4.5. Критерий найквиста

Частотный критерий Найквиста позволяет судить об устойчивости замкнутой системы по амплитудно-фазовой частотной характеристике разомкнутой системы W(i), которая строится в координатах действительной и мнимой частей АФЧХ (рис.4.8).

Чтобы определить условие устойчивости по критерию Найквиста, необходимо найти связь между функциями W(i) и Д(i). Для этого рассмотрим функцию

, (4.18)

представляющую собой знаменатель передаточных функций замкнутой сис­темы.

Передаточную функцию разомкнутой системы W(р) можно предста­вить в виде отношения двух многочленов

, (4.19)

где Т(р) часто называют характеристическим многочленом разомк­нутой системы. С учетом (4.19) выражение (4.18) можно представить в следующем виде:

, (4.20)

где Д(р)=Т(р)+R(р) - характеристический многочлен замкну­той системы, причем порядок многочлена Д(р) определяется по­рядком многочлена Т(р) и равен n.

Заменяя р на i, будем иметь

, (4.21)

. (4.22)

Анализ (4.21) показывает, что вектор W^*(i) смещен на единицу по отношению к вектору W (i). Причем, они описывают один и гот же годограф – АФЧХ разомкнутой системы W(i) (рис. 4.9). Эго позволяет условие устойчивости связать как с поведением вектора W(i) , так и вектора W^*(i).

Рис. 4.8 Рис. 4.9

На основании (4.22) можно записать

arg W^*(i)= arg Д (i)-arg Т (i). (4.23)

При изменении частоты  от - до  для обеспечения устойчивости системы в соответствии с критерием Михайлова

arg Д (i)=180^оn . (4.24)

Следует иметь в виду, что устойчивая замкнутая система мо­жет оказаться неустойчивой в разомкнутом состоянии, поэтому ха­рактеристическое уравнение разомкнутой системы Т(р)=0 может иметь корни с положительными действительными частями (правые корни). Положим, что уравнение Т (р)=0 имеет r правых корней и (n-r) левых, тогда в соответствии c рис. 4.4. вектор Т (i) при изменении частоты от - до  опишет угол в положительном направлении 180^о(n-r) и в отрицательном -180^or, т.е.

arg Т (i)=180^о(n-r)-180^or=180^оn-360^or . (4.25)

С учетом (4.24) и (4.25) уравнение (4.23) принимает вид

arg W^*(i)=180^оn-180^оn+360^or=360^or. (4.26)

Учитывая симметричность АФЧХ относительно действительной оси (U_p() –функция четная), условие (4.26) можно переписать в виде

. (4.27)

Отсюда вытекает формулировка критерия Найквиста.

Для того, чтобы замкнутая система была устойчива, необходи­мо и достаточно, чтобы при изменении частоты  от 0 до  вектор W^*(i) повернулся в положительном направлении на угол 180⁰r, где r - число правых корней характеристического многочлена ра­зомкнутой системы, т.е. чтобы АФЧХ разомкнутой системы W(i) охватила точку (-1, 0i) в положительном направлении r/2 раз.

Если разомкнутая система устойчивая, то r=0 и условие (4.27) принимает вид

, (4.28)

т.е. суммарный угол поворота вектора W^*(i) вокруг начала коор­динат должен равняться нулю. Это будет в том случае, когда АФЧХ не охватывает точку (-1, 0i) т.е. пересекает действительную ось в диапазоне (0 -1).

Условие устойчивости в этом случае можно сформулировать сле­дующим образом. Для того чтобы замкнутая система была устойчива в случае устойчивой разомкнутой системы, необходимо и достаточно, чтобы амплитудно-фазовая частотная характеристика разомкнутой сис­темы не охватывала точку (-1, 0i), т.е. пересекала бы действительную ось правее этой точки (рис. 4.10а).

Если АФЧХ пересечет действительную ось в точке (-1, 0i), то соответствующая ей система будет находиться на границе устойчивос­ти (рис.4.10в). Случай показанный на рис. 4.10г, соответствует неустой­чивой системе.

Для систем высокого порядка могут возникнуть затруднения при определении угла, на который поворачивается вектор W^*(i). В этом случае для суждения об устойчивости, можно рекомендовать сле­дующую интерпретацию критерия Найквиста, предложенную Я.З. Цыпкиным.

а б

в г

Рис. 4. 10

Система будет устойчивой, если разность между числом положи­тельных и отрицательных переходов АФЧХ W(i) через отрезок дей­ствительной оси (- -1) при изменении  от 0 до  будет равна r, где r- число правых корней характеристического уравне­ния разомкнутой системы.

При этом переход АФЧХ через действительную ось сверху вниз считается положительным, снизу вверх - отрицательным.

Разность положительных и отрицательных переходов АФЧХ действи­тельной оси U_p в диапазоне (- -1) (рис.4.10б) равна нулю, следовательно, замкнутая система, соответствующая этому случаю, будет устойчива.

Для астатических систем характеристический многочлен разомк­нутой системы Т(р) имеет нулевые корни Т (р)=р^Т^*(р), т.е. передаточная функция разомкнутой системы в этом случае принимает вид

, (4.29)

где  - порядок астатизма.

Заменяя в выражении (4.29) р на i , получим

(4.30)

Анализ (4.30) показывает, что при =0 АФЧХ разомкнутой системы W(i) терпит разрыв. Чтобы избежать неопределенности в точке раз­рыва при построении АФЧХ разомкнутой системы, условились обхо­дить начало координат в плоскости комплексного переменного справа по дуге бесконечно малого радиуса  (рис.4.11).

Рис 4.11 Рис. 4.12

Из выражения (4.30) следует, что при изменении частоты  в окрестности нуля (=-  ) АФЧХ разомкнутой астатической системы можно представить в виде дуги, которую описывает бес­конечно большой радиус R_. При этом в диапазоне  = +   АФЧХ разомкнутой астатической системы строится обычным методом, а затем дополняется дугой, которую должен описать радиус, вра­щаясь по часовой стрелке на угол (90ν)° .

Определение устойчивости по АФЧХ разомкнутой астатической системы, дополненной дугой бесконечно большого радиуса, ведется точно так же, как и для статических систем.

На рис. 4.12. показана АФЧХ устойчивой системы при наличии астатизма второго порядка.

Рассмотренные особенности применения критерия Найквиста для астатических систем можно распространить и на случай, когда харак­теристическое уравнение разомкнутой системы имеет чисто мнимые корни  i₁. В отличие от предыдущего случая наличие в уравне­нии Т(р)=0 мнимых корней связано с разрывом W(i) при  = i₁.

ЛЕКЦИЯ 11

План лекции:

1. Определение устойчивости по ЛАФЧХ.

2. Д - разбиение в плоскости комплексного параметра.

4. Рекомендуемая литература [1, 3, 8].