y000 |
= 8x,2 |
|
|
(n = 2) |
|||||||||||||
Žâáî¤ , |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
1 |
|
|
|
310,5 |
|||||||
|
|
M3 |
= |
max |
y000 |
|
|
= |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
j 8 p1005 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
100 x 144 j |
|
|
|
|
8 |
|
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|||||||||
• ®á-®¢ -¨¨ (5) ¯®«ãç ¥¬: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
3 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
jp115 , L2(115)j 8 |
10,5 |
|
j(115 , 100)(115 , 121)(115 , 144)j 1; 6 10,3 |
||||||||||||||||||
3! |
|||||||||||||||||||||
8. ˆ-â¥à¯®«ï樮--ë© ¬-®£®ç«¥- •ìîâ®- .
8.1. • §¤¥«¥--ë¥ à §-®á⨠(••).
• áᬮâਬ äã-ªæ¨î y(x), § ¤ --ãî â ¡«¨ç-®: Ž¯à¥¤¥«¨¬ à §¤¥«¥--ë¥ à §-®- á⨠í⮩ äã-ªæ¨¨ ¯à¨ ¯®¬®é¨ á®®â-®è¥-¨©:
y(xi; xs) = y(xi) , y(xj) |
y(xi; xs; xm) = y(xi; xj) , y(xj; xm) |
|
xi , xj |
|
xi , xm |
|
|
(1) |
y(xi; xs; xm; xk) = y(xi; xj; xm) , y(xj; xm; xk) |
¨ â.¤. |
|
|
xi , xk |
|
‡¤¥áì ¯à¨¢¥¤¥-ë •• I,II,III ¯®à浪 . |
|
|
• §¤¥«¥--ë¥ à §-®á⨠«î¡®£® ¯®à浪 ¬®¦-® -¥¯®á।á⢥--® ¢ëà ¦ âì ç¥à¥§ |
||
㧫®¢ë¥ §- ç¥-¨ï äã-ªæ¨©, ®¤- ª®, ¢ëç¨á«¨âì íâ¨ à §-®á⨠㤮¡-¥¥ ¯® ä®à¬ã« ¬
(1). — á⮠㤮¡-® á®áâ ¢¨âì â ¡«¨æã ••:
x0 |
y(x0) |
|
|
|
|
|
x1 |
y(x1) y(x0; x1) |
|
|
|
||
x2 |
y(x2) y(x1; x2) y(x0; x1; x2) |
|
|
|||
x3 |
y(x3) y(x2; x3) y(x1; x2; x3) y(x0; x1; x2; x3) : : : |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
8.2. ˆ-â¥à¯®«ï樮--ë© ¬-®£®ç«¥- •ìîâ®- . |
|
|||||
•ãáâì ¤ -ë n+1 à §«¨ç-ëå §- ç¥-¨© |
à£ã¬¥-â |
x0; : : : ; xn ¨ ¨§¢¥áâ-ë y(xi); i = |
||||
0; : : : ; n. •®áâந¬ ¨-â¥à¯®«ï樮--ë© ¬-®£®ç«¥- á⥯¥-¨ n: |
|
|||||
|
|
n |
|
|
|
|
|
Pn(x) = |
X |
akxk : Pn(xi) = yi; i = 0; : : : ; n |
|
||
|
|
k=0 |
|
|
|
|
Œ-®£®ç«¥- Pn(x) ¢á¥£¤ áãé¥áâ¢ã¥â ¨ ¥¤¨-á⢥-¥-. •®«ã稬 ï¢-®¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥-¨¥ ¨-â¥à¯®«ï樮--®£® ¬-®£®ç«¥- Pn(x). •à¥¦¤¥ ¢á¥£® à áᬮâਬ, çâ® ¯à¥¤áâ ¢«ïîâ
33
ᮡ®© •• í⮣® ¬-®£®ç«¥- :
¢ëç¨â ï ¨§ Pn(x) ª®-áâ -âã Pn(x0), ¯®«ã稬 ¬-®£®ç«¥- n -®© á⥯¥-¨: Pn(x),Pn(x0). ‚ â®çª¥ x0 íâ®â ¬-®£®ç«¥- ®¡à é ¥âáï ¢ -ã«ì, §- ç¨â íâ®â ¬-®£®ç«¥- ¤¥«¨âáï - 楫® - x , x0, á«¥¤®¢ ⥫ì-®, ¯¥à¢ ï •• ¬-®£®ç«¥- n -®© á⥯¥-¨:
Pn(x; x0) = |
Pn(x) , Pn(x0) ¥áâì ¬-®£®ç«¥- á⥯¥-¨ n |
, |
1 ®â-®á¨â¥«ì-® x |
|
x , x0 |
|
‚â®à ï ••:
Pn(x; x0; x1) = Pn(x; x0) , Pn(x0; x1) x , x1
‚¨¤¨¬, çâ® ç¨á«¨â¥«ì í⮩ à §-®á⨠®¡à é ¥âáï ¢ -ã«ì ¯à¨ x = x1, §- ç¨â, - æ¥- «® ¤¥«¨âáï - x,x1, ¯®í⮬㠢â®à ï •• ¥áâì ¬-®£®ç«¥- á⥯¥-¨ n ,2 ®â-®á¨â¥«ì-® x.
