4. Определение точек нарушения непрерывности Определение точек нарушения непрерывности

Функции, не имеющие непрерывности, доставляют много хлопот. Поэтому важным представляется анализ функций на непрерывность. В Maple 7 функция discont(f,х) позволяет определить точки, в которых нарушается непрерывность функции f(x). Она вычисляет все точки в пределах изменениях от -? до +?. Результаты вычислений могут содержать особые экстра переменные с именами вида _Zn- и _NNn-. В частности, они позволяют оценить периодические нарушения непрерывности функций.

Примеры применения функции discont приведены ниже:

> discont(l/(x-2).x);

{2}

> discont(l/((x-l)*(x-2)*(x-3)).x):

{1,2,3}

> discont(GAMMA(x/2),x):

{-2_NN1~}

Весьма рекомендуется наряду с применением данной функции просмотреть график анализируемой функции.

ПРИМЕЧАНИЕ

В ряде примеров в выводе используются специальные переменные вида _NameN~, где Name — имя переменной иN— ее текущий номер. После выполнения команды restart отсчет N начинается с 1. Если вывод с такими переменными уже применялся, то их текущие номера могут казаться произвольными. Специальные переменные часто используются для упрощения выводимых выражений.

5. Нахождение сингулярных точек функции

Нахождение сингулярных точек функции

Многие операции, такие как интегрирование и дифференцирование, чувствительны к особенностям функций, в частности к их разрывам и особым точкам. Функция singular (ехрr, vars) позволяет найти особые (сингулярные) точки выражения ехрг, в которых она испытывает разрывы. Дополнительно в числе параметров может указываться необязательный список переменных.

Примеры применения этой функции приведены ниже:

7.gif

6. Вычисление асимптотических и иных разложений

Вычисление асимптотических и иных разложений

Важным достоинством системы Maple является наличие в ней ряда функций, позволяющих выполнять детальный анализ функций. К такому анализу относится вычисление асимптотических разложений функций, которые представляются в виде рядов (не обязательно с целыми показателями степени). Для этого используется следующая функция:

asympt(f.x) asympt(f,x,n).

Здесь f — функция переменной х или алгебраическое выражение; х — имя переменной, по которой производится разложение; n — положительное целое число (порядок разложения, по умолчанию равный 6). Ниже представлены примеры применения этой функции:

8.gif

9.gif

7. Пример анализа сложной функции Пример анализа сложной функции

Ниже мы рассмотрим типичный анализ достаточно «сложной» функции, имеющей в интересующем нас интервале изменения аргумента х от -4 до 4, нули, максимумы и минимумы. Определение функции f(x), ее графики и график производной dF(x)/dx даны на рис. 9.2. Этот рисунок является началом полного документа, описываемого далее, i

Функция F(x) на первый взгляд имеет не совсем обычное поведение вблизи начала координат (точки с х =у = 0). Для выяснения такого поведения разумно построить график функции при малых х и у. Он также представлен на рис. 9.2 (нижний график) и наглядно показывает, что экстремум вблизи точки (0, 0) является обычным минимумом, немного смещенным вниз и влево от начала координат. Теперь перейдем к анализу функции F(x). Для поиска нулей функции (точек пересечения оси х) удобно использовать функцию f sol ve, поскольку она позволяет задавать область изменениях, внутри которой находится корень. Как видно из приведенных ниже примеров, анализ корней F(x) не вызвал никаких трудностей, и все корни были уточнены сразу: Поиск нулей функции

> fsolve(F(x),x,-2...-l):

-1.462069476 > fso1ve(F(x),x,-.01..0.01);

0.

> fsolve(F(x).x.-.05..0);

-.02566109292

> fsolve(F(x),x,1..2);

1.710986355

> fsolve(F(x),x,2.5..3):

2.714104921

Нетрудно заметить, что функция имеет два очень близких (но различных) корня прих, близких к нулю.

Анализ функции на непрерывность, наличие ее нарушений и сингулярных точек реализуется следующим образом:

Анализ функции на непрерывность, наличие ее нарушений и наличие сингулярных точек

a

б

в

Рис. 9.2.Задание функции F(x) и построение графиков функции и ее производной

Этот анализ не выявляет у заданной функции каких-либо особенностей. Однако это не является поводом для благодушия — попытка найти экстремумы F(x) с помощью функции extrema и минимумы с помощью функции minimize завершаются полным крахом:

Неудачный поиск экстремумов и минимумов функции

>extrema(F(x).{},x, 's');s;

>minimize(F(x),x=-.l...l);

minimize (.05x + xe (-|x|) * sm(2x),x = -.1 .. 1)

>minimize(F(x),x=-2.5..:2);S

minimize (.05x + xe(-|x|) sin(2*),*'=-2.5 ..-2)

Приходится признать, что в данном случае система Maple 7 ведет себя далеко не самым лучшим образом. Чтобы довести анализ F(x) до конца, придется вспомнить, что у функции без особенностей максимумы и минимумы наблюдаются в точках, где производная меняет знак и проходит Через нулевое значение. Таким образом, мы можем найти минимумы и максимумы по критерию равенства производной нулю. В данном случае это приводит к успеху:

Поиск минимумов по критерию равенства нулю производной

> fso1ve(d1ff(F(x),x)=0,x,-.5...5);

-.01274428224

>xm:=%;

хт:= -.0003165288799

>[F(xm),F(xnn-.001),F(xm-.001)]:

[-.00001562612637, .00003510718293, -.00006236451216]

>fsolve(diff(F(x),x)-0.x,-2.5..-2);

-2.271212360 '

>fso1ve(diff(F(x),x)=0,x.2..2.5):

2.175344371

Неудачный поиск максимума

>maximize(F(x) ,x--l.. - .5);

maximize(.05х + хе (-|x|) * sin(2x),x = -l .. -.5)

Поиск максимумов по критерию равенства нулю производной

>fso1ve(diff(F(x).x),x,-l..-.5);

-.8094838517

>fso1ve(diff(F(x),x),x..5..2):

.8602002115

>fsolve(diff(F(x),x),x.-4..-3);

-3.629879137

>fsolve(diff(F(x),x).x,3..4);

3.899664536

Итак, все основные особые точки данной функции (нули, минимумы и максимумы) найдены, хотя и не без трудностей и не всегда с применением специально предназначенных для такого поиска функций. В уроке 12 будет описана процедура, которая автоматизирует процесс анализа не очень сложных функций и обеспечивает его наглядную визуализацию.

10.gif

13.gif