1. Частотные характеристики сау.

2. Логарифмические амплитудные и фазовые частотные характеристики.

3. Рекомендуемая литература [1, 8].

3. Частотные характеристики сау

Частотные характеристики характеризуют установившиеся вынуж­денные колебания на выходе системы или звена, вызванные гармони­ческим воздействием на входе.

Для аналитического определения частотных характеристик бу­дем считать, что входное воздействие изменяется по следующему закону:

. (3.16)

При заданном воздействии (3.16) решение линейного дифферен­циального уравнения

(3.17)

можно искать в следующем виде:

. (3.18)

где и - амплитуды входного воздействия и выходной величины;

- круговая частота воздействия;

- сдвиг по фазе выходного сигнала относительно входного. На основании (3.16) и (3.18) можно записать

…………………………………… (3.19)

Подставив выражения (3.19) в уравнение (3.17), получим

,

или

. (3.20)

Выражение (3.20) представляет собой амплитудно-фазовую частотную характеристику (АФЧХ) САУ.

Сравнение её с передаточной функцией

показывает, что аналитическое выражение АФЧХ получается путём формальной замены в соответствующей передаточной функции опера­тора на . Таким образом, имея передаточную функцию системы или звена, можно легко получить выражение для АФЧХ этой системы или звена:

. (3.21)

Выражение (3.21) иногда называют ещё комплексной или час­тотной передаточной функцией.

Для экспериментального определения АФЧХ входное воздействие целесообразно изменять по гармоническому закону

.

Тогда частное решение линейного уравнения (3.17) необходимо искать в виде

. (3.22)

Нетрудно показать, что выражение для АФЧХ в этом случае по­лучается точно такое же, как и в предыдущем.

,

где

; .

Тогда

и выражение для АФЧХ принимает вид (3.20).

АФЧХ (3.20) представляет собой комплексную функцию, следова­тельно,

,

где - действительная часть АФЧХ, - мнимая часть АФЧХ.

Модуль АФЧХ называется ампли­тудной частотной характеристикой (АЧХ).

АЧХ представляет собой зависимость отношения амплитуды вход­ного и выходного сигналов от частоты внешнего воздействия. Она показывает степень искажения системой или звеном входного сиг­нала по амплитуде на различных частотах.

Аргумент АФЧХ называется фазовой частотной характеристикой (ФЧХ). ФЧХ представляет собой зависимость сдви­га фаз входного и выходного сигналов от частоты входного воздей­ствия. Она показывает степень искажения системой или звеном вход­ного сигнала по фазе на различных частотах. АФЧХ строится на комплексной плоскости в координатах,и . Она представляет собой геометрическое место концов вектора (годограф), соответствующее частотной передаточной функции при изменении частоты от нуля до бесконечности (рис. 3.1,а)

АФЧХ может быть построена как для положительных, так и для отрицательных частот. При замене в частотной передаточной функ­ции на получается сопряжённая комплексная величина. Поэтому АФЧХ для отрицательных частот может быть построена как зеркальное изображение относительно вещественной оси АФЧХ для положительных частот.

Из рис. 3.1,а следует зависимости, связывающие модуль и аргумент АФЧХ с действительной и мнимой частями частотной передаточной функции:

; (3.24)

;

;

. (3.25)

Формулы (3.24) и (3.25) позволяют аналитически определить АЧХ и ФЧХ по передаточной функции системы или звена.

На рис. 3.1.б показаны примеры амплитудной и фазовой час­тотных характеристик обычных инерционных звеньев. У таких звеньев в силу их инерционности АЧХ по мере увеличения частоты приближается к оси частот.

При этом, чем менее инерционно звено, тем длиннее его ампли­тудная характеристика, т.е. тем больше полоса пропускания. Тео­ретически АЧХ продолжается до бесконечности, но практически по­лоса пропускания оценивается значением частоты, при котором отно­шение амплитуд становится меньше определенного достаточно малого конечного значения. Это значение обычно берут равным 5%.

Наличие максимума у АЧХ говорит о резонансных свойствах звена или системы. Частота, соответствующая максимуму АЧХ, на­зывается резонансной частотой.

Для получения частотных характеристик экспериментальным пу­тём для каждого значения частоты определяют амплитуду гармони­ческого входного воздействия, амплитуду выходной величины, а также фа­зовый сдвиг между обеими амплитудами.

Ценность использования частотных характеристик заключает­ся в том, что они позволяют косвенно, т.е. без решения дифференциального уравнения системы, судить о поведении САУ в отношении устойчивости и ряда показателей качества, а также определять и рассчитывать средства коррекции системы для получения заданных динамических показателей.

Рис. 3.1