7. Суждение об устойчивости системы

ПО ЕЕ ЛИНЕЙНОЙ МОДЕЛИ

Рассмотренные выше критерии позволяют исследовать устойчивость САУ "в малом", так как они связаны с линейными уравнениями, полученными путем линеаризации исходных нелинейных уравнений. При этом линеаризация проводилась в предположении, что переменные, характеризующие систему, имеют малые приращения.

С помощью указанных критериев мы не можем судить об устойчивости системы "в большом" или о "неограниченной устойчивости".

Рассмотрим один из методов, который позволяет судить об устойчивости систем "в большом". Положим для простоты, что уравнение возмущенного движения исследуемой системы содержит всего одну однозначную нелинейную функцию

. (4.41)

Производя линеаризацию функции f(x_k), ее можно заменить линейной функцией

f(xk)cx_k, (4.42)

где c – постоянный коэффициент.

C учетом (4.42) уравнение (4.41) принимает вид

. (4.43)

Методом Д–разбиения можно определить диапазон изменения с*<c<c**, соответствующий устойчивому состоянию системы (с* и с** соответствуют границе устойчивости линейной модели).

Выберет такие значения cо, c1, c2, чтобы выполнялось следующее неравенство:

c*<c1<cо<c2<c**, (4.44)

где cо – численное значение коэффициента c, полученное в результате линеаризации функции f(x_k).

В плоскости нелинейной функции f(x_k) построим исходную нелинейную функцию и два луча c₁x_k и c₂x_k т.е.

В результате такого построения могут встретиться три случая, показанные на рис.4.16.

Рис. 4.16

Для них можно сделать следующие выводы об устойчивости исходной нелинейной системы по ее линейной модели:

1. Если нелинейная функция f(x_k) заключена между лучами c₁x_k и c₂x_k во всем диапазоне изменения x_k (рис.4.16а), то исходная нелинейная система неограниченно устойчива.

2. Если нелинейная функция f(x_k) заключена между лучами c₁x_k и c₂x_k лишь в окрестности начала координат при –x_k*<x_k<x_k** (рис.4.16б), то нелинейная система устойчива "в малом".

Если реальные отклонения переменной xk не превышают x_k*, то можно считать, что исходная нелинейная система устойчива "в большом".

3. Если нелинейная функция f(x_k) не заключена между лучами c₁x_k и c₂x_k даже в окрестности начала координат, то по линейной модели нельзя установить устойчивость исходной нелинейной системы даже “в малом”.

Рассмотренный метод может быть применен также в том случае, когда нелинейная функция зависит от нескольких переменных, а система содержит переменные параметре. Применение метода возможно лишь для системы, уравнения которой (4.41) содержат линеаризуемые функции.

5. Качество сау

Лекция 13

План лекции:

1. Рассказать об основных показателях качества САУ.

2. Методы построения переходных характеристик.

3. Рекомендуемая литература [1, 2, 4, 7].

5.1. Основные показатели качества

Устойчивость является необходимым, но не достаточным условием нормальной работы САУ. В устойчивой системе могут возникать собственные колебания с недопустимо большой амплитудой и временем затухания. О качестве регулирования судят по поведению систем в переходном режиме, т.е. при переходе САУ из одного установившегося состояния в другое.

Показатели качества чаще всего определяются по виду переходной характеристики, т.е. по графику переходного процесса, построенному при единичном ступенчатом воздействии на систему :

.

В следящих системах иногда задают воздействия, изменяющиеся во времени с постоянной скоростью или постоянным ускорением.

К основным показателям качества относят время переходного процесса t_ПП , пере­регулирование σ%, максимальное отклонение регулируемой величины х_m , установившееся значение регулируемой величины х_у или статическую ошибку, полосу пропускания ω_п и др.

1. Время переходного процесса t_ПП характеризует быстродействие системы и определяется как интервал времени от начала переходного процесса до момента, когда отклонение выходной величины от ее нового установившегося значения становятся меньше определенной достаточно малой величины. Обычно в качестве последней берут 5% максимального отклонения в переходный период (рис. 5.1 в).

2. Максимальное отклонение в переходный период. В случае переходного процесса, вызванного возмущением, максимальное отклонение определяется величиной х_m , приходящейся на единицу возмущения f = 1(t). В случае переходных процессов, вызванных изменением задающего воздействия, максимальное отклонение определяется относительно нового установившегося значения х_у и равно в процентах

Заметим, что эта величина аналогична предыдущей, поскольку здесь х_у пропорционально задающему воздействию. Величина σ часто называется перерегулированием.

3. Колебательность переходного процесса оценивают отношением соседних максимумов х_m1/ х_m2 в процентах.

Незатухающие колебания имеют колебательность 100%. Колебательность стремится к нулю при уменьшении до нуля второго максимума переходной характеристики, когда получается неколебательный процесс.

Иногда колебательность определяется числом колебаний, равным числу минимумов кривой переходного процесса в интервале времени.

Приемлемым числом колебаний в САУ считается 1–2, иногда допускается 3 и более колебаний.

4. Установившееся значение регулируемой величины х_у зависит от астатизма САУ. В астатических системах установившаяся ошибка равна нулю и установившееся значение регулируемой величины будет равно её заданному значению, т.е. управляющей величине. В статических системах установившееся значение регулируемой величины будет отличаться от её заданного значения на величину установившейся ошибки.

Рис. 5.1

Установившаяся ошибка в статической системе х_ст зависит от величины входного воздействия f₀ и от коэффициента передачи системы k.

Для задающего воздействия

Для возмущающего воздействия

где k_o6 – коэффициент передачи объекта регулирования; k_р – коэффициент передачи регулятора.

Относительная величина установившейся ошибки называется коэффициентом статизма системы и определяется по формуле

.

Коэффициент статизма системы относительно задающего воздействия определяется выражением

а относительно возмущающего воздействия имеет вид

5. Показателем качества может служить также характер переходного процесса (монотонный или колебательный). Переходный процесс считается монотонным, если производная от регулируемой величины по времени не меняет знак. На рис. 5.1б показаны примеры колебательных (1, 2, 3, 6) и монотонных (4, 5) переходных процессов.

Полоса пропускания системы ω_П определяется диапазоном частот внешних воздействий, проходящих через систему с той или иной степенью искажения. Полосу пропускания определяют по частотным характеристикам, например, по вещественной характеристике системы (рис. 5.1в).