•à®¤®«¦ ï í⨠à áá㦤¥-¨ï ¬®¦-® ¯®ª § âì, çâ® n - ï à §-®áâì
Pn(x; x0; : : : ; xn,1) ¥áâì ¬-®£®ç«¥- -ã«¥¢®© á⥯¥-¨, â.¥. ¯®áâ®ï--ë¥ •• ¡®«¥¥ ¢ë᮪®© á⥯¥-¨ 0. •¥à¥¯¨è¥¬ (1) ¤«ï á«ãç ï, ª®£¤ äã-ªæ¨ï y(x) ¥áâì ¬-®£®ç«¥- Pn(x) ¨ ¯¥à¢ë© à£ã¬¥-â à ¢¥- x:
Pn(x) = Pn(x0) + (x , x0)Pn(x; x0)
Pn(x; x0) = Pn(x0; x1) + (x , x1)Pn(x; x0; x1)
•â 楯®çª á®®â-®è¥-¨© ª®-¥ç- , â.ª. n+1 -ï •• ¬-®£®ç«¥- 0. •®á«¥¤®¢ ⥫ì-® |
|
¯®¤áâ ¢«ïï í⨠ᮮâ-®è¥-¨ï ¤à㣠¢ ¤à㣠, ¯®«ã稬 ä®à¬ã«ã |
|
Pn(x) = Pn(x0) + (x , x0)Pn(x0; x1) + (x , x0)(x , x1) |
(2) |
Pn(x0; x1; x2) + : : : + (x , x0) : : : (x , xn,1)Pn(x0; : : : ; xn) |
|
•® ä®à¬ã«¥ (2) ¬-®£®ç«¥- n -© á⥯¥-¨ ¢ëà ¦ ¥âáï ¯à¨ ¯®¬®é¨ •• ç¥à¥§ ᢮¨ §- ç¥-¨ï ¢ 㧫 å ¨-â¥à¯®«ï樨 x0; : : : ; xn, -® §- ç¥-¨ï Pn(x) ¢ 㧫 å ¨-â¥à¯®«ï樨 ᮢ¯ ¤ îâ á® §- ç¥-¨ï¬¨ äã-ªæ¨¨ y(x). ‡- ç¨â, •• y(x) ¨ Pn(x) ᮢ¯ ¤ îâ, á«¥-
¤®¢ ⥫ì-® ¨§ ä®à¬ã«ë (2) ¯®«ãç ¥âáï ¢ëà ¦¥-¨¥ ¤«ï ¨-â¥à¯®«ï樨 ¬-®£®ç«¥- |
||||
•ìîâ®- : |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
Pn(x) = y(x0) + |
X |
(x , x0) : : : (x , xk,1)y(x0 |
; : : : ; xk) |
(3) |
|
k=1 |
|
|
|
y(x) Pn(x)
Žâ¬¥â¨¬, çâ® ¯à¨ ¢ëç¨á«¥-¨¨ y(x) ¯® ä®à¬ã«¥ (3) § â®ç-®áâìî à áç¥â 㤮¡-® á«¥¤¨âì ¢¨§ã «ì-®, ®æ¥-¨¢ ï ᪮à®áâì ã¡ë¢ -¨ï ¬-®£®ç«¥-®¢ ¢ á㬬¥ ¢ (3). …᫨ ®-¨ ã¡ë¢ îâ ¬¥¤«¥--®, â® - å®à®èãî â®ç-®áâì à ááç¨âë¢ âì -¥«ì§ï. …᫨ ã¡ë¢ îâ ¡ëáâà®, â® ®áâ ¢«ïîâ ⮫쪮 ⥠童-ë, ª®â®àë¥ ¡®«ìè¥ ¤®¯ãá⨬®© ¯®£à¥è-®áâ¨, ⥬ á ¬ë¬ ®¯à¥¤¥«ïîâ ç¨á«® 㧫®¢, ª®â®àë¥ âॡã¥âáï ¢ª«îç¨âì ¢ à áç¥â.
•à¨¬¥à 16. ‘ ¯®¬®éìî ¬-®£®ç«¥- •ìîâ®- ¢ëç¨á«¨âì sin x ¢ ¯¥à¢®¬ ª¢ ¤à -- â¥, ¨á¯®«ì§ãï 4 ¨§¢¥áâ-ëå §- ç¥-¨ï x.
•¥è¥-¨¥.
34
‘®áâ ¢¨¬ â ¡«¨æã á 4 -¬ï 㧫 ¬¨: y(x) = sin 300x
xi |
y(xi) y(xi; xi+1) y(xi; xi+1; xi+2) y(xi; xi+1; xi+2; xi+3) |
|||
0 |
0 |
|
|
|
1 |
0,5 |
0,5 |
|
|
2 |
0,866 |
0,366 |
-0,067 |
|
3 |
1 |
0,134 |
-0,116 |
-0,016 |
ˆá¯®«ì§ãï (3), ¢ëç¨á«¨âì, - ¯à¨¬¥à, y(1:5) = sin 450
y(1; 5) 0 + (1; 5 , 0)0; 5 + (1; 5 , 0)(1; 5 , 1)(,0; 067)+ +(1; 5 , 0)(1; 5 , 1)(1; 5 , 2)(,0; 016) = 0; 706
•®£à¥è-®áâì ¬-®£®ç«¥- •ìîâ®- ¬®¦-® ®æ¥-¨âì ¯® ⮩ ¦¥ ä®à¬ã«¥, çâ® ¨ ¤«ï ¨-â¥à¯®«ï樮--®£® ¬-®£®ç«¥- ‹ £à -¦ :
jy(x) , Pn(x)j Mn+1 j!n+1(x)j
(n + 1)!
9.Ž¡ ¨-â¥à¯®«ï樮--ëå ä®à¬ã« å ¨ ¨å ¯à¨¬¥- -¥-¨¨. ‘室¨¬®áâì ¨-â¥à¯®«ï樨.
Žв¬¥в¨¬, зв® ¥б«¨ г§«л ¨-в¥а¯®«пж¨¨ п¢«повбп а ¢-®бв®пй¨¬¨, в® д®а¬г«л ¤«п ®ж¥-ª¨ ¯®£а¥и-®бв¨ ¨-в¥а¯®«пж¨®--ле ¬-®£®з«¥-®¢ г¯а®й овбп. •а¨ ¨-в¥а¯®- «пж¨¨ - а ¢-®¬¥а-®© б¥вª¥ ¢л£®¤-® ¢л¡¨а вм 㧫л в ª, зв®¡л ¨бб«¥¤г¥¬ п в®зª x ¯®¯ ¤ « ¡«¨¦¥ ª ж¥-ваг нв®© ª®-д¨£га ж¨¨ 㧫®¢. •в® ®¡¥б¯¥з¨в ¡®«¥¥ ¢лб®- ªго в®з-®бвм. Žж¥-ª¨ ¯®£а¥и-®бв¨ ¨-в¥а¯®«пж¨®--ле ¬-®£®з«¥-®¢, ª®в®ал¥ ¬®¦- -® ¯а®¢¥бв¨ ¤® ¢лз¨б«¥-¨п ¬-®£®з«¥- , ¥бвм ¯а¨®а-л¥ ®ж¥-ª¨ в®з-®бв¨. €¯®бв¥а¨- ®а-®© ®ж¥-ª®© в®з-®бв¨ п¢«п¥вбп в , ª®в®а п ¤¥« ¥вбп ¯®б«¥ ¢лз¨б«¥-¨© ¯® ¯¥а¢®¬г ®в¡а®и¥--®¬г з«¥-г (®ж¥-ª ¯®б«¥ ®¯лв ).
