- •1. Краткая характеристика систем класса Maple
- •Урок 1.
- •Первое знакомство с системой Maple 7
- •Краткая характеристика систем класса Maple
- •2. Версии систем класса Maple. Версии систем класса Maple
- •3. Об ошибках в символьных вычислениях Об ошибках в символьных вычислениях
- •4. Ядро и пакеты Maple 7 Ядро и пакеты Maple 7
- •5. Языки системы Maple 7 Языки системы Maple 7
- •6. Ориентация систем Maple Ориентация систем Maple
- •7. Возможности предшествующей версии Maple 6 Возможности предшествующей версии Maple 6
- •8. Новые возможности системы Maple 7 Новые возможности системы Maple 7
- •9. Установка системы Maple 7 на пк Установка системы Maple 7 на пк
- •10. Установка системы Maple 7 Установка системы Maple 7
- •13. Меню системы Maple 7 Меню системы Maple 7
- •14. Палитры ввода математических символов Палитры ввода математических символов
- •15. Всплывающие подсказки Всплывающие подсказки
- •16. Основы работы с Maple 7 в диалоговом режиме Основы работы с Maple 7 в диалоговом режиме
- •17. Понятие о функциях и операторах Понятие о функциях и операторах
- •18. Обработка и индикация ошибок Обработка и индикация ошибок
- •20. Примеры задания функции пользователя и построения ее графика Примеры задания функции пользователя и построения ее графика
- •21. Пример построения трехмерного графика поверхности Пример построения трехмерного графика поверхности
- •22. Управление формой представления документа Управление формой представления документа
- •23. Представление входных выражений в математической форме Представление входных выражений в математической форме
- •24. Символьные вычисления Символьные вычисления
- •27. Пример решения системы линейных уравнений Пример решения системы линейных уравнений
- •28. Повышение эффективности работы с системой Повышение эффективности работы с системой
- •29. Работа с контекстной панелью Работа с контекстной панелью
- •30. Контекстная панель инструментов для двумерных графиков Контекстная панель инструментов для двумерных графиков
- •31. Контекстная панель инструментов для трехмерных графиков Контекстная панель инструментов для трехмерных графиков
- •32. Строка состояния Строка состояния
- •33. Горячие клавиши системы Горячие клавиши системы
- •34. Доступ к справкам и примерам Доступ к справкам и примерам
- •2. Просмотр введения Просмотр введения
- •3. Оперативная справка по контексту Оперативная справка по контексту
- •4. Обучающий курс New User's Tour Обучающий курс New User's Tour
- •6. Правила работы со справочной системой Правила работы со справочной системой
- •7. Предметный поиск Предметный поиск
- •8. Предметный поиск с полным обзором текста справки Предметный поиск с полным обзором текста справки
- •9. История работы со справкой История работы со справкой
- •2. Меню File Меню File
- •3. Создание нового документа Создание нового документа
- •4. Открытие документа Открытие документа
- •5. Сохранение документа Сохранение документа
- •6. Запись документа на диск с переименованием Запись документа на диск с переименованием
- •7. Экспорт файлов. Экспорт файлов
- •8. Закрытие документа Закрытие документа
- •11. Печать документов Печать документов
- •12. Предварительный просмотр страниц Предварительный просмотр страниц
- •13. Установка параметров принтера Установка параметров принтера
- •14. Редактирование документов Редактирование документов
- •18. Копирование объекта в буфер Копирование объекта в буфер
- •21. Вставка из буфера обмена в документ Вставка из буфера обмена в документ
- •22. Вставка из буфера обмена в формате Maple-текста Вставка из буфера обмена в формате Maple-текста
- •26. Включение и выключение режима ввода текста Включение и выключение режима ввода текста
- •27. Операции разделения и объединения объектов
- •30. Операции вставки Операции вставки
- •37. Меню Spreadsheet Меню Spreadsheet
- •38. Работа с электронными таблицами Работа с электронными таблицами
- •44. Установка стилей. Установка стилей
- •50. Вставка объектов Вставка объектов
- •52. Что нового мы узнали?
