12. Выделение коэффициентов полиномов Выделение коэффициентов полиномов
Для выделения коэффициентов полиномов в Maple 7 служат следующие функции:
coeff(p, х) — возвращает коэффициент при х полинома р;
coeff(p.x.n) — возвращает коэффициент для члена со степенью n полинома р;
coeff(p.x^n) — возвращает коэффициенты при х^n полинома р;
coeffs(p, х, 't') — возвращает коэффициенты полинома нескольких переменных, относящиеся к переменной х (или списку переменных) с опцией ' t', задающей имя переменной;
collect(p,x) — возвращает полином, объединяя коэффициенты при степенях переменной х.
Ниже даны примеры применения этих функций:
ПРИМЕЧАНИЕ
Следует обратить внимание на то, что при выполнении операции collect в прежних версиях Maple довольно часто возникала фатальная ошибка. Как видно из приведенных примеров, в Maple 7 такой ошибки уже не возникает.
19.gif
13. Оценка коэффициентов полинома по степеням Оценка коэффициентов полинома по степеням
Полином может быть неполным, то есть не содержать членов со степенями ниже некоторой. Функция lcoeff возвращает старший, а функция tcoeff — младший коэффициент полинома нескольких переменных. Эти функции задаются в виде:
lcoeff(p) tcoeff(p)
Icoeff(p. x) tcoeff(p, x)
Icoeff(p. x. 't') tcoeff(p, x. 't')
Функции Icoeff и tcoef f возвращают старший (младший) коэффициент полинома р относительно переменной х или ряда переменных при многомерном полиноме. Если х не определено, Icoeff (tcoeff) вычисляет старший (младший) коэффициент относительно всех переменных полинома р. Если третий аргумент t определен, то это имя назначено старшему (младшему) члену р. Если х — единственное неизвестное и d — степень р по х, то lcoeff(p, x) эквивалентно coef f (p. x, d). Если х — список или множество неизвестных, lcoeff (tcoef f) вычисляет старший (младший) коэффициент р, причем р рассматривается как полином многих переменных. Имейте в виду, что р должен быть разложен по степеням неизвестного х до вызова функций lcoeff или tcoef f.
Приведем примеры применения функций lcoeff, tcoef f и coeffs:
20.gif
14. Оценка степеней полинома Оценка степеней полинома
Функция degree возвращает высшую степень полинома, а ldegree — низшую степень. Эти функции задаются следующим образом:
degree(a.x) ldegree(a.x)
Функции degree и ldegree используются, чтобы определить высшую и низшую степени полинома от неизвестного (неизвестных) х, которое чаще всего является единственным, но может быть списком или множеством неизвестных. Полином может иметь отрицательные целые показатели степеней при х. Таким образом, degree и ldegree могут возвратить отрицательное или положительное целое число. Если выражение не является полиномом от х данным параметром, то возвращается FAIL.
Чтобы degree и ldegree возвратили точный результат, полином обязательно должен быть сгруппирован по степеням х. Например, для выражения (х + 1) (х+ 2) - х2 функция degree не обнаружит аннулирование старшего члена и неправильно возвратит результат 2. Во избежание этой проблемы перед вызовом degree следует применять к полиному функции collect или expand. Если х — множество неизвестных, degree/ ldegree вычисляет полную степень. Если х — список неизвестных, degree/ldegree вычисляет векторную степень. Векторная степень определяется следующим образом:
degree(p.[]) =0
degree(p.[xl.x2,...]) =degree(p.xl) degree(lcoeff(p.xl),[x2....])
Полная степень тогда определяется следующим образом:
degree(p.{xl....,xn}) - maximum degree(p.{xl....xn})
или
degree(p,{xl....,xn}) = degree(p.[xl,....xn])
Обращаем внимание на то, что векторная степень зависит от порядка перечисления неизвестных, а полная степень не зависит.
Примеры применения функций degree и ldegree:
21.gif
15. Разложение полинома на множители
Разложение полинома на множители
Для контроля того, имеет ли полином несокращаемые множители, может использоваться функция irredik(p) и ее вариант в инертной форме Ireduc(p.K), где К — RootOf-выражение. Ниже приведены примеры применения этих тестовых функций:
22.gif
16. Разложение полинома по степеням
Разложение полинома по степеням
Для разложения полинома р по степеням служат инертные функции AFactor(р) и AFactors(p). Полином может быть представлен в виде зависимости от одной или нескольких переменных.
Функция Afactor(p) выполняет полную факторизацию (разложение) полинома р от нескольких переменных с коэффициентами в виде алгебраических чисел над полем комплексных чисел. При этом справедливо отношение evala(AFactor(p) )=factor(p,complex). Таким образом, эта функция является, по существу, избыточной.
В случае одномерного полинома полное разложение на множители является разложением на линейные множители. Функция AFactors аналогична функции Afactor, но создает структуру данных формы [u,[[f[l],e[l]],....[f[n],e[n]]]] так, что p=u*f[l]xe[l]*...*f[n]^e[n], где каждый f[i] — неприводимый полином.
Ниже даны примеры применения функции Afactor:
Нетрудно заметить, что разложение полинома на множители позволяет оценить наличие у него корней. Однако для этого удобнее воспользоваться специальными функциями, рассмотренными ниже.
23.gif
