8.9.5. Расчет дисперсии помехи с помощью

корреляционной функции

Для определения дисперсии помехи можно восполь­зоваться соотношением (8.25), согласно которому

. (8.94)

Если наряду с двусторонним преобразованием Фурье (8.27) и (8.29) рассмотреть односторонние преобразова­ния:

, (8.95)

, (8.96)

где — правая полуветвь двусторонней четной корреляционной функции; — ее комплексный спектр,

то расчеты по формуле (8.94) могут быть осуществлены, как у Шаталова А. С., в области изображений на основе предельного перехода:

(8.97)

Вследствие четности корреляционной функции и спектральной плотности между односторонним и двусторонним преобразованиями Фурье устанавливается зависимость:

, (8.98)

причем

, (8.99)

где — вещественная часть комплексного спектра; — его мнимая часть; — символическая запись операции опреде­ления по вещественной части комплекс­ного спектра его мнимой части.

Учитывая (8.99), формулу (8.97) можно предста­вить в виде

(8.100)

Помимо определения одной точки корреляционной функции (=0), часто требуется нахождение полной кор­реляционной функции по ее полуветви (>0),

т. е.

(8.101)

где — операция обратного преобразования Фурье.

Пример. Определить корреляцион­ную функцию на выходе системы при входном белом шуме единичного уровня.

Передаточная функция системы

(8.102)

или частотная характеристика

. (8.103)

Учитывая, что , имеем

(8.104)

В соответствии с (8.99) нетрудно установить, что комплексный спектр корреляционной функции на выходе системы должен иметь тот же знаменатель, что и ( 8.103). Поэтому

(8.105)

Раскрывая соотношение (8.98), определим неизвест­ные коэффициенты :

(8.106)

Из (8.106) следует тождество:

(8.107)

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степе­нях в левой и правой частях тождества (8.107), полу­чаем систему уравнений:

;

откуда

,

.

Таким образом, определен комплексный спектр кор­реляционной функции (8.105). В преобразованной по Лапласу форме его можно записать как

Путем обратного преобразования Лапласа находят всю правую полуветвь корреляционной функции:

для некратных полюсов .

На основе предельного перехода (8.97) можно опре­делить только выходную дисперсию

.

Аналогичным путем можно произвести расчет выход­ной корреляционной функции при произвольной стацио­нарной помехе. При этом входная спектральная плот­ность формируется из белого шума единичного уровня некоторым формирующим фильтром с передаточной функцией , определяемой из уравнения:

.

Полученные ранее формулы для частного вида пере­даточной функции (8.102) могут быть обобщены на пере­даточную функцию произвольного порядка.

Предложенная методика преобразования корреляци­онных функций помех позволяет однотипным методом на основе одних и тех же определителей с различными заме­щенными столбцами рассчитывать не только дисперсию, но и все свойства корреляционной функции на выходе си­стемы при заданном стационарном случайном воздейст­вии. В ряде случаев это дает некоторые расчетные пре­имущества по сравнению с непосредственными расчетами по формуле (8.41) даже при использовании табличных интегралов.