- •2. Управление показом панели инструментов (Toolbar) Управление показом панели инструментов (Toolbar)
- •3. Управление показом контекстной панели
- •6. Установка масштаба отображения документа Установка масштаба отображения документа
- •7. Установка закладок Установка закладок
- •8. Управление показом компонентов документа Управление показом компонентов документа
- •9. Управление показом непечатаемых символов. Управление показом непечатаемых символов
- •10. Управление показом областей секций Управление показом областей секций
- •11. Управление показом областей секций Управление показом областей секций
- •12. Управление показом областей ячеек (Show Group Ranges) Управление показом областей ячеек (Show Group Ranges)
- •13. Закрытие всех секций Закрытие всех секций
- •14. Раскрытие всех секций Раскрытие всех секций
- •15. Работа с параметрами Maple 7 Работа с параметрами Maple 7
- •16. Управление выводом Управление выводом
- •17. Установка режима вставки новой ячейки Установка режима вставки новой ячейки
- •18. Задание браузера Задание браузера
- •21. Установка параметров вывода Установка параметров вывода
- •22. Контроль за предполагаемыми переменными (Assumed Variables) Контроль за предполагаемыми переменными (Assumed Variables)
- •23. Управление показом графиков Управление показом графиков
- •18A.Gif
- •26. Работа с окнами Работа с окнами
- •32. Закрытие всех окон одновременно Закрытие всех окон одновременно
- •2. Зарезервированные слова Зарезервированные слова
- •3. Выражения и основы работы с ними Выражения и основы работы с ними
- •7. Простые типы данных Простые типы данных
- •12. Списки выражений Списки выражений
- •13. Массивы, векторы и матрицы Массивы, векторы и матрицы
- •14. Таблицы Таблицы
- •16. Неисполняемые программные комментарии Неисполняемые программные комментарии
- •17. Константы Константы
- •18. Строковые константы Строковые константы
- •19. Встроенные в Ядро константы Встроенные в ядро константы
- •20. Идентификация констант.
- •22. Переменные Переменные
- •23. Идентификаторы (имена) переменных Идентификаторы (имена) переменных
- •24. Присваивание переменным значений Присваивание переменным значений
- •25. Отмена операции присваивания и команда restart Отмена операции присваивания и команда restart
- •2. Бинарные (инфиксные) операторы Бинарные (инфиксные) операторы
- •4. Унарные арифметические операторы Унарные арифметические операторы
- •5. Оператор % и команда history Оператор % и команда history
- •7. Специальные типы операторов Специальные типы операторов
- •8. Функциональные операторы Функциональные операторы
- •9. Нейтральные операторы, определяемые пользователем Нейтральные операторы, определяемые пользователем
- •10. Определение операторов с помощью оператора define Определение операторов с помощью оператора define
- •11. Математические функции Математические функции
- •12. Некоторые целочисленные функции и факториал Некоторые целочисленные функции и факториал
- •13. Тригонометрические функции Тригонометрические функции
- •14. Обратные тригонометрические функции Обратные тригонометрические функции
- •15. Гиперболические функции Гиперболические функции
- •22. Преобразование списков в векторы и матрицы Преобразование списков в векторы и матрицы
- •23. Операции с векторами Операции с векторами
- •27. Интерактивный ввод строк Интерактивный ввод строк
- •28. Обработка строк Обработка строк
- •29. Преобразование строки в математическое выражение Преобразование строки в математическое выражение
- •2. Основной способ задания функции пользователя Основной способ задания функции пользователя
- •3. Графическая визуализация результатов выполнения функций пользователя Графическая визуализация результатов выполнения функций пользователя
- •4. Импликативные функции Импликативные функции
- •5. Условные выражения Условные выражения
- •7. Операторы пропуска и прерывания Операторы пропуска и прерывания