• ¯а ªв¨ª¥ ®¡лз-® г¯®ва¥¡«пов ¬¥-¥¥ бва®£¨¬, -® ¡®«¥¥ 㤮¡-л¥ ¯®бв¥а¨®а- -л¥ ®ж¥-ª¨. Žв¬¥в¨¬, зв® ¤«п в ¡«¨ж б ¯®бв®п--л¬ и £®¬ з бв® ¢¢®¤пв в ª - §л- ¢ ¥¬л¥ ª®-¥з-л¥ а §-®бв¨, ª®в®ал¥ ¯а¨бгвбв¢гов ¢ ¨-в¥а¯®«пж¨®--ле д®а¬г« е б ¯®бв®п--л¬ и £®¬.
Š®-¥з-л¥ а §-®бв¨ ®¯а¥¤¥«повбп ¯® д®а¬г« ¬:
yi = yi+1 , yi
2yi = yi+1 , yi
•¥à¢ ï ä®à¬ã« ®¯à¥¤¥«ï¥â ª®-¥ç-ë¥ à §-®á⨠I ¯®à浪 , ¢â®à ï { II ¯®à浪 ¨ â.¤. ‘ãé¥áâ¢ã¥â á¢ï§ì ¬¥¦¤ã ª®-¥ç-묨 ¨ à §¤¥«¥--묨 à §-®áâﬨ:
nyi = hnn!y(xi; xi+1; : : : ; xi+n)
£¤¥ h { ¯®áâ®ï--ë© è £ ¨-â¥à¯®«ï樨. ‘ãé¥áâ¢ã¥â ¬-®£® à §«¨ç-ëå ä®à¬ ¤«ï § - ¯¨á¨ ¨-â¥à¯®«ï樮--ëå ¬-®£®ç«¥-®¢. •â® ä®à¬ã«ë •ìîâ®- , ƒ ãáá , ‘â¨à«¨-£ ,
•¥áᥫï, •¢¥à¥ââ , •à¬¨â ¨ ¤à.
ˆ-â¥à¯®«ïæ¨ï ¯à¨¬¥-ï¥âáï ¤«ï ¢ëç¨á«¥-¨ï ⠡㫨஢ --®© äã-ªæ¨¨ ¯à¨ «î¡®¬ §- ç¥-¨¨ à£ã¬¥-â (äã-ªæ¨ï § ¤ - â ¡«¨ç-®). •à¨ ¯®¬®é¨ •• ª®-â஫¨àã¥âáï
35
â®ç-®áâì â ¡«¨æë. •®¤®¡-ë© ª®-âà®«ì ¯®«¥§¥- ¨ ¯à¨ - «¨§¥ १ã«ìâ ⮢ ¨§¬¥à¥- -¨© ¢ 䨧¨ª¥ ¨ â¥å-¨ª¥. ˆ-â¥à¯®«ïæ¨î ¯à¨¬¥-ïîâ ¤«ï áã¡â ¡ã«¨à®¢ -¨ï { á£ãé¥-¨ï â ¡«¨æ, â ª¦¥ ¯à¨ ®¡à â-®© ¨-â¥à¯®«ï樨.
‡ ¤ 祩 ®¡à â-®© ¨-â¥à¯®«ï樨 - §ë¢ ¥âáï - 宦¤¥-¨¥ x ¤«ï ¯à®¨§¢®«ì-®£® y, ¥á«¨ § ¤ - â ¡«¨æ §- ç¥-¨© äã-ªæ¨¨ y(xi) = yi.
ˆ-â¥à¯®«ïæ¨ï ¨á¯®«ì§ã¥âáï ¨ ¯à¨ ¯®áâ஥-¨¨ à §«¨ç-ëå ç¨á«¥--ëå ¬¥â®¤®¢. …᫨ äã-ªæ¨ï y(x) ¡ëáâà® ¬¥-ï¥âáï, â® ¯à¨å®¤¨âáï ¯à¨¡¥£ âì ª -¥«¨-¥©-®© ¨--
в¥а¯®«пж¨¨, ¯а¨ н⮬ з бв® ¯®«м§говбп в ª - §л¢ ¥¬л¬ ¬¥в®¤®¬ ¢ла ¢-¨¢ -¨п. ‘гй¥бв¢г¥в ¨ ¬-®£®¬¥а- п ¨-в¥а¯®«пж¨п, ª®£¤ а бб¬ ва¨¢ ¥вбп дг-ªж¨п ®в -¥-
᪮«ìª¨å ¯¥à¥¬¥--ëå ¨ ¨¬¥¥âáï ¬-®£®¬¥à- ï â ¡«¨æ , ¯à¨ í⮬ á¯¥æ¨ «ì-ë¬ ®¡à - §®¬ áâà®ïâáï ¨-â¥à¯®«ï樮--ë¥ ¬-®£®ç«¥-ë.
• áᬮâਬ ¢®¯à®á ® á室¨¬®á⨠¨-â¥à¯®«ï樨.
‚¦-® ¢ëïá-¨âì, ¯à¨ ª ª¨å ãá«®¢¨ïå ¯®£à¥è-®áâì ¨-â¥à¯®«ï樮--®£® ¬-®£®ç«¥-
-á室¨âáï ª -ã«î, â.¥. ª®£¤ ¨ ª ª ¬-®£®ç«¥- á室¨âáï ª y(x).
‘ãé¥áâ¢ã¥â ¤¢ ᯮᮡ ¯¥à¥å®¤ ª ¯à¥¤¥«ã:
1)‘®á⮨⠢ ⮬, çâ® á®åà -пп бв¥¯¥-м ¬-®£®з«¥- , г¬¥-ми¨вм и £ б¥вª¨, в.¥. ¯®«м§говбп ¡®«¥¥ ¯®¤а®¡-®© в ¡«¨ж¥©.
2)‘®á⮨⠢ ⮬, çâ® á®åà -ïï è £ á¥âª¨, 㢥«¨ç¨¢ îâ ç¨á«® ¨á¯®«ì§ã¥¬ëå ã§- «®¢, â.¥. 㢥«¨ç¨¢ îâ á⥯¥-ì ¬-®£®ç«¥- .
• ¯à ªâ¨ª¥ ¨-â¥à¯®«¨à®¢ âì ¬-®£®ç«¥- ¢ë᮪®© á⥯¥-¨ -¥¦¥« ⥫ì-®. …᫨ 3- 5 㧫®¢ -¥ ®¡¥á¯¥ç¨¢ îâ âॡ㥬®© â®ç-®áâ¨, â® ®¡ëç-® - ¤® -¥ 㢥«¨ç¨¢ âì ç¨á«® 㧫®¢, 㬥-ìè âì è £ â ¡«¨æë.
10. ˆ-â¥à¯®«ïæ¨ï ᯫ ©- ¬¨
10.1. •®-ï⨥ ᯫ ©-®¢ ¨ ¨å ¯à¨¬¥-¥-¨¥
Œ¥в®¤л б¯« ©--дг-ªж¨© ¢ - бв®пй¥¥ ¢а¥¬п и¨а®ª® ¯а¨¬¥-повбп ¢ ¢лз¨б«¨- в¥«м-®© ¬ в¥¬ в¨ª¥ ¨ ¨-¦¥-¥а-®© ¯а ªв¨ª¥. •®«ми¨-бв¢® з¨б«¥--ле ¬¥в®¤®¢ в ª ¨«¨ ¨- з¥ б¢п§ -л б ¯¯а®ªб¨¬ ж¨¥© дг-ªж¨©. •в® ¨ б®¡бв¢¥--л¥ § ¤ з¨ ¯а¨¡«¨- ¦¥-¨п дг-ªж¨© (¨-в¥а¯®«пж¨п, б£« ¦¨¢ -¨¥, - ¨«гзи¥¥ ¯а¨¡«¨¦¥-¨¥) ¨ § ¤ з¨, ¢ ª®в®але ¯¯а®ªб¨¬ ж¨п ¯а¨бгвбв¢г¥в ª ª ¯а®¬¥¦гв®з-л© нв ¯ ¨бб«¥¤®¢ -¨п (з¨- б«¥--®¥ ¨-в¥£а¨а®¢ -¨¥ ¨ ¤¨дд¥а¥-ж¨а®¢ -¨¥, з¨б«¥--®¥ а¥и¥-¨¥ ¨-в¥£а «м-ле ¨ ¤¨дд¥а¥-ж¨ «м-ле га ¢-¥-¨©). ’¨¯¨з-®© § ¤ з¥© ¯à¨¡«¨¦¥-¨ï ï¥âáï § ¤ ç ¨-- â¥à¯®«ï樨: ¯® § ¤ --®© â ¡«¨æ¥ ç¨á¥« (xi; yi) i = 0; n ¢®ááâ -®¢¨âì äã-ªæ¨î y(x) á -¥ª®â®à®© â®ç-®áâìî - ®â१ª¥ [a; b] ¤¥©á⢨⥫ì-®© ®á¨. Š« áá¨ç¥áª¨© ¬¥â®¤ à¥è¥-¨ï í⮩ § ¤ ç¨ ï¢«ï¥âáï ¬¥â®¤®¬, ®á-®¢ --ë¬ - ¯®áâ஥-¨¨ ¨-â¥à¯®«ïæ¨- ®--®£® ¬-®£®ç«¥- ‹ £à -¦ . Ž¤- ª® ¯à ªâ¨ç¥áª¨ ¢®§¬®¦-®á⨠¯à¨¬¥-¥-¨ï ¬-®- £®ç«¥- ‹ £à -¦ ®£à -¨ç¥-ë. ‘ ¯®¬®éìî ¨-â¥à¯®«ï樮--®£® ¬-®£®ç«¥- -¥«ì§ï
£à -â¨à®¢ âì å®à®è¥¥ ¯à¨¡«¨¦¥-¨¥ ¨-â¥à¯®«¨à㥬®© äã-ªæ¨¨.
•¯à ªâ¨ª¥, ¤«ï ⮣®, çâ®¡ë ¤®áâ â®ç-® å®à®è® ¯à¨¡«¨§¨âì äã-ªæ¨î, ¢¬¥áâ® ¯®áâ஥-¨ï ¨-â¥à¯®«ï樮--®£® ¬-®£®ç«¥- ¨á¯®«ì§ãîâ ¨-â¥à¯®«ïæ¨î ªãá®ç-묨 ¬-®£®ç«¥- ¬¨. •à¨¬¥à®¬ ï¥âáï ªãá®ç-®-«¨-¥©- ï ¨-â¥à¯®«ïæ¨ï. ‚ ®¡é¥¬ á«ãç ¥
®â१®ª [a; b] à §¡¨¢ ¥âáï -¥ª®â®àë¬ - ¡®à®¬ â®ç¥ª - ç á⨠¨ - ª |
¦¤®¬ ¯à®¬¥- |
¦ã⪥ áâநâáï ᢮© ¨-â¥à¯®«ï樮--ë© ¬-®£®ç«¥-. •®áâ஥--ë¥ â |
ª¨¬ ®¡à §®¬ |
36
¬-®£®ç«¥-ë, ®¡ëç-® ®¤-®© ¨ ⮩ ¦¥ á⥯¥-¨, ¤ îâ ¨-â¥à¯®«ïæ¨î äã-ªæ¨¨ y(x) - ¢á¥¬ ®â१ª¥ [a; b]. •à¨ í⮬ ¨-â¥à¯®«ïæ¨ï, ¢®®¡é¥ £®¢®àï, -¥ ®¡¥á¯¥ç¨¢ ¥â £« ¤ª®- £® ¯¥à¥å®¤ ®â ®¤-®£® §¢¥- ª ¤à㣮¬ã ¨ ¬®¦¥â ¡ëâì ¤ ¦¥ à §àë¢-®©, ¥á«¨ â®çª¨ à §¡¨¥-¨ï ®â१ª [a; b] -¥ ¢ª«îç îâ ¢ ç¨á«® 㧫®¢ ¨-â¥à¯®«ï樨. ’ ª®¥ ¯®«®¦¥-¨¥ ¤®¯ãá⨬®, ¥á«¨ -¥ âॡã¥âáï ¢®ááâ -®¢¨âì äã-ªæ¨î á § ¤ --®© á⥯¥-ìî £« ¤ª®- áâ¨. „«ï £« ¤ª®£® ¢®ááâ -®¢«¥-¨ï â ¡«¨ç-® § ¤ --®© äã-ªæ¨¨ y(x) -ã¦-® 㢥«¨- ç¨âì á⥯¥-ì á®áâ ¢«ïîé¨å ¥¥ ¬-®£®ç«¥-®¢, ®áâ «ì-ë¥ á¢®¡®¤-ë¥ ª®íää¨æ¨¥-âë ®¯à¥¤¥«¨âì ¨§ ãá«®¢¨ï £« ¤ª®£® ᮯà殮-¨ï ¬-®£®ç«¥-®¢ - á®á¥¤-¨å ¯à®¬¥¦ã⪠å. •®«ãç¥--ë¥ ¯à¨ í⮬ £« ¤ª¨¥ ªãá®ç-®-¬-®£®ç«¥--ë¥ äã-ªæ¨¨ á®áâ®ïâ ¨§ ¬-®£®ç«¥- -®¢ ®¤-®© ¨ ⮩ ¦¥ á⥯¥-¨, - §ë¢ ¥¬ëå ᯫ ©--äã-ªæ¨ï¬¨ ¨«¨ ¯à®á⮠ᯫ ©- ¬¨. •à®á⥩訩 ¯à¨¬¥à ᯫ ©- | «®¬ - ï.
•à¨¬¥-¥-¨¥ ᯫ ©-®¢ ¯®ª § «®, çâ® ¢ ®¤-¨å § ¤ ç å ¯¥à¥å®¤ ª ᯫ ©- ¬ ¯à¨¢®- ¤¨â ª ¯®¢ëè¥-¨î â®ç-®á⨠१ã«ìâ ⮢, ¢ ¤àã£¨å § ¤ ç å ª §- ç¨â¥«ì-®¬ã ᮪à - é¥-¨î ¢ëç¨á«¨â¥«ì-ëå § âà â, ¢ âà¥âì¨å ¤®á⨣ ¥âáï ¨ â® ¨ ¤à㣮¥ ®¤-®¢à¥¬¥--®.
‘ ¯®¬®éìî ᯫ ©-®¢ 㤠«®áì à¥è¨âì ¨ â ª¨¥ § ¤ ç¨, ª®â®àë¥ ¤à㣨¬ ¯ã⥬ à¥è¨âì ¡ë«® -¥¢®§¬®¦-®. •ãà-®¥ à §¢¨â¨¥ ⥮ਨ ᯫ ©-®¢, ª ª ¯¯ à â ç¨á«¥-- -®£® - «¨§ , ¡ë«® ®¡ãá«®¢«¥-® å®à®è¥© á室¨¬®áâìî ᯫ ©-®¢ ª ¯¯à®ªá¨¬¨àã¥- ¬ë¬ ®¡ê¥ªâ ¬, â ª¦¥ ¯à®áâ®â®© ¢ ॠ«¨§ 樨 «£®à¨â¬®¢ ¯®áâ஥-¨ï ᯫ ©-®¢ - •‚Œ. ˜¨à®ª®¥ ¯à¨¬¥-¥-¨¥ ¯®«ã稫¨ ᯫ ©-ë ¢ â¥å-¨ª¥ ª ª ¯¯ à â ¤«ï ¬®¤¥- «¨à®¢ -¨ï ¯®¢¥àå-®á⥩ ¤¥â «¥© ¨ £à¥£ ⮢ á«®¦-®© ä®à¬ë. ’ ª¨¥ ¬ ⥬ â¨ç¥- ᪨¥ ¬®¤¥«¨ áâ «¨ -¥®¡å®¤¨¬ë ¯à¨ ᮧ¤ -¨¨ á¨á⥬ ¢â®¬ ⨧ 樨, ¯à®¥ªâ¨à®¢ - -¨¨ ¨§¤¥«¨© - ®á-®¢¥ •‚Œ, â¥å-®«®£¨ç¥áª®© ¯®¤£®â®¢ª¨ ¨å ¯à®¨§¢®¤á⢠, ¢ª«îç ï à §à ¡®âªã ¯à®£à ¬¬ ¤«ï ®¡®à㤮¢ -¨ï á —•“. •à¨¬¥-¥-¨¥ ᯫ ©-®¢ ¢ ¬ â䨧¨- ª¥ ¯à¨¢¥«® ª ᮧ¤ -¨î ¢ë᮪®íä䥪⨢-ëå ¬¥â®¤®¢ ᯫ ©--ª®««®ª 樨 ¨ ª®-¥ç-ëå í«¥¬¥-⮢. •à¨¬¥-¥-¨¥ ᯫ ©-®¢ ¯®§¢®«ï¥â åà -¨âì £¥®¬¥âà¨ç¥áªãî ¨-ä®à¬ æ¨î ¢ ç¨á«®¢®© ä®à¬¥ ¨ á «î¡®© â®ç-®áâìî. •à¨ ®¡à ¡®âª¥ ¨-ä®à¬ 樨 - •‚Œ ¯®§¢®- «ï¥â à §à ¡ âë¢ âì ¬ ⥬ â¨ç¥áª®¥ ®¡¥á¯¥ç¥-¨¥ á।á⢠¬ è¨--®© £à 䨪¨.
