Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Лекции по ТАУ.doc
Скачиваний:
105
Добавлен:
18.12.2018
Размер:
15.82 Mб
Скачать
    1. Вынужденное движение и собственные колебания системы. Переходный и установившийся режимы

В общем виде движение линейной САУ с постоянными параметрами описывается дифференциальным уравнением n-го порядка с постоянным коэффициентами

anx(n)+an-1x(n-1)+…+a1+a0x =bm(t)+ …+ b1(t)+b0(t). (2.6)

Допустим, что при t=0 переменные уравнения (2.6.) имеют следующие значения

x(0)=(0) = ….=x(n-1)(0)=x(n)(0)=0;

(0)=; =0 ;……; (m-1)(0)= (m-1); (m)(0)= (m) .

При заданных начальных значениях переменных изображения отдельных слагаемых уравнения (2.6) можно записать в следующем виде:

a0 x(t)←: a0X(p); a1(t)←: a1pX(p);

………………….

an x (n) (t)←: anpnX(p);

b0(t)←: b0F(p); b1(t)←: b1 (pF(p) - );

b2(t)←: b2( p2F(p) - p- );

……………………….. (2.7)

bm(t)←: bm (pmF(p) – p m-1 – p m-2 -- p(m-2)-(m-1) ).

С учетом (2.7) уравнение (2.6), записанное в операторном виде, можно представить следующим образом:

X(p) Д(р)= F(p) M(p) – MH(p) , (2.8)

где Д(р)=anpn + an-1pn-1 +…+a1p +a0 - характеристический многочлен системы, представляющий собой изображение левой части уравнения (2.6) при нулевых начальных условиях;

M(p)=bmpm+bm-1pm-1+…+b1p+b0 – многочлен представляющий собой изображение правой части уравнения (2.6) при нулевых начальных условиях;

MH(p)=(bmpm-1+bm-1pm-2+…+b2p+b1)+(bmpm-2+b1p3+…+b3p+ +b2)+…+(m-2)(bmp+bm-1)+ (m-1)bm - многочлен, учитывающий начальные значения переменной f(t) и ее производных.

На основании (2.8) изображение выходной переменной принимает вид

(2.9)

Изображения F(p) внешних типовых воздействий представляют собой правильные рациональные дроби

.

Тогда, уравнение (2.9) можно представить следующим образом:

(2.10)

Используя формулы обратного преобразования Лапласа, т.е. переходя от изображения Х(р) к оригиналу х (t ) , можно записать решение уравнения (2.6).

Рассмотрим случай, когда характеристическое уравнение Д(р)=0 и уравнение F2(p)=0 не содержат нулевых и кратных корней.

Решение уравнения (2.6) с учетом (2.10) в этом случае можно представить в виде

, (2.11)

где pk – корни уравнения Д(р) =0 ; pi - корни уравнения F2 (p) = 0;

n - порядок многочлена Д(р); r - порядок многочлена F2(р);

Введем обозначения:

, (2.12)

. (2.13)

C учетом этого получим общее решение уравнения (2.6) в виде

х(t) = хcc(t) + хв (t) , (2.14)

где х(t) - полное движение системы, вызванное внешним воздействием f(t);

хcc(t) – собственное движение системы; хв (t) – вынужденное движение системы.

Анализ полученного решения позволяет сделать следующие выводы:

а) полное движение САУ можно условно разделить на две составляющие:

собственное движение, не зависящее от внешнего воздействия f(t), и вынужденное движение, зависящее от него;

б) если характеристическое уравнение имеет хотя бы пару комплексных корней, то собственное движение будет колебательным;

в) если характеристическое уравнение имеет хотя бы один корень с положительной вещественной частью, то амплитуда собственных колебаний будет с течением времени неограниченно увеличиваться (система неустойчивая);

г) если характеристическое уравнение имеет все корни с отрицательными вещественными частями, то собственные колебания с течением времени будут затухать, т.е. если

pk= - δk ± iωk ,

то при t→ ∞ хcc(t)→ 0, а х(t)→ хв(t) .

Таким образом, после затухания собственных колебаний полное движение системы стремится к вынужденному. Такое состояние системы называют установившемся.

Процесс перехода системы из одного установившегося состояния в другое называется переходным режимом. В переходном режиме система совершает как собственное, так и вынужденное движение. Длительность переходного режима определяется временем затухания собственных колебаний.

В общем случае начальные условия по всем переменным уравне­ния (2.6) отличны от нуля, т.е. при : , , тогда в уравнении (2.8) появляется ещё один многочлен , учитывающий начальные значения переменной и её производных, т.е. начальные условия самой системы:

, (2.15)

где

На основании (2.15) можно записать

. (2.16)

В соответствии с изображением (2.16) решение уравнения (2.6) будет иметь три составляющие:

, (2.17)

где . (2.18)

Выражение (2.18) характеризует свободное движение системы, пол­ностью определяется корнями характеристического уравнения и от внешнего воздействия не зависит.

Если характеристическое уравнение имеет все корни с отрица­тельными вещественными частями, то свободное движение системы с течением времени затухает, т.е. если , то и , и полное движение САУ стремится к вынужденному . Наступает установившийся режим. В частном случае установившемуся режиму САУ соответствует покой или равновесие.