4. Спектральная плотность стационарного

эргодического случайного процесса

При статистическом анализе САУ для стационарных случайных функций удобно пользоваться спектральной плотностью случайной функции, т. е. изображением Фурье корреляционной функции:

, (8.27)

где является оригиналом, а изображением Фурье. Учитывая, что , а и вещественные четные функции, получим

. (8.28)

Спектральная плотность является положительной функцией во всем диапазоне частот от 0 до . Как и сама корреляционная функция, она не содержит сведений о фазах отдельных гармонических составляющих.

Если известна спектральная плотность случайной функции, то, пользуясь обратным преобразованием Фурье, можно получить корреляционную функцию

. (8.29)

С помощью соотношений (8.27) и (8.29) можно опре­делить спектральную плотность по заданной ана­литически или в виде графика корреляционной функции или наоборот - корреляционную функцию по заданной спектральной плотности.

Спектральная плотность может быть получена и непосредственно по реализации без предварительного вычисления корреляционной функции. Взаимное преобразование Фурье

,

где - текущий спектр процесса x(t).

,

связывает между собой вещественную функцию времени x(t) и комплексную функцию частоты , модуль которой называют спектральной плотностью амплитуд или амплитудной спектральной плотностью. Последняя позволяет получить величину (см. формулу (8.32)).

Физический смысл спектральной плотности может быть понятен из следующих рассуждений.

Средняя мощность стационарного процесса, например, в виде электрического тока, выделяемого на сопротивлении в 1 Ом, за время 2T может быть выражена формулой

(8.30)

Если увеличивать интервал наблюдения 2Т до бесконечных пределов, то от интегрирования по времени можно перейти к интегрированию по спектру (см. формулу Парсеваля) [9]:

. (8.31)

Внесем операцию определения предела в правой ча­сти под знак интеграла и введем обозначение подынтегральной функции:

. (8.32)

Подставляя (8.32) в соотношение (8.31), получим

. (8.33)

Интеграл в левой части характеризует мощность во всем возможном диапазоне частот. Поэтому каждая элементарная составляющая вида соответствует мощности в бесконечно узкой полосе частот d, а коэффициент - крутизне нарастания мощности по частоте:

, (8.34)

или плотности мощности в спектре.

В отличие от амплитудной спектральной плотности , определяющей плотность амплитуд составляющих на участке спектра , спектральная плотность характеризует распределение мощности составляющих в интервале частот .

Размерность спектральной плотности [x²*с], где х - размерность процесса. Иногда записывают приближенно

. (8.35)

Если случайные процессы x(t) и y(t) стационарны и стационарно связаны, то их взаимная спектральная плотность

, (8.36)

где - функция, комплексно сопряженная с функцией .