- •8. Процедуры и процедуры-функции Процедуры и процедуры-функции
- •9. Оператор возврата значения return Оператор возврата значения return
- •10. Статус переменных в процедурах и циклах Статус переменных в процедурах и циклах
- •11. Объявления переменных локальными с помощью оператора local Объявления переменных локальными с помощью оператора local
- •12. Объявления переменных глобальными с помощью слова global Объявления переменных глобальными с помощью слова global
- •13. Функция вывода сообщений об ошибках error Функция вывода сообщений об ошибках error
- •14. Ключи в процедурах Ключи в процедурах
- •Ключ remember
- •Ключ builtin
- •16. Средства контроля и отладки процедур Средства контроля и отладки процедур
- •17. Работа с отладчиком программ Работа с отладчиком программ
- •18. Операции ввода и вывода Операции ввода и вывода
- •19. Создание своей библиотеки процедур Создание своей библиотеки процедур
- •20. Запись и считывание данных Запись и считывание данных
- •21. Вывод в специальных форматах Вывод в специальных форматах
- •22. Генерация кодов на языке Фортран Генерация кодов на языке Фортран
- •23. Генерация кодов на языке с Генерация кодов на языке с
- •24. Дополнительные возможности Maple-языка Дополнительные возможности Maple-языка
- •25. Модули. Модули
- •26. Макросы Макросы
- •27. Внешние вызовы Внешние вызовы
- •28. Вызов внешних процедур, написанных на языке с Вызов внешних процедур, написанных на языке с
- •29. Что нового мы узнали? Что нового мы узнали?
- •1. Вычисление сумм последовательностей Урок 8. Математический анализ.
- •2. Последовательности с заданным числом членов Последовательности с заданным числом членов
- •3. Суммы с заданным пределом Суммы с заданным пределом
- •17. Вычисление кратных интегралов Вычисление кратных интегралов
- •18. Вычисление пределов функций Вычисление пределов функций
- •19. Разложение функций в ряды Разложение функций в ряды
- •20. Разложение в ряды Тейлора и Маклорена Разложение в ряды Тейлора и Маклорена
- •21. Пример документа — разложение синуса в ряд Пример документа — разложение синуса в ряд
- •23. Решение одиночных нелинейных уравнений Решение одиночных нелинейных уравнений
- •33. Решение рекуррентных уравнений — rsolve Решение рекуррентных уравнений — rsolve
- •34. Решение уравнений в целочисленном виде — isotve Решение уравнений в целочисленном виде — isolve
- •35. Функция msolve. Функция msolve
- •36. Что нового мы узнали?
- •2. Работа с уровнями вложенности выражений Работа с уровнями вложенности выражений
- •3. Преобразование выражений в тождественные формы Преобразование выражений в тождественные формы
- •4. Преобразование выражений Преобразование выражений
- •5. Контроль за типами объектов Контроль за типами объектов
- •6. Подстановки
- •15. Комплектование по степеням Комплектование по степеням
- •16. Программирование символьных операций Программирование символьных операций
- •2. Основная функция построения двумерных графиков — plot Основная функция построения двумерных графиков plot
- •3. Задание координатных систем двумерных графиков Задание координатных систем двумерных графиков
- •4. Управление стилем и цветом линий двумерных графиков Управление стилем и цветом линий двумерных графиков
- •5. Основные типы двумерных графиков Основные типы двумерных графиков
- •6. Управление диапазоном изменения переменной и значения функции Управление диапазоном изменения переменной и значения функции
- •9. Графики нескольких функций на одном рисунке Графики нескольких функций на одном рисунке
- •11. Графики функций, заданных своими именами Графики функций, заданных своими именами
- •12. Графики функций с ординатами, заданными вектором Графики функций с ординатами, заданными вектором
- •16. Графики функций в полярной системе координат Графики функций в полярной системе координат
- •17. Построение трехмерных графиков Построение трехмерных графиков
- •18. Параметры функции plot3d Параметры функции plot3d