10.2. Ž¯à¥¤¥«¥-¨¥ ᯫ ©-®¢
•ãáâì - |
®â१ª¥ [a,b] § ¤ -® à §¡¨¥-¨¥ |
: a = x0 < x1 < : : : < xN = b. |
|||
„«ï 楫®£® k |
|
0 ç¥à¥§ Ck |
= Ck[a; b] ®¡®§- 稬 ¬-®¦¥á⢮ k à § -¥¯à¥àë¢-®- |
||
|
|
|
,1 |
[a; b] ®¡®§- 稬 ¬-®¦¥á⢮ ªãá®ç-®- |
|
¤¨ää¥à¥-æ¨à㥬ëå - [a,b] äã-ªæ¨©, ç¥à¥§ C |
|
||||
-¥¯à¥àë¢-ëå äã-ªæ¨© á â®çª ¬¨ à §àë¢ ¯¥à¢®£® த . ”ã-ªæ¨ï Sn; (x) - §ë¢ - ¥âáï ᯫ ©-®¬ á⥯¥-¨ n ¤¥ä¥ªâ á 㧫 ¬¨ - á¥âª¥ , ¥á«¨ - ª ¦¤®¬ ¨-â¥à¢ «¥ [xi; xi+1] äã-ªæ¨ï Sn; (x) ï¥âáï ¬-®£®ç«¥-®¬ á⥯¥-¨ n, â® ¥áâì ¯à¥¤áâ ¢¨¬ ¢ ¢¨¤¥
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
X |
ai;m(x , xi)m; |
x 2 [xi; xi+1]; |
|
|
|
|
Sn; (x) = |
i = 0; n , 1 |
||||||
|
m=0 |
|
|
|
|
|
|
¨ ¥á«¨ |
|
|
|
|
|
|
|
Sn;0(x) 2 Cn, [a; b] |
¯à¨ í⮬ ¤¥ä¥ªâ |
0 N + 1 |
|||||
Ž¯à¥¤¥«¥-¨¥ ᯫ ©- |
¨¬¥¥â á¬ëá« ¨ - |
¢á¥© ¤¥©á⢨⥫ì-®© ®á¨, ¥á«¨ ¯®«®¦¨âì |
|||||
a = ,1; b = 1. Žâ¬¥â¨¬ â ª¦¥, çâ® ¤«ï ᯫ ©- ¢®§¬®¦-® ¨ â ª®¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥-¨¥:
37
|
n |
|
|
Sn; (x) = |
X |
bi;m(x , xi+1)m; x 2 [xi; xi+1]; i = |
1; N , 1 |
|
m=0 |
|
|
‘ãé¥áâ¢ãîâ à §«¨ç-ë¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥-¨ï ¤«ï § ¯¨á¨ ᯫ ©-®¢. Ž£à -¨ç¨¬áï à á- ᬮâà¥-¨¥¬ á«ãç ï ªãá®ç-®-¬-®£®ç«¥--®£® ¯à¥¤áâ ¢«¥-¨ï ᯫ ©-®¢. •â®â á«ãç © ¯®«ã稫 - ¨¡®«¥¥ è¨à®ª®¥ à á¯à®áâà -¥-¨¥.
‡ ¬¥â¨¬, çâ® ¯à¨ à¥è¥-¨¨ à §«¨ç-ëå ¬ ⥬ â¨ç¥áª¨å § ¤ ç, ç á⮠㤮¡-® ¨á- ¯®«ì§®¢ âì â ª - §ë¢ ¥¬ë¥ ‚-ᯫ ©-ë.
10.3. Šã¡¨ç¥áª¨¥ ᯫ ©-ë
• áᬮâਬ ªã¡¨ç¥áª¨¥ ᯫ ©-ë ¤¥ä¥ªâ 1, ïî騥áï ¤¢ ¦¤ë -¥¯à¥àë¢-® ¤¨ää¥à¥-æ¨à㥬묨 äã-ªæ¨ï¬¨. „«ï -¨å n = 3; = 1. •â¨ ᯫ ©-ë ¯à¨- ¤«¥- ¦ â ¬-®¦¥áâ¢ã C2. Šã¡¨ç¥áª¨¥ ᯫ ©-ë ¤¥ä¥ªâ ®¤¨- ¤ «¨ ⮫箪 à §¢¨â¨î ¢á¥© ⥮ਨ ᯫ ©-®¢. •®à®è¨¥ ¯¯à®ªá¨¬ 樮--ë¥ á¢®©á⢠¢ á®ç¥â -¨¨ á ¯à®áâ®â®© ॠ«¨§ 樨 - •‚Œ, ¯®§¢®«¨«¨ ãᯥè-® à¥è âì è¨à®ª¨© ª« áá § ¤ ç. • áᬮâਬ ¯à¨¬¥-¥-¨¥ 㯮¬ï-ãâëå ᯫ ©-®¢ ¤«ï à¥è¥-¨ï § ¤ ç¨ ¨-â¥à¯®«ï樨. •ãáâì -¥ª®â®-
à ï äã-ªæ¨ï y(x) § ¤ - â ¡«¨ç-®, â® ¥áâì y(xi) = yi; |
i = 0; N. •ã¤¥¬ áâநâì |
|||
¨-â¥à¯®«ï樮--ë© á¯« ©-, â® ¥áâì ᯫ ©-, 㤮¢«¥â¢®àïî騩 ãá«®¢¨ï¬ |
||||
|
|
|
|
|
S(xi) = yi; |
i = 0; N |
(1) |
||
. ‡¤¥áì ¨ ¢ ¤ «ì-¥©è¥¬, ¯à¨ à áᬮâà¥-¨¨ ªã¡¨ç¥áª¨å ᯫ ©-®¢ ¤¥ä¥ªâ ®¤¨-, ¤«ï ¯à®áâ®âë § ¯¨á¨ n ¨ 㪠§ë¢ âì -¥ ¡ã¤¥¬ ¨ ªã¡¨ç¥áª¨© ᯫ ©- ¡ã¤¥¬ - §ë¢ âì ¯à®á⮠ᯫ ©-®¬. Žç¥¢¨¤-®, çâ® - ¢á类¬ ®â१ª¥ [xi; xi+1] ᯫ ©-, ®¯à¥¤¥«ï¥¬ë© ç¥âëàì¬ï ª®íää¨æ¨¥-â ¬¨, | ¬-®£®ç«¥- âà¥â쥩 á⥯¥-¨. ‡- ç¨â, ¤«ï ¯®áâ஥-¨ï ᯫ ©- - ¢á¥¬ ®â१ª¥ [a; b] N ®â१ª®¢ [xi; xi+1]. • ª ¦¤®¬ ®â१ª¥ [xi; xi+1] ª®íä- ä¨æ¨¥-âë ¬-®£®ç«¥- âà¥â쥩 á⥯¥-¨ ¨¬¥îâ à §«¨ç-ë¥ §- ç¥-¨ï. „«ï à áᬠâà¨- ¢ ¥¬®£® ᯫ ©- ¬®¦¥¬ § ¯¨á âì, çâ® S(x) 2 C2. •® íâ® íª¢¨¢ «¥-â-® âॡ®¢ -¨î -¥¯à¥àë¢-®áâ¨ á ¬®£® ᯫ ©- S(x) ¨ ¥£® ¯à®¨§¢®¤-ëå S0(x) ¨ S00(x) ¢® ¢á¥å ¢-ã-
âà¥--¨å 㧫 å xi á¥âª¨ , i = 1; N , 1. ˆá¯®«ì§®¢ -¨¥ 㪠§ --ëå ãá«®¢¨© ¯®§¢®«ï¥â á®áâ ¢¨âì 3(N , 1) à ¢¥-áâ¢. ˆ-â¥à¯®«ï樮--ë¥ ãá«®¢¨ï (1) ¤ îâ (N+1) à ¢¥-áâ¢. ’ ª¨¬ ®¡à §®¬ ¢á¥£® ¬®¦¥¬ á®áâ ¢¨âì 4N , 2 б®®в-®и¥-¨©. „«п - 宦¤¥-¨п ¢б¥е ª®ндд¨ж¨¥-в®¢ б¯« ©- б«¥¤г¥в ¤®¡ ¢¨вм 2 ¤®¯®«-¨в¥«м-ле гб«®¢¨п. •в¨ гб«®¢¨п ®¡лз-® § ¤ овбп ¢ ¢¨¤¥ ®£а -¨з¥-¨© - §- з¥-¨п б¯« ©- ¨ ¥£® ¯а®¨§¢®¤-ле - ª®-- ж е ®ва¥§ª [a; b] ¨«¨ ¢¡«¨§¨ ª®-ж®¢ ®ва¥§ª . ’ ª¨¥ ¤®¯®«-¨в¥«м-л¥ гб«®¢¨п - §л¢ - овбп ªа ¥¢л¬¨ гб«®¢¨п¬¨. ‘гй¥бв¢гов а §«¨з-л¥ ¢¨¤л ªа ¥¢ле гб«®¢¨©. • ¨¡®«¥¥ г¯®ва¥¡¨в¥«м-л¬¨ п¢«повбп б«¥¤гой¨¥ гб«®¢¨п:
