8. Функции из отдельных кусков Функции из отдельных кусков

Создание функций из отдельных кусков

Для создания функций, составленных из отдельных кусков, Maple 7 располагает интересной функцией:

piecewise(cond_l,f_l. cond_2,f_2. .... cond_n,f_n. f_otherwise)

где f_i — выражение, cond_i — логическое выражение, f_otherwise — необязательное дополнительное выражение. В зависимости от того или иного условия эта функция позволяет формировать соответствующую аналитическую зависимость. К кусочным функциям (подчас в скрытой форме) приводят функции с элементами сравнения аргумента, например abs, signum, max и др. Поэтому в Maple 7 введен достаточно мощный аппарат обработки и преобразований таких функций по частям.

9. Простые примеры применения функции piecewise Простые примеры применения функции piecewise

Рисунок 9.3 показывает задание функции f(x), содержащей три характерных участка. По определенной через функцию пользователя зависимости f(x) можно, как обычно, построить ее график.

Рис. 9.3.Пример задания и применения функции, составленной из отдельных кусков

Важно отметить, что созданная с помощью функции piecewise зависимость может участвовать в различных преобразованиях. Например, на рис. 9.3 показано, что она легко дифференцируется и можно построить график производной этой функции. При этом каждая часть функции обрабатывается отдельно.

10. Работа с функциями piecewise Работа с функциями piecewise

С функциями типа piecewise можно работать, как с обычными функциями. При этом необходимые операции и преобразования осуществляются для каждой из частей функции и возвращаются в наглядной форме.

Ниже приведен пример задания функции f в аналитической форме:

Для выявления характера функции воспользуемся функцией convert и создадим объект g в виде кусочной функции:

Выполним дифференцирование и интегрирование функции:

Как нетрудно заметить, результаты получены также в виде кусочных функций. Можно продолжить работу с функцией f и выполнить ее разложение в степенной ряд:

> series(f, х);

-1+.Х + О(x⁶)

Чтобы убрать член с остаточной погрешностью, можно выполнить эту операцию следующим образом:

> series(g, x);

-1 + х

Обратите внимание на то, что поскольку разложение в ряд ищется (по умолчанию) в окрестности точки х=0, то при этом используется тот кусок функции, в котором расположена эта точка. Читатель может продолжить работу с кусочными функциями и далее.

15.gif

16.gif

17.gif

11. Операции с полиномами

Операции с полиномами

Определение полиномов

К числу наиболее известных и изученных аналитических функций относятся степенные многочлены — полиномы. Графики полиномов описывают огромное разнообразие кривых на плоскости. Кроме того, возможны рациональные полиномиальные выражения в виде отношения полиномов. Таким образом, круг объектов, которые могут быть представлены полиномами, достаточно обширен, и полиномиальные преобразования широко используются на практике, в частности, для приближенного представления других функций.

Под полиномом в системе Maple 7 понимается сумма выражений с целыми степенями. Многочлен для ряда переменных —многомерный полином. К одномерным полиномам относятся степенной многочлен:

а также отдельная переменная х и константа. Большое достоинство полиномов состоит в том, что они дают единообразное представление многих зависимостей и для своего вычисления требуют только арифметических операций (их число значительно сокращается при использовании хорошо известной схемы Горнера). Производные от полиномов и интегралы с подынтегральными функциями-полиномами легко вычисляются и имеют простой вид. Есть и достаточно простые алгоритмы для вычисления всех (в том числе комплексных) корней полиномов на заданном промежутке.