- •19. Выбор и пересчет координат трехмерных графиков Выбор и пересчет координат трехмерных графиков
- •Invcasscylindrical:
- •Invellcylindrical:
- •Invoblspheroidal:
- •Invprospheroldal:
- •20. Построение поверхностей Построение поверхностей
- •21. Построение фигур в различных системах координат Построение фигур в различных системах координат
- •23. Масштабирование трехмерных фигур и изменение углов их обзора Масштабирование трехмерных фигур и изменение углов их обзора
- •25. Быстрое построение графиков Быстрое построение графиков
- •26. Быстрое построение трехмерных графиков smartplot3d Быстрое построение трехмерных графиков smartplot3d
- •27. Специальные приемы построения трехмерных графиков Специальные приемы построения трехмерных графиков
- •30. Двумерные и трехмерные графические структуры Двумерные и трехмерные графические структуры
- •31. Графические структуры двумерной графики Графические структуры двумерной графики
- •32. Графические структуры трехмерной графики Графические структуры трехмерной графики
- •1. Пакет plots Урок 12. Расширенные средства графики
- •2. Построение графиков функций в двумерной полярной системе координат
- •3. Построение двумерных графиков типа implidtplot
- •4. Построение графиков линиями равного уровня
- •5. График плотности
- •6. Двумерный график векторного поля
- •7. Трехмерный график типа implidtplot3d
- •8. Графики в разных системах координат
- •9. Графики типа трехмерного поля из векторов
- •10. Контурные трехмерные графики
- •11. Техника визуализации сложных пространственных фигур
- •13. Проигрыватель анимированной графики
- •14. Построение двумерных анимированных графиков
- •15. Построение трехмерных анимационных графиков
- •16. Анимация с помощью параметра insequence
- •17. Графика пакета plottools
- •18. Примеры применения двумерных примитивов пакета plottools
- •19. Примеры применения трехмерных примитивов пакета plottools
- •20. Построение графиков из множества фигур
- •21. Анимация двумерной графики в пакете plottools.
- •22. Анимация трехмерной графики в пакете plottools
- •23. Расширенные средства графической визуализации
- •24. Визуализация решения систем линейных уравнений
- •25. Визуализация решения систем неравенств
- •26. Конформные отображения на комплексной плоскости
- •27. Графическое представление содержимого матрицы
- •28. Визуализация ньютоновских итераций в комплексной области
- •29. Визуализация корней случайных полиномов
- •30. Визуализация поверхностей со многими экстремумами
- •31. Визуализация построения касательной и перпендикуляра
- •32. Визуализация вычисления определенных интегралов
- •33. Визуализация теоремы Пифагора
- •34. Визуализация дифференциальных параметров кривых
- •36. Построение сложных фигур в полярной системе координат
- •37. Построение сложных фигур импликативной графики
- •38. Расширенная техника анимации
- •39. Наблюдение кадров анимации поверхности
- •40. Новая функция для построения стрелок arrow
- •41. Построение сложных комбинированных графиков
- •42. Что нового мы узнали?
- •1. Основные средства решения дифференциальных уравнений Урок 13. Решение дифференциальных уравнений
- •2. Решение оду первого порядка
- •3. Решение дифференциальных уравнений второго порядка
- •4. Решение систем дифференциальных уравнений
- •5. Численное решение дифференциальных уравнений
- •6. Дифференциальные уравнения с кусочными функциями
- •8. Инструментальный пакет решения дифференциальных уравнений dEtools.
- •9. Основные функции пакета dEtools
- •11. Функция dEplotna пакета dEtools
- •12. Функция dEplot3d из пакета dEtools
- •13. Функция pdEplot пакета dEtools.
- •14. Графическая функция dfieldplot
- •15. Графическая функция phaseportrait
- •16. Углубленный анализ дифференциальных уравнений
- •17. Проверка ду на автономность
- •18. Контроль уровня вывода решения ду
- •19. Приближенное полиномиальное решение ду
- •20. Что нового мы узнали?
