14. Обратные тригонометрические функции Обратные тригонометрические функции
К обратным тригонометрическим относятся следующие функции:
arcsin — арксинус;
arccos — арккосинус;
arctan — арктангенс;
arcsec — арксеканс;
arccsc — арккосеканс;
arccot — арккотангенс.
Примеры вычислений:
К этому классу функций принадлежит еще одна полезная функция: arctan(y.x) = argument(x+I*y)
Она возвращает угол радиус-вектора в интервале от -Pi до Pi при координатах конца радиус-вектора х и у (см. пример ниже):
Графики ряда обратных тригонометрических функций показаны на рис. 6.1.
20.gif
21.gif
15. Гиперболические функции Гиперболические функции
Гиперболические функции представлены следующим набором:
sinh — гиперболический синус;
cosh — гиперболический косинус;
tanh — гиперболический тангенс;
sech — гиперболический секанс;
csch — гиперболический косеканс;
coth — гиперболический котангенс.
Примеры применения гиперболических функций представлены ниже:
На рис. 6.2 сверху представлены графики гиперболического синуса, косинуса и тангенса. По ним можно судить о поведении этих функций.
Рис. 6.2.Графики основных гиперболических и обратных гиперболических функций
ПРИМЕЧАНИЕ
В отличие от тригонометрических гиперболические функции не являются периодическими. Функция гиперболического тангенса имеет симметричную кривую с характерными ограничениями. Поэтому она широко используется для моделирования передаточных характеристик нелинейных систем с ограничением выходного параметра при больших значениях входного параметра.
22.gif
47.gif
16. Обратные гиперболические функции
Обратные гиперболические функции
Как и тригонометрические функции, гиперболические имеют свои обратные функции:
arcsinh — гиперболический арксинус;
arccosh — гиперболический арккосинус;
arctanh — гиперболический арктангенс;
arcsech — гиперболический арксеканс:
arccsch — гиперболический арккосеканс:
arccoth — гиперболический арккотангенс.
Примеры применения:
Графики обратных гиперболических синуса, косинуса и тангенса представлены на рис. 6.2 снизу.
23.gif
17. Степенные и логарифмические функции
Степенные и логарифмические функции
К степенным и логарифмическим относятся следующие функции системы Maple 7:
ехр — экспоненциальная функция;
ilog10 — целочисленный логарифм по основанию 10 (возвращает целую часть от логарифма по основанию 10);
ilog — целочисленный логарифм (библиотечная функция, возвращающая
целую часть от натурального логарифма);
n — натуральный логарифм;
log — логарифм по заданному основанию (библиотечная функция);
log10 — логарифм по основанию 10;
sqrt — квадратный корень.
Примеры применения:
Графики ряда алгебраических функций показаны на рис. 6.3.
Рис. 6.З. Графики ряда алгебраических функций
На рис. 6.3 показаны также графики синусоиды с экспоненциально падающей и нарастающей амплитудой. Читателю рекомендуется попробовать свои силы в построении графиков комбинаций различных функций.
24.gif
26.gif
49.gif
18. Функции с элементами сравнения
Функции с элементами сравнения
В алгоритме вычисления ряда функций заложено сравнение результата с некоторым опорным значением. К таким функциям относятся:
abs — абсолютное значение числа;
ceil — наименьшее целое, большее или равное аргументу;
floor — наибольшее целое, меньшее или равное аргументу;
frac — дробная часть числа;
trunc — целое, округленное в направлении нуля;
round — округленное значение числа;
signum (х) — знак х (-1 при х < 0, 0 при х = 0 и +1 при х > 0).
Для комплексного аргумента х эти функции определяются следующим образом:
tranc(x) = trunc(Re(*)) + I*trunc(IM(x));
round(x) = round(Re(.r)) + I*round(Im(x));
frac(x) - frac(Re(*)) + I*hac(Im(x)).
Для введения определения значения floor(x) от комплексного аргумента прежде всего запишем а = Re(x) - fооr(Re(x)) и b = Im(x) - floor(Im(x)). Тогда flооr(x) = floor(Re(x)) + I*floor(Im(x)) + X, где
Наконец, функция ceil для комплексного аргумента определяется следующим образом:
cell(x) = -fооr(-х)
Примеры применения:
28.gif
19. Функции комплексного аргумента
Функции комплексного аргумента
Для комплексных чисел и данных, помимо упомянутых в предшествующем разделе, определен следующий ряд базовых функций:
argument — аргумент комплексного числа; 1
conjugate — комплексно-сопряженное число;
Im — мнимая часть комплексного числа;
Re — действительная часть комплексного числа;
роlаг — полярное представление комплексного числа (библиотечная функция).