I)
S0(a) = y0(a)
S0(b) = y0(b)
II)
S00(a) = y00(a)
S00(b) = y00(b)
38
III) Sm(a) = Sm(b); m = 1; 2
IV) S000(xp , 0) = S000(xp + 0) p = 1; N , 1
‹¥£ª® ¢¨¤¥âì, çâ® ãá«®¢¨ï ⨯ III á«¥¤ã¥â ¨á¯®«ì§®¢ âì, ª®£¤ ¨-â¥à¯®«¨à㥬 ï äã-ªæ¨ï y(x) ï¥âáï ¯¥à¨®¤¨ç¥áª®© á ¯¥à¨®¤®¬ b,a. “á«®¢¨ï ⨯ III - §ë¢ îâáï ¯¥à¨®¤¨ç¥áª¨¬¨.
10.4.•à®áâà -á⢮ ¨-â¥à¯®«ï樮--ëå ᯫ ©-®¢ ¢ â¥à¬¨- - å mi
‚¢¥¤¥¬ á«¥¤ãî騥 ®¡®§- ç¥-¨ï: |
|
|
|
|
|
|
S0(xi) = mi; |
|
|
|
|
|
|
i = 0; N |
(2) |
|||||
. • ª ¦¤®¬ ®â१ª¥ [xi; xi+1] |
|
|
|
|
|
|
S(x) = ai0 + ai1(x , xi) + ai2(x , xi)2 + ai3(x , xi)3 |
(3) |
|||||
|
|
|
|
|
||
x 2 [xi; xi+1] |
i = 0; N , 1 |
|
||||
•®âॡ㥬 ¢ë¯®«-¥-¨ï ¨-â¥à¯®«ï樮--ëå ãá«®¢¨© (1) ¨ à ¢¥-á⢠(2). •®¤áâ - ¢«ïï ¢ëà ¦¥-¨¥ (3) ¢ ãá«®¢¨¥ (1) ¨ (2) ¤«ï ¢ëç¨á«¥-¨ï ª®íää¨æ¨¥-⮢ ai0; ai1; ai2; ai3 ¯®«ã稬 á¨á⥬ã ç¥âëà¥å ãà ¢-¥-¨©:
S(xi) = yi
S(xi+1) = yi+1
S0(xi) = mi
S0(xi+1) = mi+1
•¥è ï ¯®«ãç¥--ãî á¨á⥬ã - 室¨¬ á«¥¤ãî騥 ¢ëà ¦¥-¨ï:
S(x) = yi(1 , t)2(1 + 2t) + yi+1t2(3 , 2t) + mihit(1 , t)2 , mi+1hit2 , (1 , t); (4)
£¤¥
hi = xi+1 |
, |
xi; |
t = x , xi |
|
|
hi |
‚¥«¨ç¨-ë mi ¯®ª -¥ ¨§¢¥áâ-ë ¨ ¯®¤«¥¦ â ®¯à¥¤¥«¥-¨î. ‹¥£ª® ¢¨¤¥âì, ç⮠ᯫ ©-, ¯à¥¤áâ ¢«¥--ë© ¢ ¢¨¤¥ (4) - ª ¦¤®¬ ¯à®¬¥¦ã⪥ [xi; xi+1] -¥¯à¥à뢥- ¢¬¥- á⥠ᮠ᢮¥© ¯¥à¢®© ¯à®¨§¢®¤-®© ¢áî¤ã - ®â१ª¥ [a; b]. ‚¥«¨ç¨-ë mi ¯®¤¡¥à¥¬ â ª,
çâ®¡ë ¡ë« -¥¯à¥àë¢- ¨ ¢â®à ï ¯à®¨§¢®¤- ï ᯫ ©- . ‚ëç¨á«¨¬ S00(x) :
S00(x) = |
1 |
(yi+1 |
, yi)(6 , 12t) + mh i (,4 + 6t) + fracmi+1hi(,2 + 6t) |
(5) |
||||||||
h2 |
||||||||||||
|
i |
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|
i |
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•à¨ ¯®«ãç¥-¨¨ í⮩ ä®à¬ã«ë ¨¬¥¥¬ ¢¢¨¤ã |
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d |
= |
d |
dt = |
1 d |
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dt dx |
hi dt |
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39
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d2 |
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= |
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1 |
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d |
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dx |
2 |
2 |
|
2 |
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hi |
dt |
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• ©¤¥¬ S00(xi + 0) ¨ S00(xi |
, 0). „«ï ®âë᪠-¨ï S00(xi + 0) ¢ ¢ëà ¦¥-¨¥ (5) á«¥¤ã¥â |
||||||||||||||||||||||||||||||||
¯®¤áâ ¢¨âì x = xi. •®«ã稬: |
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S00(xi + 0) = 6 |
yi+1 , yi |
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, |
4mi |
, |
2mi+,1 |
(6) |
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h |
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h |
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h2 |
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i |
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i |
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i |
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„«ï - 宦¤¥-¨ï S00(xi |
, |