- •1. Назначение пакетов расширения и обращение к ним Урок 14. Математические пакеты
- •2. Обзор пакетов
- •3. Новые пакеты Maple 7
- •4. Получение информации о конкретном пакете
- •5. Пакеты функций комбинаторики
- •6. Пакет combstruct
- •7. Пакет финансово-экономических функций finance
- •8. Пакет ортогональных многочленов orthopoly
- •10. Работа с пакетом sumtools
- •11. Пакет реализации степенных разложений powseries
- •12. Примеры применения пакета powseries
- •13. Пакет числовой аппроксимации numapprox
- •14. Разложение функции в ряд Лорана
- •15. Паде-аппроксимация аналитических функций
- •16. Паде-аппроксимация с полиномами Чебышева
- •17. Наилучшая минимаксная аппроксимация
- •18. Наилучшая минимаксная аппроксимация по алгоритму Ремеза
- •19. Другие функции пакета
- •20. Пакет интегральных преобразований inttrans
- •21. Прямое и обратное преобразования Лапласа
- •22. Прямое и обратное преобразования Фурье
- •23. Вычисление косинусного и синусного интегралов Фурье
- •30. Функция построения в-сплайновых кривых BsplineCurve
- •37. Функции для работы с полиномами
- •39. Функции преобразования полиномов в рое и обратно
- •40. Что нового мы узнали?
- •1. Основные определения линейной алгебры Урок 15. Пакеты линейной алгебры и функциональных систем
- •3. Интерактивный ввод матриц
- •6. Решение систем линейных уравнений.
- •7. Пакет линейной алгебры с алгоритмами nag LinearAlgebra
- •8. Примеры матричных операций с применением пакета LinearAlgebra
- •10. Загрузка пакета расширения Matlab
- •11. Типовые матричные операции пакета расширения Matlab
- •13. Пакет анализа линейных функциональных систем LinearFunctionalSystems
- •14. Тестовые функции пакета LinearFunctionalSystems
- •15. Функции решения линейных функциональных систем
- •16. Вспомогательные функции
- •17. Примеры применения пакета LinearFunctiftnalSystems
- •1. Пакет решения задач линейной оптимизации simplex Урок 16. Обзор пакетов специального назначения
- •2. Функции maximize и minimize
- •3. Прочие функции пакета simplex.
- •5. Пример применения расчетных функций пакета geometry
- •8. Пример применения пакета geom3d
- •9. Пакет для работы с алгебраическими кривыми algcurves
- •10. Примеры применения пакета algcurves
- •12. Новая функция Maple 7 plot_real_curve
- •13. Пакет функций теории графов networks
- •14. Примеры применения пакета networks
- •17. Генерация случайных чисел с заданным распределением
- •18. Графика статистического пакета stats
- •19. Регрессионный анализ
- •20. Пакет для студентов student
- •21. Функции интегрирования пакета student.
- •22. Иллюстративная графика пакета student
- •23. Пакет работы с тензорами tensor
- •24. Пакет Domains.
- •25. Обзор пакетов узкого назначения
- •26. Пакет функций теории чисел numtheory
- •27. Пакет для работы с р-адическими числами padic
- •28. Пакет для работы с гауссовыми целыми числами Gausslnt
- •29. Пакет алгебры линейных операторов Ore_algebra
- •30. Инструментальный пакет для линейных рекуррентных уравнений lrEtools
- •31. Пакет функций дифференциальных форм difforms
- •32. Пакет для работы с рациональными производящими функциями genfunc
- •33. Пакет операций для работы с конечными группами group
- •34. Пакет для работы с симметрией Ли liesymm
- •35. Пакет команд для решения уравнений SolveTools
- •36. Пакет для работы с таблицами Spread.
- •37. Пакет генерации кодов codegen
- •38. Пакет создания контекстных меню context
- •39. Пакет организации многопроцессорной работы process
- •40. Новые пакеты системы Maple 7
- •41. Пакет для работы с рядами ортогональных многочленов OrthogonalSeries.
- •43. Пакет xmlTools
- •44. Пакет создания внешних программ ExternatCaUing
- •45. Пакет линейных операторов LinearOperators
- •46. Пакет для работы со случайными объектами RandomTools
- •47. Пакет для работы со списками ListTools
- •48. Что нового мы узнали?