Примеры применения:
29.gif
20. Специальные математические функции
Специальные математические функции
Специальные математические функции обычно являются решениями линейных дифференциальных уравнений различного типа и выражаются в виде интегралов, не представимых через элементарные функции. Maple 7 имеет практически полный набор таких функций. Их представления можно найти в справочной литературе, а также в справочной базе данных Maple. В связи с этим ограничимся приведением названий наиболее важных специальных функций:
AiryAi (Bi) — функции Эйри;
AngerJ — функция Ангера;
bernoulli — числа и полиномы Бернулли;
Bessel I (J, К, Y) — функции Бесселя разного рода;
Beta — бета-функция;
binomial — биноминальные коэффициенты;
Chi — интегральный гиперболический косинус;
Ci — интегральный косинус;
csgn — комплексная сигнум-функция;
dilog — дйлогарифм;
Dirac — дельта-функция Дирака;
Ei — экспоненциальный интеграл;
EllipticCE (CK, CPi, E, F, К, Modulus, Nome, Pi) — эллиптические интегралы;
erf — функция ошибок;
erfc — дополнительная функция ошибок;
euler — числа и полиномы Эйлера;
FresnelC (f, g, S) — интегралы Френеля;
GAMMA — гамма-функция;
GaussAGM — арифметико-геометрическое среднее Гаусса;
HankelHl (H2) — функции Ганкеля;
harmonic — частичная сумма серии гармоник;
Heaviside — функция Хевисайда;
JacobiAM (CN, CD, CS, ON, DC, DS, NC, NO, NS, SC, SO, SN) - эллиптические функции Якоби;
JacobiThetal (2, 3, 4) — дзета-функции Якоби;
JacobiZeta — зет:функция Якоби;
KelvinBer (Bei, Her, Hei, Ker, Kei) — функции Кельвина;
Li — логарифмический интеграл;
1nGAMMA — логарифмическая гамма-функция;
MeijerG — G-функция Мейджера;
pochhammer — символ Похгамера;
polylog — полилогарифмическая функция;
Psi — дигамма-функция;
Shi — интегральный гиперболический синус;
Si — интегральный синус;
Ssi — синусный интеграл смещения;
StruveH (L) — функции Струве;
surd — неглавная корневая функция;
LambertW — W-функция Ламберта;
WeberE — Е-функция Вебера;
WeierstrassP — Р-функция Вейерштрасса;
WeierstrassPPrime — производная Р-функции Вейерштрасса;
WeierstrassZeta — зета-функция Вейерштрасса;
WeierstrassSigma — сигма-функция Вейерштрасса;
Zeta — зета-функция Римана и Гурвица.
Ввиду большого числа специальных функций и наличия множества примеров их вычисления в справочной системе Maple 7 ограничимся несколькими примерами вычисления наиболее распространенных специальных функций. По их подобию читатель может опробовать в работе и другие специальные функции.
На рис. 6.4 даны примеры применения ряда специальных функций. Обратите особое внимание на первый пример. Он показывает, как средствами системы Maple 7 задается определение функций Бесселя. Показано, что функции Бесселя являются решениями заданного на рис. 6.4 дифференциального уравнения второго порядка. Maple 7 способна вычислять производные и интегралы от специальных функций.
Рис. 6.4. Примеры применения специальных функций
Еще несколько примеров работы со специальными функциями представлены на рис.6.5. Как видно из приведенных примеров, на экране монитора можно получить математически ориентированное представление специальных функций, обычно более предпочтительное, чем представление на Maple-языке или в текстовом формате. Записи функций при этом выглядят как в обычной математической литературе.
Рис. 6.5. Примеры работы со специальными математическими функциями
На рис. 6.5 показаны примеры разложения специальных функций в ряды и применения функции convert для их преобразования.
Много информации о поведении специальных функций дает построение их графиков. На рис. 6.6 показано построение семейства графиков функций Бесселя BesselJ разного порядка и гамма-функции. Эти функции относятся к числу наиболее известных. Если читателя интересуют те или иные специальные функции, следует прежде всего построить и изучить их графики.
Подробное описание специальных функций можно найти в справочниках [43-45] и в справочной базе данных Maple 7.
Рис. 6.6.Графики функций Бесселя и гамма-функции
30.gif
31.gif
50.gif
21. Функции для работы с векторами и матрицами
Функции для работы с векторами и матрицами
Элементы векторов и матриц
Элементы векторов и матриц являются индексированными переменными, то есть место каждого элемента вектора определяется его индексом, а у матрицы — двумя индексами. Обычно их обобщенно обозначают как i (номер строки матрицы или порядковый номер элемента вектора) iij (номер столбца матрицы). Допустимы операции вызова нужного элемента и присваивания ему нового значения:
V[1] — вызов i-го элемента вектора V;
M[i, j] — вызов элемента матрицы М, расположенного на г-н строке в j-ы столбце;
V[i]:=x — присваивание нового значения х i-му элементу вектора V;
M[i,j]:=x — присваивание нового значения х элементу матрицы М.