0) -¥®¡å®¤¨¬® ¢ ¢ëà ¦¥-¨¨ (5) § ¬¥-¨âì ¨-¤¥ªá i - |
|||||||||||||||||||||||||||||||
i,1. ’®£¤ ¯®«ãç¥--®¥ ¢ëà ¦¥-¨¥ ¡ã¤¥â á¯à ¢¥¤«¨¢® ¤«ï [xi,1; xi]. ‚ íâ® ¢ëà ¦¥-¨¥ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
¯®¤áâ ¢¨¬ xi. |
|
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yi |
, yi,1 |
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+ 2mi,1 |
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mi |
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S00(xi |
, |
0) = |
, |
6 |
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, |
+4 |
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h2 |
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h |
i,1 |
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|
h |
i,1 |
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i,1 |
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“á«®¢¨ï -¥¯à¥àë¢-®á⨠¢â®à®© ¯à®¨§¢®¤-®© S00(x) ¥áâì à ¢¥-á⢮ |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
S00(xi + 0) = S00(xi , 0) |
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|
i = 1; N , 1 |
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•®¤áâ ¢«ïï ¢ íâ® à ¢¥-á⢠|
|
§- ç¥-¨ï ¯à ¢®áâ®à®--¥£® ¨ «¥¢®áâ®à®--¥£® ¯à¥¤¥«®¢, |
|||||||||||||||||||||||||||||||
¯à¨å®¤¨¬ ª ãà ¢-¥-¨î |
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imi,1 + 2mi + imi+1 = ci |
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i = 1; N , 1 |
(7); |
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£¤¥ |
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i = |
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hi,1 |
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; |
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hi,1 + hi |
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i = |
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hi |
|
|
|
; |
|
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||||||||
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|
|
hi,1 + hi |
|
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ci |
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= 3( i yi+1 , yi + i yi |
, yi,1 ) |
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hi |
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|
hi,,1 |
|
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|||||||||
•¢¥-á⢮ (7) ¤ ¥â N-1 ãà ¢-¥-¨© ¤«ï ®âë᪠-¨ï N+1 -¥¨§¢¥áâ-ëå m0 : : : mn. Š
(7)-¥®¡å®¤¨¬® ¤®¡ ¢¨âì ¥é¥ 2 ãà ¢-¥-¨ï. …᫨ ¨á¯®«ì§®¢ âì ªà ¥¢ë¥ ãá«®¢¨ï ⨯
I, â® ¤®¯®«-¨â¥«ì-묨 ãà ¢-¥-¨ï¬¨ ¡ã¤ãâ m0 = c0 ¨ mN = cN (7 ), £¤¥
c0 = y0(a); |
cN = y0(b). |
|
|
|
‚ á«ãç ¥ ªà ¥¢ëå ãá«®¢¨© ⨯ II, ¨¬¥¥¬ |
|
|
||
|
2m0 + 2m1 = c0 |
mN,1 , 2mN = cN |
(7b); |
|
£¤¥ |
|
|
|
|
|
c0 = 3y1 , y0 |
, |
h0 y00(a); |
|
|
h0 |
2 |
|
|
|
cN = 3 yN , yN,1 + hN,1 y00(b) |
|
||
|
hN,1 |
|
2 |
|
‚ á«ãç ¥ ãá«®¢¨© III, ¯¥à¨®¤¨ç¥áª¨ ¯à®¤®«¦¨¬ á¥âªã . ‚ १ã«ìâ ⥠祣® ¬®¦¥¬ |
||||
¯®«®¦¨âì y0 = yN , y1 = yN+1, m0 = mN , m1 |
= mN+1, hN = h0. ’¥¯¥àì â®çª |
xN |
||
®ª § « áì ¢-ãâà¥--¥©. ’®£¤ ãá«®¢¨¥ (8) § ¯¨è¥¬ ¢ â®çª¥ xN . •ã¤¥¬ ¨¬¥âì |
|
|||
N mN,1 + 2mN + N mN+1 = CN
40