- •1. Небольшое введение Урок 17. Примеры решения научно-технических задач
- •2. Выбор аппроксимации для сложной функции
- •3. Аппроксимации рядом Тейлора
- •4. Паде-аппроксимация
- •6. Аппроксимация Чебышева-Паде
- •7. Минимаксная аппроксимация
- •8. Эффективная оценка рациональных функций
- •9. Сравнение времен вычислений
- •10. Преобразование в код Фортрана или с
- •11. Моделирование физических явлений
- •13. Разделение изотопов
- •15. Моделирование и расчет электронных схем
- •16. Малосигнальный анализ усилителя на полевом транзисторе
- •21. Что нового мы узнали?
- •1. Анализ функций Урок 9. Анализ функций и полиномов.
- •4. Определение точек нарушения непрерывности Определение точек нарушения непрерывности
- •5. Нахождение сингулярных точек функции
- •7. Пример анализа сложной функции Пример анализа сложной функции
- •8. Функции из отдельных кусков Функции из отдельных кусков
- •9. Простые примеры применения функции piecewise Простые примеры применения функции piecewise
- •10. Работа с функциями piecewise Работа с функциями piecewise
- •12. Выделение коэффициентов полиномов Выделение коэффициентов полиномов
- •13. Оценка коэффициентов полинома по степеням Оценка коэффициентов полинома по степеням
- •14. Оценка степеней полинома Оценка степеней полинома
- •17. Вычисление корней полинома Вычисление корней полинома
- •18. Основные операции с полиномами Основные операции с полиномами
- •20. Интерполяция и аппроксимация функциональных зависимостей. Интерполяция и аппроксимация функциональных зависимостей
- •21. Аппроксимация аналитически заданных функций Аппроксимация аналитически заданных функций
- •22. Полиномиальная интерполяция табличных данных Полиномиальная интерполяция табличных данных
- •23. Сплайн-интерполяция и аппроксимация Сплайн-интерполяция и аппроксимация
- •24. Прямое и обратное z-преобразования Прямое и обратное z-преобразования
- •25. Что нового мы узнали? Что нового мы узнали?
2. Решение оду первого порядка
Решение ОДУ первого порядка
Начнем рассмотрение практических примеров с решения одиночных обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) первого порядка:
Следующие примеры иллюстрируют возможность решения одного и того же дифференциального уравнения ode_L разными методами:
Объем данной книги не позволяет остановиться на всех тонкостях аналитического решения дифференциальных уравнений. Множество примеров такого решения дано в справочной базе данных Maple,. 7- К ней нужно обратиться в случае, если решение того или иного дифференциального уравнения выходит за рамки учебного курса.
1.gif
2.gif
3. Решение дифференциальных уравнений второго порядка
Решение дифференциальных уравнений второго порядка
Здесь видно, что для задания производной используется ранее рассмотренная функция diff. С помощью символа $ можно задать производную более высокого порядка. Ниже представлено решение двух дифференциальных уравнений второго порядка:
Обратите внимание на решение второго из этих уравнений. Здесь использован прием визуализации исходного дифференциального уравнения, и оно задается значением переменной de. Кроме того, и это особенно важно, решение осуществляется при заданных начальных условиях. Именно поэтому в решении отсутствуют произвольные постоянные вида _СN.
3.gif
4.gif
4. Решение систем дифференциальных уравнений
Решение систем дифференциальных уравнений
На рис. 13.1 представлено решение системы из двух дифференциальных уравнений различными методами — в явном виде, в виде разложения в ряд и с использованием преобразования Лапласа. Здесь следует отметить, что решение в виде ряда является приближенным. Поэтому полученные в данном случае аналитические выражения отличаются от явного решения и решения с применением преобразования Лапласа.
Рис. 13.1. Решение системы из двух дифференциальных уравнений различными методами
Следует отметить, что, несмотря на обширные возможности Maple 7 в области аналитического решения дифференциальных уравнений, оно возможно далеко не всегда. Поэтому, если не удается получить такое решение, полезно попытаться найти решение в численном виде.
5.gif
5. Численное решение дифференциальных уравнений
Численное решение дифференциальных уравнений
Большинство нелинейных дифференциальных уравнений не имеет аналитического решения. Кроме того, часто аналитическое решение и не нужно, но требуется получить ответ в виде графических зависимостей.
