4.6. Суждение об устойчивости по лафчх

РАЗОМКНУТОЙ СИСТЕМЫ

По построенным логарифмическим амплитудным и фазовым характеристикам разомкнутой системы также можно судить об устойчивости замкнутой системы. Для этого надо установить соответствие между некоторыми свойствами ЛАЧХ и амплитудно-фазовой характеристики. Рассмотрим только системы, устойчивые в разомкнутом состоянии.

Как установлено выше, "опасным" для устойчивости САУ является отрезок отрицательной вещественной полуоси от – до –1.

Когда амплитудно-фазовая характеристика пересекает отрица­тельную вещественную полуось, логарифмическая фазовая характерис­тика пересекает одну из линий –,  и т.д. Переходы через эти линии не опасны, если они совершаются справа от точки (–1, i0), т.е. если модуль и, следовательно, если ординаты ЛАЧХ , т.е. отрицательны при   – .

Положительному переходу (сверху вниз) через отрезок (–, –1) характеристик соответствует переход фазовой характеристи­ки через одну из линий –, ,... снизу вверх (тоже по­ложительный переход). Отрицательному переходу также соответствует отрицательный переход ЛФЧХ. Отсюда вытекает следующее положение: если разомкнутая система устойчива, то для того, чтобы замкнутая система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы во всех областях положительных ЛАЧХ разность между числом поло­жительных и отрицательных переходов ЛФЧХ через линии –, ,... равнялась нулю.

Очевидно, если разомкнутая САУ неустойчива и ее характе­ристическое уравнение имеет r правых корней, то для устойчи­вости замкнутой САУ разность между положительными и отрица­тельными переходами ЛФЧХ через (–180)° на тех частотах, на которых ЛАЧХ положительна, должна равняться r / 2.

На рис. 4.13 показаны примеры АФЧХ и соответствующие им ЛАФЧХ разомкнутой системы. При этом предполагается, что разомкнутая система устойчива. Исследование проводится в области положительных ординат ЛАЧХ. Пересечение АФЧХ с кругом единичного ра­диуса соответствует пересечение ЛАЧХ с осью частот.

На рис. 4.13а,в показаны характеристики систем, устойчивых в замкнутом состоянии, на рис. 4.13б,г - характеристики неустой­чивых систем.

На рис. 4.14а показаны запасы устойчивости по амплитуде и по фазе . Запас устойчивости по амплитуде определяется зна­чением ЛАЧХ на частоте пересечения ЛФЧХ прямой, проходящей через (-180)°. Запас устойчивости по фазе определяется как пре­вышение ЛФЧХ над прямой (-180)° на частоте среза. Частотой сре­за называют частоту, на которой ЛАЧХ пересекает ось частот, т.е. (на частоте среза САУ не искажает входной сиг­нал по амплитуде).

Если запасы устойчивости и равны нулю, то система находится на границе устойчивости. Чем больше значения и , тем дальше от границы устойчивости находится система. Тем не ме­нее, стремиться к неограниченному увеличению и не сле­дует, так как увеличение запасов устойчивости обычно связано с уменьшением коэффициента передачи системы и, следовательно, с увеличением статических ошибок и ухудшением качества регулирования (в частности, с увеличением времени переходного процесса).

Рис. 4.13

Поэтому при проектировании САУ запасы устойчивости необходимо выбирать та­ким образом, чтобы исключить возможность потери устойчивости при случайном изменении параметров и режимов работ системы, и в то же время обеспечить требование к качеству и ошибкам регулиро­вания. Например, рекомендуют выбирать запасы устойчивости по амплитуде и по фазе .