8.9.3. Графоаналитический метод расчета

В инженерной практике для систем управления высокого порядка применяют приближенный графоаналитический метод определения случайных ошибок. Его удобно применять, если спектраль­ные плотности задающего воздействия и помехи и амплитудно-частотные характеристики заданы графически или описываются сложными выражения­ми. Метод является наглядным и позволяет сразу решить, как нужно изменить частотные характеристики системы, чтобы уменьшить ошибку, вызванную случайным сигна­лом.

Рассмотрим этот метод применительно к вычислению ошибки от помех.

Поскольку спектральная плотность ошибки функция четная, то можно записать

. (8.88)

Имея в виду, что

, (8.89)

при известных передаточной функции системы и спектральной плотности стационарного случайного воз­действия на входе си­стемы можно предложить следующий порядок расчета среднеквадратической оши­бки.

1. Строится АЧХ замкнутой системы (рис. 8.13). Ор­динаты этой кривой возводятся в квадрат и строится кривая .

Рис. 8.13. К графоаналитическому определению флуктуационной ошибки

2. Строится кривая спектральной плотно­сти для случайного сигнала ошибки. Для этого значение спектральной плотности на входе умно­жается на величину квадрата АЧХ системы для каждой данной частоты.

3. Определяется значение интеграла . Для этого подсчитывается площадь, заключенная между кри­вой и осью абсцисс.

4. Средний квадрат ошибки в соответствии с форму­лой (8.86) определяется путем деления найденной пло­щади на , т. е.

. (8.90)

Среднеквадратическая ошибка вычисляется по формуле:

. (8.91)

График спектральной плотности ошибки можно также рассчитать, пользуясь логарифмическими частот­ными характеристиками (ЛЧХ). По заданному значению К(р) определяют логарифмические амплитудно-частот­ные (ЛАЧХ) и фазо-частотные характеристики (ЛФЧХ) разомкнутой системы, затем находят ЛАЧХ замкнутой системы , ее значения удваивают, т. е. определяют . Значения суммируются с величиной . В результате получаем

.

Для определения ошибки поступают далее так же, как и в пп. 3 и 4.

Как видно из соотношения (8.89), флуктуационная ошибка в общем случае зависит от взаимного расположе­ния графиков и (рис.8.13). При совпадении максимумов характеристик флуктуационная ошибка оказывается большой, и наоборот, разнесение этих мак­симумов выбором параметров системы приводит к умень­шению флуктуационной ошибки. Это следует учитывать при расчете САУ.

Уменьшения флуктуационной ошибки можно также добиться путем уменьшения пика АЧХ, т. е. выполнени­ем системы более узкополосной и достаточно задемпфированной (уменьшить – частоту среза разомкнутой системы).

8.9.4. Оценка флуктуационных ошибок, обусловленных

широкополосными воздействиями

Во многих случаях воздействие обладает широкополосным спектром и в пределах полосы пропу­скания САУ оказывается практически постоянным (рис. 8.13). При этих условиях флуктуационную ошибку с определенным приближением можно вычислить по формуле:

, (8.92)

где - полоса шумов САУ (эффективная полоса пропускания системы). Полосу шумов можно определить аналитически, пользуясь теоремой Парсеваля:

.

Заменяя на р, получим

, (8.93)

т. е. полоса шумов равна табличному интегралу , поли­номы числителя и знаменателя подынтегрального выра­жения которого совпадают с соответствующими полино­мами передаточной функции системы, умноженному на .

В табл. 8.1 приведены значения для некоторых элементарных звеньев и систем, выраженные через их параметры.

Учитывая, что спектральная плотность шума S_f(0)=S_f постоянна и задана на ограниченной полосе частот от до , иногда удобно использовать определение дисперсии на выходе системы

,

где - дисперсия на входе системы.

Пример 1. Определить системы с передаточ­ной функцией

.

Передаточная функция замкнутой системы

.

Следовательно,

.

Для приближенных расчетов можно положить

,

где — частота среза разомкнутой системы; — полоса пропускания замкнутой системы.

Таблица 8.1

K(p)

Пример 2. Рассчитать флуктуационную ошибку САУ, имеющей частоту среза =11сек^-1 и запас по фазе =45°.

По приближенным соот­ношениям находим

.

Флуктуационная ошибка

.

Полоса шумов по формуле (8.93)

.

Флуктуационная ошибка

.

Следовательно, приближенный метод расчета флуктуационной ошибки при приемлемых запасах устойчиво­сти имеет достаточную точность.

Лекция 31

План лекции:

1. Расчет дисперсии помехи с помощью корреляционной функции.

2. Вычисление среднеквадратической ошибки следящей системы.

3. Рекомендуемая литература [9].