8.5. Свойства корреляционных функций и спектральных плотностей стационарных эргодических

случайных процессов

1. Начальное значение R_х(0) корреляционной функции всегда превышает ее значение в любой другой момент :

, причем .

2. Предельное значение корреляционной функции при равно квадрату математического ожидания:

.

Это означает, что в бесконечно удаленные друг от друга моменты времени значения случайной функции можно считать независимыми и корреляционная функция будет отличаться от 0 только за счет присутствия детерминированной постоянной составляющей в виде математического ожидания m. Для центрированного случайного процесса

.

3. Корреляционная функция стационарного случайного процесса есть четная функция :

. (8.37)

Поэтому корреляционная функция всегда симметрична относительно оси ординат.

Корреляционная функция симметрична относительно переменных t₁, t₂,

т. е.

. (8.38)

4. Если случайная функция содержит периодическую составляющую, то корреляционная функция также содержит периодическую составляющую той же частоты. Например, для регулярной функции получим

(8.39)

т. е. корреляционная функция синусоидальной функции представляет собой косинусоиду и не зависит от сдвига фазы (рис. 8.5, а).

5. Кривая корреляционной функции , характеризующая отраженные от подвижного объекта сигналы, располагается тем круче, чем менее инерционен объект. Например, для маневрирующего самолета связь между последующими и предыдущими положениями будет тем слабее, чем он легче и маневреннее. Можно сказать, что корреляционная функция характеризует инерционность системы, находящейся под воздействием случайных возмущений. Чем быстрее убывает , тем более высокие частоты будут содержаться в случайном процессе.

6. Случайный процесс без периодической составляющей имеет кривую корреляционной функции вида рис. 8.5, б, а с периодической составляющей - вида рис. 8.5, в.

Рис. 8.5. Кривые корреляционных функций:

а—периодического процесса; б—случайного процесса без периодической

составляющей, в — случайного процесса с периодической составляющей

7. Если случайная функция содержит постоянную составляющую а, то корреляционная функция—постоянную составляющую а (см. формулу 8.24).

Найденные выражения для и позволяют отметить следующие свойства стационарных спектральных плотностей:

1. Если — монотонная убывающая функция от , то тоже монотонная убывающая функция.

2. Чем шире график корреляционной функции , тем уже график спектральной плотности . Это соответствует физической сущности процесса: чем медленнее процесс, тем меньше значение в процессе имеют высокие частоты.

Например, для случайного стационарного процесса с экспоненциально затухающей корреляционной функцией

. (8.40)

3. Если стремится к нулю в течение очень короткого промежутка времени , то сохраняет приблизительно постоянное значение. Такой спектр называют белым.

4. Для постоянной составляющей корреляционная функция, а график спектральной плотности в соответствии с (8.27) представляет собой дельта функцию.

5. При и центрированной случайной функции, получаем соотношение:

, (8.41)

которое позволяет находить среднеквадратическое значение случайной функции по известной спектральной плотности или корреляционной функции. Из этого выражения следует, что дисперсия стационарной функции D пропорциональна площади, ограниченной кривой спектральной плотности и осью абсцисс.