8.8.2. Спектральное уравнение связи

между процессами на выходе и входе

линейных систем

Использование при расчетах соотноше­ний, содержащих интеграл (8.56), неудобно в связи с необходимостью двойного интегрирования. Поэтому це­лесообразно перейти от соотношений между корреляци­онными функциями во временной области к соотноше­ниям между спектральными плотностями в частотной области.

Для этого воспользуемся переходом к изображениям Фурье от корреляционных функций и импульсных пере­ходных функций в формуле (8.56) и получим выражение, связывающее спектральные плотности стационарных входной и выходной величин. Переходя к изображениям Фурье в (8.56), получим

, (8.69)

где - передаточная функция (пре­образование Лапласа от им­пульсной функции ), и — спектральные плотности входной и выходной величи­ны.

В результате

. (8.70)

Это же выражение можно получить из формулы (8.32).

Реализация выходной величины

,

где — частотная характеристика системы.

Спектральная плотность сигнала на выходе системы в соответствии с выражением (8.32) имеет вид:

.

Так как

,

то окончательно получим

или

.

Следовательно, спектральная плотность случайной функции на выходе линейной системы равна произведе­нию квадрата амплитудно-частотной характеристики этой системы на спектральную плотность случайной функции на входе.

Простота формулы (8.70 ) свидетельствует об удобст­ве спектрального метода исследования стационарных процессов. Из формул (8.44) и (8.70) следует, что дис­персия выходной величины в этом случае определяется по формуле:

. (8.71)

Рассмотрим процесс прохождения случайного сигнала через дифференцирующее и инте­грирующее звенья.

Спектральная плотность случайного сигнала на выхо­де идеального дифференцирующего устройства (производной от входной величины) с передаточной функцией равна произведению спектральной плотности входной величины на :

,

т. е. дифференцирующее звено ослабляет сигналы низких частот и усиливает сигналы высоких частот. Если помехи содержат составляющие высоких частот, то ошибки системы могут быть суще­ственно увеличены.

Соответственно спектральная плотность сигнала на выходе идеального интегрирующего звена с характери­стикой равна:

.

Введение интегрирующего звена уменьшает амплиту­ды высокочастотных составляющих и увеличивает низко­частотные составляющие. Ошибки системы от воздейст­вия помех, имеющих широкий спектр, при наличии инте­грирующего звена уменьшаются.

В случае прохождения стационарного случайного сиг­нала через линейную систему иногда необходимо знать, как изменяется плотность вероятности. При стационарном нормальном сигнале на входе сигнал на выходе системы также будет нормальным.

Практически довольно часто «ширина» кривой спект­ральной плотности входного сигнала значительно превы­шает полосу пропускания системы. В этих случаях неза­висимо от вида кривой плотности вероятности входного сигнала выходной сигнал будет иметь плотность веро­ятности, близкую к нормальной.

Это означает, что при прохождении стационарного случайного сигнала через узкополосную систему этот процесс нормализуется, т. е. приближается к нормаль­ному.