1.10.3. Эмпирическая и теоретическая функции распределения

При выборочном исследовании распределение значений непрерывного признака y в генеральной совокупности неизвестно.

Образуем некоторую выборку значений признака у и построим по ней дискретный ряд распределения (табл. 1.10.1). Это распределение называется эмпирическим, так как оно получено эмпирически (измерением признака y у единиц выборки).

Таблица 1.10.1

Эмпирическое распределение признака y

Варианты -	Частоты -
	n

Для любого числа х из числового промежутка обозначим через число значений признака y в выборке, меньших числа х. Отношение является относительной частотой события: значение признака y меньше числа х.

Каждому числу х соответствует только одна относительная частота . Поэтому определена функция:

. (1.10.1)

Так как

, ,…,

, , (1.10.2)

то, зная функцию (1.10.1), можно найти эмпирическое распределение относительных частот значений признака у. Поэтому функция (1.10.1) называется эмпирической функцией распределения.

Пример 1.10.1. Построим эмпирическую функцию распределения признака y, зная его распределение в выборке (табл. 1.10.2).

Таблица 1.10.2

Эмпирическое распределение признака y

Варианты -	Частоты -	Относительные частоты -
2	12	0,2
6	18	0,3
10	30	0,5
	60	1,0

Объем выборки равен 60.

Значение признака y, меньшее числа 2, не наблюдалось. Поэтому и, следовательно, при .

Значение признака y, меньшее числа 6, т.е. наблюдалось 12 раз. Поэтому и, следовательно, при .

Значения признака y, меньшие числа 10, т.е. и наблюдались 12+18 =30 раз. Поэтому и, следовательно, при .

Так как  наибольшая варианта, то при и, следовательно, при .

Таким образом, эмпирической функцией данного распределения является функция

(1.10.3)

График функции (1.10.3) изображен на рис. 1.10.5.

F

1

0 2 6 10

Рис. 1.10.5. График функции (1.10.3)

Из формул (1.10.2) следует, что функция (1.10.3) определяет эмпирическое распределение с вариантами , , и соответствующими относительными частотами 0,2 (0,20), 0,3 (0,50,2), 0,5 (10,5).

Функция (1.10.1) обладает следующими свойствами:

1. функция определена на всей числовой оси;

2. функция  неубывающая;

3. если  наименьшая варианта, то при ;

4. если  наибольшая варианта, то при .

При неограниченном увеличении объема выборки n относительная частота стремится к вероятности события: значение признака y меньше числа х, а функция (1.10.1) приближается к функции , значениями которой являются вероятности события: значение признака y меньше числа х.

Функция называется теоретической функцией распределения, она определяет теоретическое распределение значений признака y в генеральной совокупности.

В математической статистике доказывается, что теоретическая функция непрерывного распределения дифференцируема. Производная называется функцией плотности вероятностей, а ее график  теоретической кривой распределения.

При неограниченном увеличении объема выборки полигон относительных частот стремится к теоретической кривой распределения. Поэтому полигон относительных частот называется также эмпирической кривой распределения.

Теоретическое распределение можно рассматривать как математическую модель эмпирического распределения, в которой исключены влияния случайных факторов. С другой стороны, эмпирическую функцию распределения признака у в выборке можно использовать для приближенного представления теоретической функции признака у в генеральной совокупности.