В таких случаях для решения дифференциальных уравнений в численном виде используется функция dsolve с параметром numeric или type=numeric. При этом решение возвращается в виде специальной процедуры, по умолчанию реализующей широко известный метод решения дифференциальных уравнений Рунге—Кутта—Фелберга порядков 4 и 5 (в зависимости от условий адаптации решения к скорости его изменения). Эта процедура называется rkf45 и символически выводится (без тела) при попытке решения заданной системы дифференциальных уравнений. Последнее достаточно наглядно иллюстрирует рис. 13.2.
Рис. 13.2. Решение системы дифференциальных уравнений численным методом rkf45 с выводом графика решения
Указанная процедура возвращает особый тип данных, позволяющих найти решение в любой точке или построить график решения (или решений). Для графического отображения Maple 7 предлагает ряд возможностей, и одна из них представлена на рис. 13.2 — см. последнюю строку ввода. При этом используется функция plot[odeplot] из пакета odeplot, предназначенного для визуализации решений дифференциальных уравнений.
В список параметров функции dsolve можно явным образом включить указание на метод решения, например опция mathod=dverk78 задает решение непрерывным методом Рунге—Кутта порядка 7 или 8. Вообще говоря, численное решение дифференциальных уравнений можно производить одним из следующих методов:
classical — одна из восьми версий классического метода, используемого по умолчанию;
rkf45 — метод Рунге—Кутта 4 или 5 порядка, модифицированный Фелбергом;
dverk78 — непрерывный метод Рунге—Кутта порядка 7 или 8;
gear — одна из двух версий одношагового экстраполяционного метода Гира;
mgear — одна из трех версий многошагового эктраполяционного метода Гира;
lsode — одна из восьми версий Ливенморского решателя жестких дифференциальных уравнений;
taylorseries — метод разложения в ряд Тейлора.
Обилие используемых методов расширяет возможности решения дифференциальных уравнений в численном виде. Большинство пользователей Maple 7 вполне устроит автоматический выбор метода решения по умолчанию. Однако в сложных случаях возможна прямая установка одного из указанных выше методов. С деталями реализации методов можно ознакомиться по справочной системе.
С помощью параметра ' abserr' =аеrr можно задать величину абсолютной погрешности решения, а с помощью 'minerr'=mine — минимальную величину погрешности. В большинстве случаев эти величины, заданные по умолчанию, оказываются приемлемыми для расчетов.
Maple 7 реализует адаптируемые к ходу решения методы, при которых шаг решения h автоматически меняется, подстраиваясь под условия решения. Так, если прогнозируемая погрешность решения становится больше заданной, шаг решения автоматически уменьшается. Более того, система Maple способна автоматически выбирать наиболее подходящий для решаемой задачи метод решения.
Еще один пример решения системы дифференциальных уравнений представлен на рис. 13.3. Здесь на одном графике представлены зависимости у(х) и z(х), представляющие полное решение заданной системы. При этом процедура имеет особый вид listprocedure и для преобразования списка выходных данных в векторы решения Y и Z используется функция subs.
Для решения достаточно сложных задач полезны специальная структура DESol для решения дифференциальных уравнений и инструментальный пакет DEtools, содержащий самые изысканные средства для графической визуализации результатов решения дифференциальных уравнений. Эти средства мы более подробно рассмотрим в дальнейшем.
Рис. 13.3. Решение системы дифференциальных уравнений численным методом с выводом всех графиков искомых зависимостей
ВНИМАНИЕ
При решении некоторых задач физики и радиоэлектроники выбираемый поумолчанию шаг изменения аргументах или t - Л может привести к неустойчивости решения. Неустойчивости можно избежать рядом способов. Можно, например, нормировать уравнения, избегая необходимости использования малого шага. А можно задать заведомо малый шаг. Например, при method=classical для этого служит параметр stepsize-h. Примеры такого подхода будут даны в уроке 17 (см. Решение физических задач и моделирование цепи на туннельном диоде).
24.gif
26.gif