1.8.4. Квадратическое среднее значение

Квадратическим средним значением признака х называется квадратный корень из арифметического среднего квадратов значений признака х.

Если значения признака х несгруппированы, то его квадратическое среднее значение вычисляется по формуле:

= . (1.8.12)

Пример 1.8.8. По данным табл. 1.8.1 вычислим квадратическое среднее значение:

= 17,87.

Если значения признака х сгруппированы и представлены в виде дискретного ряда, то среднее квадратическое вычисляется по формуле:

= . (1.8.13)

Формулы (1.8.12) и (1.8.13) называются соответственно формулами простого и взвешенного квадратического среднего.

Если значения признака х сгруппированы и представлены в виде интервального ряда распределения, то его квадратическое среднее значение вычисляется как квадратическое среднее значение признака х, представленного соответствующим дискретным рядом.

Упражнение 1.8.4. Вычислите квадратическое среднее значение по данным табл. 1.8.3.

Средние арифметическое , гармоническое , геометрическое и квадратическое значения признака х, вычисленные по одной и той же совокупности его значений, удовлетворяют неравенствам:

. (1.8.14)

Пример 1.8.9. Даны значения 11, 13 и 16 признака x. Вычислим его средние значения:

= =13,33,

= =13,02,

= =13,18,

= =13,49.

Полученные средние значения удовлетворяют неравенствам (1.8.14).

С помощью статистических функций СРЗНАЧ, СРГАРМ и СРГЕОМ в Excel вычисляются средние соответственно арифметическое, гармоническое и геометрическое значения признака по его несгруппированным значениям.

На рис. 1.8.3 изображен лист, на котором вычислены средние зна-чения по данным примера 1.8.9.

Заметим, что формулы (1.8.2), (1.8.6), (1.8.12) и (1.8.3), (1.8.8), (1.8.13) являются частными случаями соответственно формул:

(1.8.15)

и

(1.8.16)

при и 2.

Рис. 1.8.3. Средние значения признака

Средние значения, вычисляемые по формулам (1.8.15) и (1.8.16), называются степенными средними значениями, при – кубическим, при – биквадратным.

Упражнение 1.8.5. Применяя функции СРЗНАЧ, СРГАРМ и СРГЕОМ вычислите арифметическое, гармоническое и геометрическое средние значения чисел 10, 12, 14, 16, 18.

1.8.5. Среднее значение альтернативного признака

Условимся считать, что альтернативный признак х, измеренный у единицы статистической совокупности, принимает значение 1 или 0, если эта единица соответственно обладает или не обладает признаком х.

Обозначим долю единиц совокупности, обладающих признаком х, через р, а не обладающих – через q (p+q=1). Вычисляя среднее значение признака х по формуле (1.8.3), получим:

, (1.8.17)

т.е. среднее значение альтернативного признака совпадает с долей единиц статистической совокупности, обладающих этим признаком.

Пример 1.8.10. Три предприятия изготовили 400, 300 и 500 изделий, из которых нестандартными оказались соответственно 12, 8 и 10 изделий. Вычислим среднее значение признака «изделие  нестандартное» по формуле (1.8.17):

Таким образом, среднее значение признака «изделие  нестандартное» равно 0,025.

Упражнение 1.8.6. Вычислите среднее значение признака «студент получил неудовлетворительную оценку за контрольную работу по статистике», если из 24 студентов группы 20 студентов получили положительную оценку.

Тест 1.8.

1. При делении всех частот дискретного ряда на объем ряда n среднее арифметическое:

а) уменьшится на число n;

б) уменьшится в n раз;

в) не изменится;

г) увеличится.

2. При умножении всех вариант дискретного ряда на число 2 среднее арифметическое:

а) увеличится на число 2;

б) увеличится в 2 раза;

в) не изменится;

г) уменьшится.

3. Если к каждой варианте дискретного ряда прибавить число 3, то среднее арифметическое:

а) увеличится на число 3;

б) увеличится в 3 раза;

в) не изменится;

г) уменьшится.

4. При делении всех частот дискретного ряда на объем ряда n среднее гармоническое:

а) уменьшится на число n;

б) уменьшится в n раз;

в) не изменится;

г) увеличится.

5. При умножении всех вариант дискретного ряда на число 2 среднее гармоническое:

а) уменьшится в 2 раза;

б) увеличится в 2 раза;

в) не изменится;

г) увеличится на число 2.

6. Если каждую варианту дискретного ряда, объем которого равен 100, умножить на число 3, то среднее геометрическое:

а) увеличится в раза;

б) увеличится в 3 раза;

в) не изменится;

г) уменьшится.

7. Расположите в порядке неубывания следующие средние:

а) квадратичное среднее;

б) геометрическое среднее;

в) арифметическое среднее;

г) гармоническое среднее.