21. Прямое и обратное преобразования Лапласа

Прямое и обратное преобразования Лапласа

Прямое преобразование Лапсаса заключается в переводе некоторой функции времени f(t) в операторную форму F(p). Это преобразование означает вычисление интеграла

Для осуществления прямого преобразования Лапласа Maple 7 имеет функцию

laplace(expr,t,p)

Здесь ехрr— преобразуемое выражение, t — переменная, относительно которой записано ехрr, и р — переменная, относительно которой записывается результат преобразования.

Обратное преобразование Лапласа означает переход от функции F(p) к функции (t) с помощью формулы

Для вычисления этого интеграла служит функция:

invlaplace(expr,p, t)

где ехрr — выражение относительно переменной р, t — переменная, относительно которой записывается результирующая зависимость. Оба преобразования широко применяются в практике научно-технических вычислений и отражают суть операторного метода. При этом прямое преобразование создает изображение а обратное —оригинал функции. Ниже приведены примеры применения прямого и обратного преобразований Лапласа:

Нетрудно заметить, что в данном случае последовательное применение прямого, а затем обратного преобразования восстанавливает исходную функцию sin(t) + acos(t).

14.gif

15.gif

16.gif

22. Прямое и обратное преобразования Фурье

Прямое и обратное преобразования Фурье

Прямое преобразование Фурье преобразует функцию времени f(t) в функцию частот и заключается в вычислении следующей интегральной функции:

Оно реализуется следующей функцией пакета интегральных преобразований inttrans:

fourier(expr,t,w)

Здесь ехрr — выражение (уравнение или множество), t — переменная, от которой зависит ехрr, и w — переменная, относительно которой записывается результирующая функция. Обратное преобразование Фурье задается вычислением интеграла:

Оно фактически переводит представление сигнала из частотной области во временную. Примеры применения преобразования Фурье представлены ниже:

Обратите внимание на то, что даже в простом первом примере применение обратного преобразования Фурье вслед за прямым не привело к буквальному восстановлению исходной функции sin(t). Потребовалась_:команда simplify, чтобы перевести результат в виде представления синуса через экспоненциальные функции к обычному виду sin(t).

17.gif

18.gif

19.gif

23. Вычисление косинусного и синусного интегралов Фурье

Вычисление косинусного и синусного интегралов Фурье

Разложение функции f(t) в ряд Фурье требует вычисления интегралов следующего вида:

Они получили название косинусного и синусного интегралов Фурье и фактически задают вычисление коэффициентов ряда Фурье, в который может быть разложена функция ./(t). Для вычисления этих интегралов в пакете используются следующие функции:

fouriercos(expr,t,s)

fouriersln(expr,t,s)

Поскольку формат задания этих функций вполне очевиден, ограничимся примерами их применения:

50.gif

51.gif

24. Интегральное преобразование Ханкеля

Интегральное преобразование Ханкеля

Интегральное преобразование Ханкеля задается следующим выражением:

и выполняется функцией:

hankel(expr, t, s, nu)

Здесь ехрr — выражение, равенство (или множество, или список с выражениями/равенствами), t — переменная в ехрr, преобразуемая в параметр преобразования s, nu— порядок преобразования. Следующий пример демонстрирует применение функции Ханкеля:

20.gif

21.gif

25. Прямое и обратное преобразования Гильберта

Прямое и обратное преобразования Гильберта

Прямое преобразование Гильберта задается следующим выражением:

и превращает функцию f(t) в F(s).

Обратное преобразование Гильберта означает нахождение f(f) по заданной F(s).

Эти преобразования выполняются функциями:

hilbert(expr, t, s)

invhilbert(expr, t,s)

где назначение параметров очевидно.

Приведенные ниже примеры иллюстрируют выполнение этих преобразований:

Как видно из этих примеров, обратное преобразование Гильберта, осуществленное над результатом прямого преобразования, не восстанавливает функцию f(t) буквально.

22.gif

23.gif

24.gif

26. Интегральное преобразование Меллина

Интегральное преобразование Меллина

Интегральное преобразование Меллина задается выражением:

и реализуется функцией:

mellin(expr, х, s)

с очевидными параметрами ехрr, х и s.

Применение преобразования Меллина иллюстрируют следующие примеры:

25.gif

26.gif

27. Функция addtable

Функция addtable

Как видно из приведенных примеров, не всегда интегральные преобразования дают результат в явном виде. Получить его позволяет вспомогательная функция:

addtable(tname,patt,ехрr,t,s)

где tname — наименование преобразования, для которого образец patt должен быть добавлен к таблице поиска. Остальные параметры очевидны.

Следующие примеры поясняют применение этой функции:

27.gif

28. Пакет приближения кривых CurveFittirrg

Пакет приближения кривых CurveFitting.

Общая характеристика пакета CurveFitting

Новый пакет приближения кривых CurveFitting весьма полезен тем, кто занимается столь распространенной задачей, как приближение кривых. Он содержит ряд функций:

> with(CurveFitting);

Доступ к функциям пакета возможен с помощью конструкций:

CurveFitting[function](arguments)

function(arguments)

Число функций пакета невелико и все они описаны ниже.

29. Функция вычисления В-сплайнов Bspline.

Функция вычисления В-сплайнов Bspline

Функция BSpline(k, v, opt) служит для вычисления В-сплайнов. Она имеет следующие параметры: k — порядок сплайна (целое число), v— имя и opt — параметр в виде knots=knotlist, где knotlist — спискок из k+1 элементов алгебраического типа. Используя функцию CurveFitting[BSplineCurve], можно строить кривые В-сплайнов. Примеры применения этой функции представлены ниже:

Как нетрудно заметить из этих примеров, функция Bspline возвращает результат в виде кусочных функций типа piecewise.

28.gif