6. Дифференциальные уравнения с кусочными функциями
Дифференциальные уравнения с кусочными функциями
Функции кусочного типа широко используются при математическом моделировании различных физических объектов и систем. В основе такого моделирования обычно лежит решение дифференциальных уравнений, описывающих поведение объектов и систем. Покажем возможность применения кусочных функций для решения дифференциальных уравнений.
Ниже представлено задание дифференциального уравнения первого порядка, содержащего кусочную функцию:
Используя функцию dsolve, выполним решение этого дифференциального уравнения:
Нетрудно заметить, что результат получен также в форме кусочной функции, полностью определяющей решение на трех интервалах изменениях. Приведем пример решения дифференциального уравнения второго порядка с кусочной функцией:
В конце этого раздела приведем пример решения нелинейного дифференциального уравнения Риккати с кусочной функцией:
В ряде случаев желательна проверка решения дифференциальных уравнений. Ниже показано, как она делается для последнего уравнения:
ПРИМЕЧАНИЕ
Как видно из приведенных достаточно простых и наглядных примеров, результаты решения дифференциальных уравнений с кусочными функциями могут быть довольно громоздкими. Это, однако, не мешает эффективному применению функций данного класса.
8.gif
9.gif
10.gif
11.gif
12.gif
7. Структура неявного представления дифференциальных уравнений — DESol
Структура неявного представления дифференциальных уравнений — DESol
В ряде случаев иметь явное представление дифференциальных уравнений нецелесообразно. Для неявного их представления в Maple 7 введена специальная структура:
DESol(expr.vars)
где exprs — выражение для исходной системы дифференциальных уравнений, vars — заданный в виде опции список переменных (или одна переменная). Структура DESol образует некоторый объект, дающий представление о дифференциальных уравнениях, чем-то напоминающее RootOf. С этим объектом можно обращаться, как с функцией, то есть его можно интегрировать, дифференцировать, получать разложение в ряд и вычислять численными методами. На рис. 13.4 показаны примеры применения структуры DESol. Обратите внимание на последний пример — в нем структура- DESol использована для получения решения дифференциального уравнения в виде степенного ряда.
Рис. 13.4.Примеры применения структуры DESol
13.gif
8. Инструментальный пакет решения дифференциальных уравнений dEtools.
Инструментальный пакет решения дифференциальных уравнений DEtools
Средства пакета DEtools
Решение дифференциальных уравнений самых различных типов — одно из достоинств системы Maple 7. Пакет DEtools предоставляет ряд полезных функций для решения дифференциальных уравнений и систем с такими уравнениями:
> with(DEtools);
Warning, the name adjoint has been redefined
[DEnormal, DEplot, DEplot3d, DEplot_pofygon, DFactor, DFactorLCLM, DFactorsols, Dchangevar, GCRD, LCLM, PDEchangecoords, RiemannPsols, Xchange, Xcommutator, Xgauge, abelsoL, adjoint, autonomous, bernoullisol, buildsol, buildsym, canoni, caseplqt, casesplit, checkrank, chinisol, clairautsol, constcoeffsols, convertAlg, convertsys, dalembertsol, dcoeffs, de2diffop, dfieldplot, diffop2de, dsubs, eigenring, endomorphism_charpoly, equinv, etajc, eulersols, exactsol, expsols, exterior'_power,firint,firtest, formal_sol, gen_exp, generate_ic, genhomosol, gensys, hamilton_eqs, indicialeq, infgen, initialdata, integrate_sols, intfactor, Invariants, kovacicsols, leftdivision, liesol, line_int, linearsol, matrixDE, matrix_riccati, moserjreduce, muchange, mult, mutest, newtonjpolygon, normalG2, odeadvisor, odepde, parametricsol, phaseportrait, poincare, polysols, ratsols, redode, reduceOrder, reduce_order, regular_parts, regularsp, remove_RootOf, riccati_system, riccatisol, rifsimp, rightdivision, rtaylor, separablesol, solvejgroup, super_reduce, symgen, symmetric_po\ver, symmetric^product, symtest, transinv, translate, untranslate, varparam, zoom]
Этот пакет дает самые изысканные средства для аналитического и численного решения дифференциальных уравнений и систем с ними. По сравнению с версией Maple V R5 число функций данного пакета в Maple 7 возросло в несколько раз. Многие графические функции пакета DEtools были уже описаны. Ниже приводятся полные наименования тех функций, которые есть в реализациях R5, 6 и 7 системы Maple:
DEnormal — возвращает нормализованную форму дифференциальных уравнений;
DEplot — строит графики решения дифференциальных уравнений;
DEplot3d — строит трехмерные графики для решения систем дифференциальных уравнений;
Dchangevar — изменение переменных в дифференциальных уравнениях;
PDEchangecoords — изменение координатных систем для дифференциальных уравнений в частных производных;
PDEpTot — построение графиков решения дйффереациальых уравнений в частных производных;
autonomous — тестирует дифференциальные уравнения на автономность;
convertAlg — возвращает список коэффициентов для дифференциальных уравнений;
convertsys — преобразует систему дифференциальных уравнений в систему одиночных уравнений;
dfieldplot — строит график решения дифференциальных уравнений в виде векторного поля;
indicialeq — преобразует дифференциальные уравнения в полиномиальные;
phaseportrait — строит график решения дифференциальных уравнений в форме фазового портрета;
reduceOrder — понижает порядок дифференциальных уравнений;
regularsp — вычисляет регулярные особые точки для дифференциальных уравнений второго порядка;
translate — преобразует дифференциальные уравнения в список операторов;
untranslate — преобразует список операторов в дифференциальные уравнения;
varparam — находит общее решение дифференциальных уравнений методом вариации параметров.
Применение этих функций гарантирует совместимость документов реализаций Maple R5, 6 и 7.