1.9. Показатели вариации

Под влиянием ряда факторов значения признака, измеренного у различных единиц статистической совокупности, могут различаться. Такое различие называется вариацией (от латинского слова variatio – изменение, колеблемость, различие). Колеблемость значений признака характеризуется показателями вариации.

1.9.1. Абсолютные показатели вариации

Простейшим показателем вариации является размах вариации R – разность между наибольшим и наименьшим значениями признака х:

(1.9.1)

Размах вариации оценивает только отклонения крайних значений признака.

Пример 1.9.1. Вычислим размах товарооборота по данным табл. 1.9.1.

Таблица 1.9.1

Распределение магазинов по объему товарооборота

Объем товарооборота - , млн. руб.	Число магазинов -
95	28
105	48
115	20
125	4

Так как наибольшее и наименьшее значения товарооборота равны соответственно 125 и 95 млн. руб., то размах вариации R составляет 30 млн. руб.(12595=30).

Следующим показателем вариации является среднее линейное отклонение  арифметическое среднее значение абсолютных величин разностей значений признака и его арифметического среднего значения.

Если значения признака х несгруппированы, то среднее линейное отклонение вычисляется по формуле:

. (1.9.2)

Если значения признака х сгруппированы и представлены в виде дискретного ряда распределения, то среднее линейное отклонение вычисляется по формуле:

. (1.9.3)

Среднее линейное отклонение , вычисленное по формуле (1.9.3), называется средним линейным отклонением дискретного ряда распределения.

Заметим, что разности берутся в формулах (1.9.2) и (1.9.3) по абсолютной величине потому, что по свойству 5 арифметического среднего значения признака (стр. 62)

.

Пример 1.9.2. Вычислим среднее линейное отклонение товарооборотов магазинов по данным табл. 1.9.1. Составим расчетную табл. (1.9.2).

Таблица 1.9.2

Расчетные показатели

95	28	2660	280
105	48	5040	0
115	20	2300	200
125	4	500	80
	100	10500	560

Применяя формулы (1.8.3), (1.9.3) и суммы в итоговой строке табл. 1.9.2, получим:

млн. руб., млн. руб.

Таким образом, товарообороты магазинов отклоняются от среднего товарооборота в среднем на 5,6 млн. руб.

Более точно характеризует вариацию показатель, называемый дисперсией. Если значения признака х несгруппированы или сгруппированы и представлены дискретным рядом распределения, то дисперсия признака х вычисляется соответственно по формулам:

(1.9.4)

и

. (1.9.5)

Дисперсия, вычисленная по формуле (1.9.5) называется дисперсией дискретного ряда распределения.

Арифметический квадратный корень из дисперсии является квадратическим средним значением квадратов отклонений значений признака от его арифметического среднего значения. Поэтому показатель называется среднеквадратическим отклонением.

Пример 1.9.3. Вычислим дисперсию и среднеквадратическое отклонение товарооборота магазинов по данным табл. 1.9.1.

Среднее значение дискретного ряда распределения, представленного в табл. 1.9.1, равно 105 млн. руб. (пример 1.9.2).

Для вычисления дисперсии составим расчетную табл. 1.9.3.

Таблица 1.9.3