29. Визуализация корней случайных полиномов

Визуализация корней случайных полиномов.

Наряду с традиционной для математических и статистических программ возможностью генерации случайных чисел Maple 7 предоставляет довольно экзотическую возможность генерации случайных полиномов с высокой максимальной степенью. Для этого используется функция:

randpoly(var,o)

Она возвращает случайный полином переменной var, причем максимальная степень полинома птах может указываться параметром о вида degree=nmax.

Приведем примеры генерации случайного полинома с максимальной степенью 50:

С помощью функции аllvalues можно построить список SA корней случайного полинома. А с помощью команды вида:

> with(plots):

complexplot(SA.x=-1.2..1.2.style=point):

построить комплексные корни полученного случайного полинома в виде точек • на комплексной плоскости. Один из таких графиков (их можно построить множество) показан на рис. 12.37.

Рис. 12.37. Расположение корней случайного полинома на комплексной плоскости

Можно заметить любопытную закономерность — точки, представляющие корни случайного полинома, укладываются вблизи окружности единичного радиуса с центром в начале координат. Однако этот пример, приводимый в ряде книг по Maple, показывает, что порою вычисления могут давать довольно неожиданные результаты. Кстати говоря, аналитически можно вычислять корни полинома с максимальной степенью не более четырех.

14.gif

15.gif

30. Визуализация поверхностей со многими экстремумами

Визуализация поверхностей со многими экстремумами

Maple 7 дает прекрасные возможности для визуализации поверхностей, имеющих множество пиков и впадин, другими словами, экстремумов. Рисунок 12.38 показывает задание «вулканической» поверхности с глубокой впадиной, окруженной пятью пиками. Здесь полезно обратить внимание на способ задания такой поверхности f(a, b, с) как функции трех переменных a, b и с. Он обеспечивает индивидуальное задание координат каждого экстремума и его высоты (отрицательной для впадины).

Рис. 12.38.Построение графика поверхности с множеством экстремумов

Наглядность этого графика усилена за счет применения функциональной окраски и контурных линий, нанесенных на саму поверхность. Все эти возможности обеспечивают параметры основной функции plot3d.

А на рис. 12.39 представлен еще один способ задания поверхности — с помощью функции двух угловых переменных f(theta, phi).

При построении этого рисунка также используются функциональная окраска и построение контурных линий.

61.gif

31. Визуализация построения касательной и перпендикуляра

Визуализация построения касательной и перпендикуляра

В ряде геометрических построений нужно отроить касательную и перпендикуляр к кривой, отображающей произвольную функцию f(x) в заданной точке х =а. Рисунок 12.40 поясняет, как это можно сделать. Линии касательной Т(х) и перпендикуляра N(x) определены аналитически через производную в заданной точке.

Во избежание геометрических искажений положения касательной и перпендикуляра при построении графика функцией plot надо использовать параметр scaling=constrained.

Рис. 12.39.Построение графика поверхности, заданной функцией двух угловых переменных

Рис. 12.40. Построение касательной и перпендикуляра к заданной точке графика функции f(x)

60.gif

62.gif