3. Логарифмические амплитуднные и фазовые

ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

В настоящее время наибольшее применение получили логариф­мические частотные характеристики. Их применяют как для анализа, так и для синтеза линейных и нелинейных систем автоматического управления.

Такое признание логарифмические характеристики получили бла­годаря своим достоинствам, которые, прежде всего, сводятся к простоте их построения и наглядности получаемых результатов.

Построение ЛАФЧХ производится фактически без расчётов по из­вестным логарифмическим характеристикам типовых звеньев с приме­нением шаблонов этих характеристик. Структурная схема САУ должна быть сведена при этом к схеме, состоящей из последовательно соединённых типовых звеньев с единичными местными обратными свя­зями. К указанному виду можно свести любую схему на основании пра­вил преобразования структурных схем.

Эквивалентная передаточная функция последовательно соединенных звеньев равна произведению передаточных функций этих звеньев, т.е.

.

Следовательно

,

или

. (3.26)

На основании (3.26) будем иметь:

; (3.27)

. (3.28)

В результате логарифмирования выражения (3.28) получим

, (3.29)

т.е. в логарифмическом масштабе амплитудная частотная характеристика последовательно соединенных звеньев равна сумме амплитуд­ных характеристик отдельных звеньев. Это позволяет строить логарифмические амплитудные и фазовые частотные характеристики (ЛАФЧХ) разомкнутых систем путем геометрического сложения соответствую­щих характеристик типовых звеньев, на которые разбивается систе­ма. Это существенно сокращает время построения частотных харак­теристик сложных САУ.

Для практических целей удобнее пользоваться десятичными логарифмами и строить отдельно логарифмическую амплитудную частот­ную характеристику (ЛАХ) и логарифмическую фазовую частотную ха­рактеристику (ЛФХ). Для построения ЛАХ находится величина

. (3.30)

Эта величина выражается в децибелах. Бел представляет собой логарифмическую единицу, соответствующую десятикратному увеличе­нию мощности. Один бел соответствует увеличению мощности в 10 раз, 2 бела - в 100 раз, 3 бела - в 1000 раз и т.д.

Децибел равен одной десятой части бела. Если бы было отношением мощностей, то перед логарифмом в правой части (3.30) должен был бы стоять множитель 10. Так как представля­ет собой отношение не мощностей, а выходной и входной величин (перемещений, скоростей, напряжений, токов и т.п.), то увеличение этого отношения в десять раз будет соответствовать увеличению от­ношения мощностей в сто раз, что соответствует двум белам или двадцати децибелам. Поэтому в правой части (3.30) стоит множитель 20.

Для построения ЛАЧХ и ЛФЧХ используется стандартная сетка (рис. 3.2). По оси абсцисс откладывается угловая частота в лога­рифмическом масштабе, т.е. наносятся отметки, соответствующие , и пишется само значение частоты  в рад/сек. Для этой цели можно использовать специальную полулогарифмическую бумагу. За единицу приращения принимают декаду, соответству­ющую десятикратному изменению частоты. Применяется также деление оси абсцисс на октавы. Октава соответствует изменению частоты в два раза.

Рис 3.2

По оси ординат откладывается модуль в децибелах (дБ). Для этой цели на ней наносится равномерный масштаб. Ось абсцисс должна проходить через точку 0 дБ , что соответствует значению мо­дуля (т.е. ). Ось ординат может пересе­кать ось абсцисс (ось частот) в произвольном месте. Следует учесть, что точка лежит на оси частот слева в бесконечности, т.к. . Поэтому ось ординат проводят так, чтобы справа от нее можно было показать весь ход ЛАЧХ.

Для построения ЛФЧХ используется та же ось абсцисс (ось частот). По оси ординат откладывается фаза в градусах в линейном масштабе. Построение ЛАФЧХ ведется с помощью шаблонов, поэтому це­лесообразно придерживаться следующих масштабов: 1 дБ = 2 мм; 1° = 1 мм; 1 дек. = 50 мм.

Лекция 8

План лекции:

1. ЛАФЧХ типовых звеньев.

2. Особенности частотных характеристик устойчивых и минимально-

фазовых звеньев.

3. Рекомендуемая литература [1, 3, 8].