3.2. Установившиеся ошибки следящих систем

Следящие системы обычно являются астатическими системами с астатизмом первого порядка, работающими при переменном управляю­щем воздействии. Для таких систем в установившемся режиме наиболее характерным является изменение входной величины по линейному закону с постоянной скоростью , чему соответствует операторное изображение вида

(3.8)

На основании выражений (3.1), (3.2), (3.8) при будем иметь

. (3.9)

Установившуюся ошибку следящей системы при вход­ном сигнале, изменяющимся с постоянной скоростью, называют ско­ростной ошибкой. Обозначив скоростную ошибку , а отноше­ние через , на основании (3.9), окончательно получим

. (3.10)

Постоянная величина

(3.11)

называется добротностью следящей системы по скорости и имеет размерность с^-1 . Она показывает величину установившейся ско­рости выходной оси следящей системы, развиваемой на единицу ско­ростной ошибки.

В следящей системе с астатизмом второго порядка () ско­ростная ошибка равняется нулю, вследствие этого установившуюся ошибку определяют при изменении входной величины по квадратичному закону с постоянным ускорением . При этом

; , (3.12)

где – добротность следящий системы по ускорению, имеющая размерность с^{- 2}.

Величины и зависят от параметров САУ. В одноконтурных системах без местных обратных связей они определяются как произведения передаточных коэффициентов звень­ев системы. В более сложных САУ при определении установив­шихся ошибок удобнее пользоваться не готовыми формулами, а тео­ремой о предельном значении функции (3.1). Применяя её к операторному изображению ошибки следящей системы в каждом конкретном случае.

В общем случае, если имеет произвольную форму и име­ет конечное число производных, то ошибку системы можно опреде­лить следующим образом. Найдём изображение ошибки

, (3.13)

где - передаточная функция замкнутой системы по ошибке;

- передаточная функция разомкнутой системы;

- изображение воздействия (задающего или возмущающего).

Разложим передаточную функцию по ошибке в ряд по возрастающим степеням комплексной величины

. (3.14)

Этот ряд сходится при малых значениях , т.е. при достаточно большом , что соответствует установившемуся процессу.

Переходя от изображения (3.1) к оригиналу, получаем форму­лу для установившейся ошибки

. (3.15)

Величины ,,…,С_m называют коэффициентами ошибок. Они могут определяться согласно общему правилу разложения функции в ряд Тейлора по формулам:

; ; ………; .

Так как передаточная функция по ошибке представляет собой дробно-рациональную функцию, то коэффициенты ошибок можно более просто получить делением числителя на знаменатель и сравнением получающегося ряда с выражением (3.14).

Коэффициент отличен от нуля только в статических сис­темах.

В системах с астатизмом первого порядка

; .

В системах с астатизмом второго порядка

; ; .

Если задающее воздействие имеет ограниченное число произ­водных, то ряд будет иметь ограниченное число членов.

Пример. Определить первые три коэффициента ошибки по задаю­щему воздействию, если передаточная функция разомкнутой системы имеет вид

.

Найдем передаточную функцию по ошибке

Делим числитель на знаменатель и получаем ряд

Таким образом, ; ; .

Если задающее воздействие в этой системе меняется по закону

; ; ,

то установившаяся ошибка будет равна

.

ЛЕКЦИЯ 7

План лекции: